Capitolo V La trasformata di Hilbert

(1)

Capitolo V La trasformata di Hilbert

La necessità di introdurre nel nostro lavoro la trasformata di Hilbert è dovuta al fatto che successivamente alle prime registrazioni dei segnali ci si è accorti che il segnale proveniente dal cuscinetto danneggiato presentava una modulazione in ampiezza che nel dominio delle frequenze tale da rendere più difficile la ricerca di frequenze caratteristiche di danneggiamento, il suo uso è da inserire all’interno della tecnica dell’envelope spectrum già descritta nel Capitolo III paragrafo 3.2.1

5.1 Modulazione di un segnale

La tecnica della modulazione di un segnale è usata soprattutto nel campo delle telecomunicazioni per trasmettere un segnale, ad esempio radio, a distanza, è il processo che porta alla variazione della forma d’onda di un segnale, per ottenere questo normalmente si fa uso di un segnale sinusoidale ad alta frequenza che viene chiamato segnale portante che va a moltiplicare il segnale principale.

I parametri fondamentali di un’onda cosinusoidale, la sua ampiezza, la sua fase e la sua frequenza, si possono tutti variare in accordo con il segnale principale sino ad ottenere il segnale modulato rispettivamente in ampiezza (segnale AM), fase (segnale PM) o frequenza (segnale FM).

Sia segnali AM o FM possono essere scritti nella seguente forma

x( t )

=

R( t ) cos( t

ω ϕ

+

( t ))

(5.1)

Nel caso di AM,

ϕ

( t )

, la fase componente il segnale, è costante e può essere ignorata; allora l’informazione del segnale è contenuta in

R( t )

, ed è chiamato inviluppo del segnale. Ad esempio prendiamo il segnale AM dato dall’equazione

(2)

x( t )

=

( C

+

m( t )) cos( t )

ω

(5.2)

Con

m( t )

rappresentante la frequenza del segnale principale,

C

è l’ampiezza portante e

R( t )

è uguale a

C

+

m( t )

.Così, se l’inviluppo di un segnale AM può essere estratto, allora il messaggio originale può essere recuperato, e senza rumori di disturbo.

Nella Figura 5.1 è riportato l’aspetto di un segnale modulato con il suo inviluppo marcato di rosso

Figura 5.1 Segnale modulato e il suo envelope

5.2 Demodulazione di un segnale

La demodulazione di un segnale è l’insieme delle operazioni che permettono di recuperare il segnale originario da quello modulato

I mezzi per fare questo dipenderanno da come è stato modulato il segnale, cioè se sono modulati in ampiezza, fase o frequenza. Potranno essere di natura elettronica, come ad esempio diodi, circuiti stampati, per segnali analogici/digitali; o software appositamente sviluppati che emulano l’azione elettrica per i segnali digitali.

Tra questi ultimi, alcuni programmi fanno uso della trasformata di Hilbert per ottenere la demodulazione desiderata.

(3)

5.3 La trasformata di Hilbert

Dato un segnale

x(t)

si dice Trasformata di Hilbert di

x(t)

il segnale

ˆx t

( )

=

H{x( t )}

ottenuto dal transito attraverso il filtro con funzione di trasferimento: Per f<0 Per f=0 H j H ( f ) j   = ₋  0 Per f>0

ovvero con una risposta impulsiva del tipo:

h ( t )

_H

=

1 π

t

. Le proprietà della trasformata di Hilbert sono le seguenti

1.

H{c}

=

0

2. due segnali che differiscono per una costante hanno la stessa trasformata di Hilbert.

Si riportano due teoremi relativi alla trasformata di Hilbert

Teorema 1

: Dato un segnale reale

x( t ) a valor medio nullo

, la sua trasformata di Hilbert

( )

ˆx t

=

H{x( t )}

costituisce una rappresentazione di

x( t )

nel dominio del tempo.

