STIFFENING NELLE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO : FORMULAZIONI PRESENTI IN LETTERATURA

2

2

M ODELLAZIONE DEL T ^ENSION

STIFFENING NELLE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO : FORMULAZIONI PRESENTI IN LETTERATURA

In letteratura il comportamento non lineare delle strutture in cemento armato è, generalmente, suddiviso in tre stadi (Figura 2.1):

ƒ Stadio I: l’elemento in cemento armato non è ancora fessurato, il comportamento può essere considerato elastico lineare;

ƒ Stadio II: l’elemento si presenta fessurato e l’acciaio lavora in campo elastico;

ƒ Stadio III: l’elemento si presenta fessurato e l’acciaio lavora in campo plastico.

Il meccanismo di trasmissione degli sforzi tra l’acciaio e il

calcestruzzo avviene in perfetta aderenza nello stadio I, cioè fino a

quando il calcestruzzo non raggiunge, in una generica sezione, una

tensione principale di trazione maggiore della sua resistenza a

trazione. In questa sezione si genera una fessura e le tensioni di

trazione che venivano assorbite dal calcestruzzo vengono trasferite

all’acciaio. Nel momento in cui il calcestruzzo si fessura (stadio II)

nascono degli scorrimenti tra acciaio e calcestruzzo che generano

delle tensioni tangenziali nella barra (o nell’insieme barra- calcestruzzo circostante) che rimettono in gioco la resistenza a trazione nel calcestruzzo, il quale ripartecipa così all’assorbimento delle sollecitazioni di trazione. Questo fenomeno, noto come tension stiffening, si traduce in un “incremento” della rigidezza dell’elemento rispetto al caso di elemento completamente fessurato.

F

I s II

III

Figura 2.1: Andamento qualitativo di una curva carico-spostamento di un elemento in cemento armato

Nei prossimi paragrafi verranno descritti i metodi presenti in letteratura per tener conto del tension stiffening nelle analisi non lineari del cemento armato.

In generale questo fenomeno può essere modellato:

ƒ modificando i legami costitutivi:

- del calcestruzzo a trazione, in particolare, modificando il ramo di softening;

- dell’acciaio a trazione, in particolare considerando che la sollecitazione è quella che agisce nella sezione fessurata e la deformazione quella media di un concio compreso tra due fessure contigue;

ƒ considerando un comportamento medio:

- del momento di inerzia, il cui valore è compreso tra il momento d’inerzia della sezione non fessurata e quello della sezione fessurata; in questo caso la valutazione della distribuzione delle sollecitazioni può essere condotta attraverso una analisi elastica lineare della struttura;

- della curvatura, nel legame momento-curvatura;

ƒ valutando, nota la distribuzione delle sollecitazioni e delle fessure, la curvatura locale in ogni sezione dell’elemento (Figura 2.2).

F

ρ

Figura 2.2: Andamento qualitativo della curvatura locale in una mensola in cemento armato sottoposta ad un carico concentrato all’estremo libero

Modifica del legame costitutivo

Prendiamo ad esempio un elemento in cemento armato sottoposto a trazione pura. Per un assegnato valore dello sforzo normale N, lo spostamento è pari all’integrale della deformazione locale dell’acciaio, che dopo la fessurazione, è funzione di N e della distanza dalla lesione:

( ) N

( N, z dz )

δ = ∫ ε ^(2.1)

dove L è la lunghezza dell’elemento.

Ipotizzando la perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo in ogni

sezione dell’elemento, la deformazione dell’acciaio si calcola

riscrivendo la condizione di equilibrio a traslazione orizzontale in funzione della deformazione dell’acciaio:

( ) ( )

s s s c ct s

N = σ ε A + A σ ε (2.2)

Utilizzando i reali legami costitutivi, e trascurando il ramo di softening del calcestruzzo, dopo la fessurazione, l’equazione (2.2) porta al risultato riportato nella Figura 2.2 per la barra isolata, per tener conto dell’effetto del tension stiffening è necessario, per un assegnato valore della deformazione ε