Dim

. Poiché

H

( f )

1 H

= −

∀ ≠

f

0

e

x(t)

è a valor medio nullo,

ˆ

x( t )

= −

H{x( t )}

(5.3)

Teorema 2

: dato un segnale reale

x( t )

a valor medio nullo, il segnale e la sua trasformata di Hilbert sono ortogonali, ovvero

0 ˆx , x( t )

<

>=

(5.4)

Dim

. Si osservi che, in virtù delle proprietà delle trasformazioni lineari dei segnali, il prodotto scalare tra il segnale e la sua trasformata di Hilbert può essere scritto come segue

a)

segnali di energia

Si ricorda che dato un segnale x(t), si definisce energia totale eX del segnale la seguente grandezza reale (se esiste), dove eX è l’energia totale del segnale.

(4)

T X _T T

e

lim

∆

x( t ) x * ( t )dt

−∆ ∆ →∞

=

_∫

2

⋅

2

(5.5)

Un segnale si dice di energia se la sua energia totale eX è finita ed inoltre eX > 0.

Il segnale e la sua trasformata sono entrambi segnali di energia

0

0 ˆx( t ), x( t )

e

_ˆ

( )

e

( t ) h ( t )

xx



xx

H



_t

<

>=

=

_

∗

_

=

(5.6)

1

0 e

( )

d

xx

τ

π

(

τ

)

τ

∞ −∞ =

−

∫

(5.7)

b)

segnali di potenza

Si ricorda che dato un segnale x(t), si definisce potenza totale Px del segnale la seguente grandezza reale (se esiste)

T X _T T

P

lim

x( t ) x * ( t )dt

T

∆ −∆ ∆ →∞

=

∆

∫

2 2

1 (5.8)

Un segnale si dice di potenza sela sua energia totale Ex è infinita ed inoltre la sua potenza totale Px è finita e Px> 0

Il segnale e la sua trasformata sono entrambi segnali di potenza

ˆx( t ), x( t )

p

_ˆ

( o )

p

( t ) h ( t )

xx



xx

H



_t

<

>=

=

_

∗

_

=

0 (5.9)

1

0

xx

p ( )

d

(

)

τ

π

τ

∞ −∞

=

−

∫

(5.10)

Essendo il segnale reale la sua funzione di autocorrelazione è un segnale pari quindi l’integrando è una funzione dispari. Di conseguenza il prodotto scalare è nullo.

Si dice infatti che la trasformata di Hilbert di un segnale restituisca un segnale ruotato di 90º, perpendicolare all’originale.

Ad esempio la trasformata di Hilbert di un segnale cosinusoidale

2 ₀

(5)

Figura 5.2 Trasformata di Hilbert della funzione seno

Risulta così

H x( t )

{

}

=

sin(

2 π

f t )

0

.

5.4 Il segnale Analitico

Dato un segnale reale

x( t )

si dice Segnale Analitico ad esso associato il segnale

x ( t )

+

ottenuto dal transito attraverso un filtro con funzione di trasferimento:

a

H ( f )





=







1 1 2

0

rispettivamente per

f

<0,

f

=0 e

f>0;

Poiché

1

2

a H

H

= +

jH ( f )

, avremo allora

1

2

2 ˆ

x ( t )

+

=

x( t )

+

jx( t )

(5.11)

In Figura 5.3, si può vedere il segnale originale in blu e il modulo del suo segnale analitico in rosso, mostrando l’effetto envelope

(6)

Figura 5.3 Il segnale e il suo segnale analitico

Relativamente al segnale analitico si riporta il seguente teorema:

Teorema

: Dato un segnale

x( t )

reale a valor medio nullo, il segnale analitico

x ( t )

+ ad esso associato costituisce una rappresentazione di

x( t )

nel dominio del tempo, essendo infatti:

{

}

2 x( t )

=

Re x ( t )

+

(5.12)

Dim

. Dalla

( )

1

segue che se

x( t )

è reale, anche

ˆx( t )

è reale, e quindi il segnale analitico di

x ( t )

+ è un segnale complesso la cui parte reale è proporzionale a

x( t )

, che pertanto può essere ricostruito tramite la

( )

2

. Tale proprietà non sussiste se

x( t )

è complesso.

Si osserva che il filtro analitico rimuove la metà dello spettro del segnale,ovvero il contenuto delle frequenze negative

X ( f )

−

(7)

Figura 5.4 Segnale completo di tutte le sue frequenze

Se un segnale

x( t )

, Fourier trasformabile è reale allora la sua trasformata di Fourier

X( f )

gode della proprietà :

*

X(

−

f )

=

X ( f )

(5.13)

Ovvero:

*

X ( f )

−

=



_

X ( f )

+



_{ ,}

f<0

(5.14)

Di conseguenza il contenuto per frequenze negative

X ( f )

− può essere ricostruito a partire dalla conoscenza del contenuto per frequenze positive

X ( f )

+

Una delle applicazioni della possibile rappresentazione analitica di un segnale è quindi la demodulazione di un segnale modulato. Le coordinate polari efficacemente separano l’effetto della modulazione di ampiezza e modulazione di fase o frequenza, andando a demodulare con ottimi risultati certi tipi di segnali.

(8)

5.5 Inviluppo complesso

Il segnale analitico può anche essere rappresentato come:

j ( t ) j ( t ) j ( t )

x ( t )

+

=

[ A( t )e

φ

e

− ω0

]e

ω0

_(5.15)

=

γ

( t )e

jω0( t )

_(5.16)

dove

γ

( t )

=

A( t )e

j ( ( t )φ −ω0t )_{è l’inviluppo complesso del segnale. L’inviluppo complesso}

non è unico; al contrario esso è determinato dall’assegnazione arbitraria di

ω

₀.

Questo concetto è spesso usato nei segnali passabanda, infatti se

x( t )

è un segnale modulato,

ω

₀è usualmente indicato come la frequenza portante di modulazione.

Dato un segnale reale

x( t )

, si dice inviluppo complesso ad esso associato rispetto alla frequenza f0 il segnale

x( t )

definito da:

j

f t

x( t )

=

2 x ( t )e

+

−

2 π

0 (5.17)

Ovvero

X( f )

=

2 X ( f

+

f )

₀

(5.18)

Poiché, in generale

X( f )

non gode di proprietà di simmetria rispetto all’origine,

x( t )

è complesso.

Posto

c s

x( t )

=

x ( t )

+

jx ( t )

(5.19)

i segnali

x ( t )

_c e

x ( t )

_s prendono il nome di componenti analogiche di bassa frequenza del segnale rispetto alla frequenza

f

₀.

In particolare si definisce:

x ( t )

c come componente analogica in banda base in fase

(9)

5.6 Segnale Analitico e Inviluppo Complesso:Interpretazione

spettrale

Figura 5.5 Il segnale originale e quello analitico

(10)

Dato un segnale

x( t )

reale, esso è legato alle sue componenti analogiche di bassa frequenza dalla relazione

c s

x( t )

=

x ( t ) cos(

2 π

f t ) x ( t )sen(

₀

−

2 π

f )

₀

(5.20)

Inoltre per la sua trasformata di Hilbert si ha

c s

ˆx( t )

=

x ( t )sen(

2 π

f t ) x ( t ) cos(

0

+

2 π

f t )

0

(5.21)

Ovvero c s

x( t )

cos(

f t )

sen(

f t )

x ( t )

ˆ

sen(

f t )

cos(

f t )

x( t )

x ( t )

π

−













=

























0 0 0 0

2

2 (5.22)

Ad esempio dal l’inviluppo complesso di un segnale cosinusoidale

x( t )

=

cos(

2 π

f )

1

Rispetto alla risposta in frequenza

f

₀risulta essere:

x( t )

=

cos(

2 π

f t )

1

=

cos(

2 π

( f

1

−

f )t

0

+

2 π

f t )

0

=

cos(

π

( f

f )t ) cos(

π

f t ) sin(

π

( f

f )t )sen(

π

f t )

=

2

1

−

0

2

0

−

2

1

−

0

2

0 Da cui c

x ( t )

=

cos(

2 π

( f

1

−

f )t )

0 s

x ( t )

=

sin(

2 π

( f

₁

−

f )t )

₀

Lo sviluppo di un segnale in componenti analogiche di bassa frequenza equivale dunque alla rappresentazione dello stesso segnale in una base temporalmente variante, rispetto a cui il segnale varia più lentamente.