, considerare una tensione maggiore di zero della tensione di trazione assorbita dal calcestruzzo oppure considerare una tensione. Nei prossimi paragrafi saranno riportati alcuni dei legami, sia del calcestruzzo che dell’acciaio, proposti in letteratura per l’analisi non lineare delle strutture in cemento armato.

effetto del tension stiffening N

N

B a r r a i s o l a t a

N

δ elemento non fessurato

elemento fessurato

Figura 2.3: Curva carico-spostamento di un tirante in cemento armato

Modifica del legame costitutivo del calcestruzzo teso

Il legame σ-ε a trazione del calcestruzzo è generalmente

rappresentato da un ramo elastico lineare fino al valore della

tensione pari alla resistenza massima a trazione f

, per poi

proseguire con un ramo di softening, che rappresenta la capacità

del calcestruzzo, anche non rinforzato, di assorbire sforzi di trazione dopo essersi fessurato. Questa resistenza “residua” è legata al fenomeno d’ingranamento degli inerti (Figura 2.4).

Aumentando l’intensità del carico, la fessura si apre e il contributo offerto da questo meccanismo tende a scomparire.

Figura 2.4: Taglio trasferito nella sezione fessurata per effetto dell’ingranamento degli inerti (Vecchio e Collins, 1986)

Nel caso di cemento armato, il ramo di softening può essere modificato sommando alla resistenza offerta dagli inerti il contributo dovuto alla trazione assorbita dal calcestruzzo compreso tra due fessure per l’aderenza con le barre d’acciaio.

Questo è l’approccio generalmente utilizzato nelle analisi agli elementi finiti, che implementano nell’algoritmo utilizzato un legame costitutivo del calcestruzzo teso in grado di modellare il fenomeno del tension stiffening.

(Gilbert e Warner, 1978), prendendo spunto dai legami costitutivi del calcestruzzo proposti da (Scalon, 1971, Lin e Scordelis, 1975) e introducendone un terzo (Figura 2.5), analizzano, attraverso una modellazione agli elementi finiti, l’influenza dei tre legami sul comportamento delle solette in cemento armato.

Ipotesi alla base delle loro indagini numeriche è che la tensione

assorbita dal calcestruzzo è maggiore nelle sezioni prossime alla

barra d’acciaio, per poi diventare nulla ad una distanza

dall’armatura superiore alla dimensione di due elementi finiti. In

pratica in ogni legame costitutivo la tensione dipende sia dalla

deformazione che dalla distanza dalla fessura.

Figura 2.5: Legami costitutivi del calcestruzzo teso (a) proposto da (Scalon, 1971); b) proposto da (Lin e Scordelis, 1975))

(Carreira e Chu, 1986), propongono un legame costitutivo la cui formulazione analitica del tratto di softening è:

( )

ct

ct

f

1

β

⎛ ε ⎞ β ⎜ ⎝ ε ⎟ ⎠ σ ε =

⎛ ε ⎞ β − + ⎜ ⎝ ε ⎟ ⎠

(2.3)

in cui ε

è la deformazione corrispondente alla tensione di picco f

mentre il parametro β è tarato dagli autori in funzione di alcuni risultati sperimentali, ed il valore varia da 1.45 a 2.26.

Nella Figura 2.6 è riportata l’equazione (2.3) per diversi valori del

parametro β. Come illustrato nel grafico, per β=1, il comportamento

del calcestruzzo teso diventa elastico-perfettamente plastico.

f

ε

10 ε

β=1

=1.25 β β=1.5

=1.75 β β=2 β=2.5 β=3 β=4 β=6

Figura 2.6: Legame costituivo del calcestruzzo teso proposto da (Carreira e Chu, 1986)

Poco più tardi (Prakhya e Morley, 1990) suggeriscono che il parametro β, deve tener conto di alcuni dei fattori che influenzano il fenomeno del tension stiffening e propongono la seguente relazione:

( ) (

)

S c c s

−

⎛ ⎞

β = ρ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.4)

dove:

(

)

t

c

100A b h x

ρ = − (2.5)

x

è la posizione dell’asse neutro, valutata trascurando la resistenza del calcestruzzo teso, c il copriferro, S

è la superficie specifica dell’armatura in trazione e s la distanza tra le barre. I parametri x

, x

e x

sono tarati con i risultati di alcune prove sperimentali e valgono, rispettivamente, 0.3660, 0.3436 e 0.1460.