(11)

Se il segnale

x( t )

è reale e limitato in banda

[ f

₀

−

w, f

₀

+

w ]

, le sue componenti analogiche di bassa frequenza rispetto alla frequenza

f

₀ risultano limitate nella banda

[ w, w ]

− +

.

Quindi Per

f

₀

>>

w

, la rappresentazione del segnale in funzione dei campioni delle componenti analogiche di bassa frequenza è estremamente efficiente.

Naturalmente la rappresentazione di

x( t )

in funzione dei suoi campioni richiede un periodo di campionamento pari a

c max

T

=

T

=

1 2

( ( f

0

+

w ))

(5.23)

La rappresentazione di

x( t )

in funzione dei campioni delle componenti analogiche di bassa frequenza

x ( t ), x ( t )

_c _s richiede il campionamento di due segnali con periodo pari a

' '

c max

T

≤

T

=

1 2

( w )

.

(5.24)

Il rapporto fra il numero di campioni nell’unità di tempo necessari nei due casi è

( f

₀

+

w ) ( w )

2

.

(5.25)

5.7 Conclusioni

L’utilizzo della trasformata di Hilbert, del filtraggio adattivo e dell’analisi tramite la decomposizione multilivello con le Wavelet si sono rivelate di fondamentale aiuto nel risolvere in poco tempo i problemi incontrati nell’analisi dei segnali provenienti dai cuscinetti danneggiati. Si potrà apprezzare la facilità di implementazione delle relative routine in ambiente MatlLab, si veda in tal proposito la semplicità del listato del programma utilizzato, a dispetto della iniziale e apparente difficoltà matematica alla base delle varie metodologie, ma soprattutto la capacità di ottenere i risultati e la chiarezza con la quale saranno mostrati nel proseguo del lavoro.

(12)

Capitolo VI Descrizione dell’apparato sperimentale

6.1 L’attrezzatura

Presso il laboratorio del Centro Ricerche sulle trasmissioni Meccaniche a tecnologia avanzata (CRTM) del Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione dell’Università di Pisa si è svolta la campagna di prove per validare un programma per la raccolta dei segnali provenienti dai cuscinetti e a validare un programma per la loro successiva elaborazione con lo scopo di ricercare eventuali danneggiamenti interessanti l’anello esterno di un cuscinetto

Inizialmente abbiamo fatto uso di due cuscinetti obliqui a sfere della SFK con le seguenti caratteristiche geometriche:

Cuscinetto mod. 7205 BEP

Diametro medio Dm= 38,5 mm Numero dei volventi =14

Diametro dei volventi = 8,55 mm Angolo di contatto = 40º

Cuscinetto mod. 7206 BEP

C on tali cuscinetti si è svolta una prima campagna di test per provare i sistemi di Diametro medio Dm= 46 mm

Numero dei volventi =13

Diametro dei volventi = 9,35 mm Angolo di contatto = 40º

(13)

acquisizione ed elaborazione e mappare il tornio parallelo che fungeva da test-rig nella ricerca della sua firma vibratoria, alle varie velocità di funzionamento per poterla in seguito discernere dai segnali provenienti dai cuscinetti.

I cuscinetti sono stati alloggiati all’interno di una struttura di acciaio inox che rappresenta un montaggio standard di cuscinetti a supporto di un albero rotante ad alta velocità ed è stata realizzata appositamente presso l’officina del laboratorio (Figura 6.1, 6.2, 6.3).

(14)

Figura 6.2 Vista interna del supporto

(15)

Figura 6.4 Il suppurto realizzato

Tale supporto è stato montato su un normale tornio parallelo tramite mandrino autocentrante e contropunta. Tale montaggio assicurava la rotazione dell’albero afferrato dal mandrino, mentre il supporto esterno è bloccato alla rotazione dalla torretta portautensile.

(16)

Figura 6.6 Il supporto montato tra punta e contropunta

Figura 6.7 Dattaglio del supporto con la cella di carico ed accelerometro

Normalmente i Test Rig forniscono il carico agente sui cuscinetti tramite martinetti idraulici, in questo caso, invece, il carico di prova viene fornito direttamente dalla contropunta.