Nella Figura 2.7 sono riportati i valori di β, calcolati secondo

l’equazione (2.4), in funzione della percentuale geometrica di

armatura tesa µ, per diversi valori della percentuale α di armatura

compressa rispetto a quella tesa e per diversi valori dell’altezza h

della sezione trasversale della sezione in cemento armato. Le

caratteristiche meccaniche e geometriche utilizzate per calcolare il

valore del parametro β sono riportate nella Tabella 6. Nel valutare

la posizione dell’asse neutro si è ipotizzato uno stato di

sollecitazione di flessione con M=M

(momento di snervamento).

Dal grafico si può vedere come il parametro β sia praticamente indipendente dalla percentuale di armatura compressa e dalle dimensioni della sezione trasversale, l’unica dipendenza è con l’area di armatura tesa.

1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

h=30 h=50

β

α=1 α=0

µ

Figura 2.7: Valori del parametro β secondo (Prakhya e Morley, 1990)

Al fine di valutare l’effetto del parametro β del tension stiffening sul comportamento di elementi in cemento armato, nella Figura 2.8 è riportato il diagramma momento-curvatura per una sezione rettangolare 30x50, armata con 6Φ16 in trazione e 3Φ16 in compressione, le cui caratteristiche meccaniche sono quelle riportate nella Tabella 6, per diversi valori di β. Ipotizzando la perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo, la curvatura può essere valutata indistintamente con una delle seguenti relazioni:

c s c s

c c

x d x d

ε ε ε + ε

ρ = = =

− (2.6)

Dai questi grafici è possibile vedere come nel modello proposto da (Carreira e Chu, 1986), per qualsiasi valore di β:

ƒ per M=M

il contributo del calcestruzzo ad assorbire stati di sollecitazione di trazione è praticamente nullo,

ƒ per ρ=ρ

, minore è il valore del coefficiente β e maggiore è la sovrastima del momento di snervamento.

Tabella 6:Caratteristiche meccaniche e geometriche

Rck fsy b h Φ α

30 440 30 30-50 16 0-0.5-1

no tension stiffening no tension stiffening

=1.75 β β=2.5

β=2 β=1.5 β=1.5

=1.75

=2β

=2.5β β

ρy ρy

Mf

My

ρpf

ρf

ρu 30 cm

16 Ø 6 50 cm

My

Mf

Figura 2.8: Diagrammi momento-curvatura al variare del parametro β

Questo ultimo problema viene superato nel modello di tension stiffening proposto da (Vecchio, 2000).

Nella prima versione, (Vecchio e Collins, 1986), il legame costitutivo del calcestruzzo teso è costituito dal un primo ramo elastico e da un ramo di softening la cui espressione analitica è:

( )

ct

t ct

f 1 c σ ε =

+ ε per ε > ε (2.7)

dove c

è pari a 200 nel caso di pannelli in cemento armato e 500 nel caso di elementi trave. Nella Figura 2.9 viene riportato il legame proposto con i risultati sperimentali con cui è stato tarato il parametro c

. Per valori alti della deformazione di trazione del calcestruzzo il fenomeno di ingranamento degli inerti si è ormai esaurito, quindi la resistenza residua a cui tende il valore della tensione di trazione del calcestruzzo rappresenta solo il fenomeno del tension stiffening.

(Collins e Mitchell, 1991) introducono nella formulazione di (Vecchio e Collins, 1986) i coefficienti α

e α

, per tener conto, rispettivamente, delle proprietà d’aderenza delle barre e del tipo di carico, l’equazione (2.7) diventa:

( )

ct

t ct

f 1 c σ ε = α α

+ ε (2.8)

dove α

è pari a 1.0 per barre ad aderenza migliorata, 0.7 per barre lisce e 0.0 per barre non ancorate, mentre α

è pari a 1.0 per carichi monotoni istantanei e 0.7 per carichi ciclici o permanenti.