Una volta bloccato il perno nel mandrino, la contropunta viene infatti portata a contatto e, agendo con la manopola che regola l’avanzamento assiale millimetrico, si aumenta o diminuisce il carico secondo le nostre esigenze in modo piuttosto preciso. Per poter visualizzare l’entità di tale carico è stata interposta tra la contropunta e il pezzo in esame una cella di carico.

(17)

La cella di carico è un trasduttore in grado di convertire una forza applicata lungo il proprio asse, in un segnale elettrico in volt, che risulta proporzionale alla deformazione causata dalla forza sulla parte meccanica dello stesso. Tale segnale sarà in seguito trasformato dal software d’analisi permettendo una visualizzazione del valore del carico applicato (in kN).

Figura 6.8 Cella di carico

Il tornio rappresenta una naturale fonte di vibrazioni e rumori che normalmente caratterizzano l’ambiente di lavoro di un cuscinetto, rendendo le prove effettuate più rispondenti alla realtà.

Allo scopo di monitorare il sistema si è posto un accelerometro monoassiale direttamente sul carter dell’alloggiamento dei cuscinetti. Inizialmente l’accelerometro era fissato tramite basetta magnetica, ma tale soluzione non garantiva sufficiente stabilità al sistema a causa delle vibrazioni presenti durante l’esercizio, quindi successivamente si è preferito praticare un foro filettato sul carter e fissarlo tramite avvitamento.

Si riportano di seguito le caratteristiche dei sensori adottati

Accelerometro monoassiale B&K 4369 s/n 1165208 (Figura 6.9) Caratteristiche:

• Carica 21,1 [pC/g] forzata a 32 [pC/g] su condizionatore “ KISTLER Charge Amplifier type 5001” per una corretta calibrazione ad 1g e 80 Hz;

(18)

Figura 6.9 Accelerometro

Cella di carico (Figura 6.8) Caratteristiche

• Massima forza rilevabile 5 kN;

• Alimentazione c.c. 24 V;

I segnali acquisiti dai sensori, sono trasformati in segnali elettrici e inviati alla scheda di acquisizione della National Instrument che digitalizza il segnale, campionandolo con una data frequenza.

La scheda a disposizione è la NI PCI-MIO-16E-1 a 16 canali con frequenza massima di campionamento pari a 1,25 Msamples al secondo a 12 bits. La totalità delle prove è stata effettuata con frequenza di campionamento di 100 kHz, ritenuta più che sufficiente per ottenere una buona definizione dello spettro del segnale registrato, anche ad un’analisi nel dettaglio, e senza generare file di grandezza eccessivi, quindi file più facili da analizzare ed elaborare successivamente all’acquisizione, anche da sistemi online.

(19)

Figura 6.10 Scheda di acquisizione dati

Si è fatto uso anche di un oscilloscopio per controllare in tempo reale il segnale proveniente dalla cella di carico, ed il segnale nel dominio del tempo proveniente dall’accelerometro. La scheda di acquisizione ed il computer con il programma di acquisizione dati si trovavano in un'altra stanza del laboratorio, collegati con cavi appositamente posizionati.

Figura 6.11 Oscilloscopio

Successivamente i cuscinetti obliqui a sfere sono stati sostituiti con una coppia a rulli conici per la semplicità con la quale era possibile montarli e smontarli ed accedere immediatamente all’anello

(20)

esterno senza incorrere in danneggiamenti indesiderati che ne potessero accidentalmente alterarne la funzionalità.

Cuscinetto mod. 30205 J2/Q

Figura 6.12 Cuscinetto Obliquo da “25”

(21)

Figura 6.13 Il cuscinetto obliquo da “30”

6.2 Programma di acquisizione ed elaborazione dati

(22)

L’acquisizione e memorizzazione dei dati viene svolta in ambiente LabView , utilizzando un programma realizzato appositamente per monitorare i cuscinetti ed il carico ad essi applicato, utilizzando 2 canali per l’acquisizione.

L’elaborazione dei dati avviene in ambiente Matlab®, utilizzando una serie di funzioni realizzate ad hoc per tale analisi.