Figura 2.9: Legame costitutivo del calcestruzzo teso proposto da (Vecchio e Collins, 1986) e confronto con i risultati sperimentali

(Abrishami e Mitchell, 1996) introducono un ulteriore parametro α

per tener conto della presenza di fessure da splitting:

( )

ct

t ct

f 1 c

α α α σ ε =

+ ε (2.9)

Dai risultati di alcune prove sperimentali gli autori trovano che le fessure da splitting influiscono sul tension stiffening solo se il rapporto c/Φ assume valori minori di 2.5, e propongono:

3

1 se c 2.5

d

c c

0.8 1 se 1.25 2.5

d d

0 se c 2.5

d

⎡ >

⎢ ⎢

α = ⎢ ⎢ − ≤ ≤

⎢ ⎢ <

⎢⎣

(2.10)

In seguito (Vecchio, 2000) propone un legame costitutivo che

separa il fenomeno di softening del calcestruzzo non rinforzato e il

fenomeno del tension stiffening del calcestruzzo rinforzato,

entrambi i legami sono riportati nella Figura 2.11. Il primo

fenomeno è legato al meccanismo della frattura, e la relazione che lega la tensione alla deformazione, dopo il picco di resistenza, è:

( )

ct t

ts ct

f 1 ⎛ ε − ε ⎞

σ ε = ⎜ ⎝ − ε − ε ⎟ ⎠ (2.11)

dove la deformazione ε

, relativa ad una resistenza a trazione nulla, è legata all’energia di frattura G

e alla lunghezza caratteristica L

della mesh dell’elemento finito utilizzato nella FEM, secondo la relazione:

ts f

t r

2.0 G

ε = f L (2.12)

L’autore propone un valore dell’energia di frattura pari a 75N/m.

Questa formulazione è sufficiente a descrivere il comportamento di un elemento in calcestruzzo o di un elemento in cemento armato a debole armatura in cui prevale il softening dal calcestruzzo rispetto al tension stiffening.

Il comportamento post-picco del calcestruzzo teso è anche legato all’interazione tra barra d’acciaio e calcestruzzo per effetto dello scorrimento relativo tra i due materiali e per l’insorgere della tensione d’aderenza; questo modello può essere semplificato considerando il legame proposto in precedenza e rappresentato dall’equazione (2.9). In questa fase l’autore però delimita la tensione nel calcestruzzo in modo che sia sempre minore o uguale della differenza tra la tensione di snervamento e la tensione media dell’acciaio, cioè:

( ) (

)

n 2

ct i y s n

i 1

f f cos

σ ε ≤ ρ ∑

− θ (2.13)

dove Θ

è l’inclinazione degli assi x e y rispetto a cui viene calcolato

lo stato di sollecitazione e gli assi principali di sollecitazione (Figura

2.10). Ipotesi alla base del modello è un legame costitutivo

dell’acciaio elastico-perfettamente plastico; si trascura il tratto di

incrudimento che è alla base delle deformazioni plastiche.

Figura 2.10: Stato tensionale nell’elemento in cemento armato rinforzato nel modello di (Vecchio e Collins, 1986)

Il legame proposto dall’autore è riportato nella Figura 2.11, con questo legame, si risolve il problema della sovrastima del momento di snervamento ma non quello di trascurare il fenomeno del tension stiffening dopo lo snervamento dell’acciaio.

(a) (b)

Figura 2.11: Legame costitutivo del calcestruzzo teso proposto da (Vecchio, 2000) comportamento softening del calcestruzzo non rinforzato (a) e

comportamento softening del calcestruzzo rinforzato (b)

Ultima modifica al legame di (Vecchio e Collins, 1986) quella apportata da (Bentz, 1999). L’autore dimostra, sperimentalmente, che l’effetto del tension stiffening dipende dalla percentuale geometrica di armatura ρ e dal diametro della barra Φ e propone la seguente relazione per il parametro c

:

c

= 2.2m (2.14)

equazione (2.9)

equazione (2.13)

dove:

i

n i

i 1 i n

4

1 cos

m

= ∑ ρ θ

Φ (2.15)

Nella Figura 2.12 sono riportati i legami momento-curvatura di due sezioni rettangolari sottoposte a flessione crescente.