6.2.1 Registrazione

In ambiente LabView è stato creato un programma di acquisizione dati provenienti dai sensori, la cui funzione principale è la registrazione dei dati ma viene anche utilizzato per il monitoraggio online del corretto funzionamento del sistema. Ad esempio si controlla il valore del carico applicato o la reale velocità di rotazione del tornio.

Il segnale acquisito viene archiviato in continuo sino al termine della prova, creando dei file di tipo .bin di dimensioni diverse: file da 1 secondo alternati a file di 120 secondi, dove i primi, di numerazione dispari, vengono conservati con la dizione dati_0…… .bin mentre i secondi con la dizione buf_0…… bin , questi ultimi sono generalmente eliminati al termine della fase di registrazione poiché i file da 1 secondo sono ritenuti più che sufficienti come specchio del funzionamento a regime del sistema.

Per il suo diagramma a blocchi si rimanda in Appendice D.4.

La schermata del programma di acquisizione è composta, partendo dall’alto:

• Spettro FFT del segnale proveniente dall’accelerometro

• Segnale nel dominio dell’accelerometro (in volt), a sinistra

(23)

Figura 6.14 Schermata del programma di acquisizione

6.2.2 Elaborazione

La successiva fase di filtraggio viene effettuata da un programma sviluppato in ambiente Matlab. Per prima cosa un apposito programma provvede a rendere i file .bin leggibili in ambiente MatLab, successivamente varie tecniche di filtraggio, in modo sequenziale, provvedono ad estrarre il segnale del difetto del cuscinetto. Dopo ogni step di filtraggio il segnale risultante è rappresentato in forma grafica sia nel dominio delle frequenze che nel dominio del tempo. Il programma calcola anche il valore numerico del RMS (Root Mean Square) del segnale entrante prima dell’azione di filtraggio, e il valore del N/S (Noise to Signal ratio) in Decibel e in forma percentuale.

(24)

Figura 6.15 Diagramma di flusso del programma di analisi

Il tempo computazionale non è eccessivo, poche decine di secondi, tale da poter pensare anche un suo funzionamento online, cioè in tempo reale per un monitoraggio continuo del sistema, e anche

Spettro nel dominio del tempo Spettro nel dominio delle frequenze

File dati_00001.bin Dati

dell’accelerometro in ingresso File dati_00001.bin

Dati del rumore in ingresso

Calcolo del N/S del segnale

Trasformata di

Hilbert Spettro nel dominio delle frequenze

Filtraggio Adattivo Denoising Wavelet Primo livello Con Db9 Denoising Wavelet Secondo livello Con Db9 Denoising Wavelet Terzo livello Con Db9

Spettro del segnale temporale

Trasformata di Hilbert

Spettro del segnale nel dominio delle frequenze

Denoising Wavelet Terzo livello Con Biort2.8

Spettro del segnale temporale

Spettro del segnale nel dominio delle frequenze

Valore m dello step

Grandezza del vettore dei coefficienti

Calcolo del RMS del segnale

Spettro nel dominio delle frequenze

(25)

volendo aumentare il tempo di campionamento, attualmente di 100 kHz, si ritiene l’hardware in grado di poter rispondere sempre in tempi molto brevi.

Il tempo di campionamento di 100 kHz è stato scelto perché in grado di permetterci un’ottima risoluzione del segnale nel campo delle frequenze di nostro interesse che date le velocità di rotazione ed il tipo di cuscinetti utilizzati l’indagine riguarda la ricerca di frequenze caratteristiche non superiori ai 240 Hz, più armoniche, sia perché si è constatato che alle alte frequenze sono nel nostro caso per lo più occupate dal “rumore” generato dal sistema tornio, mentre le altissime frequenze, dopo i 25 kHz, non mostrano niente di particolare per la nostra indagine

Il tempo di campionamento, TC, è il fattore che determina la grandezza dei file, quindi il numero dei dati presenti in ogni secondo di registrazione. E’ naturale che maggiori sono i dati e più precisa risulta essere un’analisi, ma contemporaneamente il tempo computazionale del sistema tende ad aumentare. In Appendice D sono riportati i testi dei programmi sviluppati.