Ø

ρ

ρ

ρ

no tension stiffening

20 4

Andamento delle tensioni

30 cm

Vecchio

Carreira

MPa

50 cm

1416 12 10 6 8 2 4 0 -2 -4

M

M

y

f

ρ

ρ

ρ

30 cm

MPa

50 cm

0 5 10 15 20

-5

Andamento delle tensioni

Carreira Vecchio

6 Ø 20

no tension stiffening

M

M

Figura 2.12: Diagramma momento-curvatura, valutati con i modelli proposti da (Vecchio, 2000) e (Carreira e Chu,1986) e trascurando l’effetto del tension

stiffening

Ipotesi alla base delle simulazioni numeriche sono:

ƒ il comportamento a compressione è stato modellato con il legame di (Park et al., 1982) per un calcestruzzo di classe R

300,

ƒ il calcestruzzo teso è stato modellato con il legame proposto da (Carreira e Chu, 1986) (dove β è pari al valore calcolato con l’equazione (2.4)) o con quello proposto da (Vecchio e Collins, 1986) e infine con un legame che trascura l’effetto del tension stiffening;

ƒ l’acciaio è elastico-incrudente, con una tensione di snervamento di 440 MPa e un rapporto d’incrudimento pari a 1.2,

ƒ vale l’ipotesi di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo.

ƒ

Le due formulazioni si presentano molto simili per stati di sollecitazione prossimi alla fessurazione, all’aumentare dell’intensità dello stato di sollecitazione la modellazione proposta da Vecchio e Collins presenta una rigidezza maggiore, mentre il modello proposto da Carriera e Chu si avvicina molto al diagramma momento-curvatura della sezione fessurata.

Nella Tabella 7 sono riportate altre formulazioni in letteratura del parametro del “tension stiffening” β, per la definizione del tratto di softening del calcestruzzo teso.

Tabella 7: Formulazioni presenti in letteratura del parametro del β

Cervenka, 1985

1 0.005

⎛ ⎛ ε ⎞ ⎞

⎜ ⎟

β = ⎜ ⎝ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠

k

=0.5

Bhide, 1986

1.5 c

1 1 1000

90 β = + ε ⎜ ⎛ ⎝ Θ ⎞ ⎟ ⎠

Θ: angolo formato dalle direzione delle fessure con la direzione dell’asse delle armature

Belarbi e Hsu, 1994

ct c

⎛ ε ⎞ β = ⎜ ⎝ ε ⎟ ⎠

Fields e Bischoff, 2004

e

β =

Modifica del legame costitutivo dell’acciaio teso

Un altro modo per tener conto del fenomeno del tension stiffening è quello di considerare un legame costitutivo dell’acciaio teso modificato. La deformazione media dell’acciaio di un elemento in cemento armato sottoposto a trazione può essere scritta come:

sm s s s s,max

ε = ε − ∆ε = ε − β∆ε (2.16)

dove β è un parametro che varia tra uno (prima della fessurazione) e zero (per tensione d’aderenza nulla).

Il primo ad introdurre il fenomeno del tension stiffening modificando il legame costitutivo dell’acciaio fu (Johnson, 1951), nella forma:

s sr1

sm s sr

s s

1 n E 1 1 n

⎛ ⎞

β σ β σ

ε = ε − + ρ ε = ⎜ ⎝ − + ρ σ ⎟ ⎠ (2.17)

dove β è il parametro del tension stiffening, n è il coefficiente di omogeneizzazione, ρ la percentuale geometrica di armatura tesa, σ

la tensione nell’acciaio, nello stadio I, quando nella sezione agisce la sollecitazione che genera la prima fessurazione, σ

la tensione nell’acciaio nello stadio II, sotto le azioni agenti e E

il modulo di elasticità dell’acciaio. In letteratura sono presenti diverse formulazioni per il parametro β, ad esempio, (Rao, 1966, Rostasy et al., 1976) propongono di utilizzare la seguente relazione:

sr1 s

β = σ

σ (2.18)

dalla quale si evince che il tension stiffening è inversamente proporzionale alla sollecitazione nella barra, quindi alla percentuale d’armatura, ma completamente indipendente dagli altri fattori che influenzano il fenomeno, come, ad esempio, le caratteristiche d’aderenza, il tipo di carico e lo sviluppo di fessure da splitting.

Sostituendo l’equazione (2.18) nell’equazione (2.17), si ottiene:

2

s sr1

sm

s s

1 1

E 1 n

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

σ ⎜ σ ⎟

ε = ⎜ ⎝ − + ρ σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠

(2.19)

Questa formulazione è simile a quella proposta dalla normativa italiana (Figura 2.13) per l’analisi della deformabilità delle strutture in cemento armato sotto carichi di esercizio:

2

s sr1 s

sm 1 2

s s s

1 0.4

E E

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

σ ⎜ σ ⎟ σ

ε = ⎜ ⎝ − β β ⎜ ⎝ σ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ ≥

(2.20)

dove β1 è un coefficiente rappresentativo dell’aderenza tra acciaio e calcestruzzo, ed è pari a 1,0 nel caso di barre ad aderenza migliorata e 0,5 nel caso di barre lisce, β

è un coefficiente che tiene conto delle condizioni di sollecitazione, ed è pari a 1,0 nel caso di azione di breve durata e 0,5 nel caso di azioni di lunga durata o di azioni cicliche.

Fessurato Nonfessurato

β

β

σ

σ σ

( )

Barraisolata E_s

σ

σ

σ

ε

Figura 2.13: Diagramma σs - εsm secondo (DM 9/01/96)

Nella versione del 1993 (Model Code 90) la legge che definisce il

legame costitutivo dell’acciaio è stata estesa per considerare il

fenomeno del tension stiffening anche dopo lo snervamento

dell’acciaio teso.

Il legame proposto dipende dalla tensione che si stabilisce nella barra, e si suddivide nelle seguenti fasi:

ƒ pre-fessurazione:

sm s1

per 0

ε = ε ≤ σ ≤ σ (2.21)

ƒ formazione delle fessure:

( ) ( )

( ) ( )

t s sr1 srn s

sm s2 sr2 sr1 sr1 s srn

srn sr1

β σ − σ + σ − σ per

ε = ε − ε − ε σ ≤ σ ≤ σ

σ − σ (2.22)

ƒ fessurazione stabilizzata:

( )

sm s2 t sr2 sr1

per

f

ε = ε − β ε − ε σ ≤ σ ≤ (2.23)

ƒ post-snervamento:

( )

( )

sm s2 t sr2 sr1 s2 sy sy s

sy

1 per f

f

⎛ σ ⎞

ε = ε − β ε − ε + δ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠ ε − ε ≤ σ (2.24)

dove ε

è la deformazione nell’acciaio calcolata nello stadio I, ovvero ipotizzando una condizione di sezione non fessurata omogeneizzata, ε

è la deformazione nell’acciaio relativa allo stadio II, ovvero ipotizzando che la sezione sia fessurata e che sia reagente il solo acciaio, σ

è la tensione nell’acciaio, al momento della fessurazione, calcolata nello stadio II, σ

è la tensione nell’acciaio quando nella sezione agisce un momento flettente pari al momento di fessurazione stabilizzata, β

= β

β

, δ è un coefficiente che tiene conto del rapporto d’incrudimento e della tensione di snervamento ed è pari a 0.8 per un acciaio tipo A, con una tensione di snervamento di 500MPa.

Il Model Code suggerisce che la fessurazione può essere considerata stabilizzata quando l’acciaio teso è sottoposto ad uno stato di trazione pari a:

srn

1.3

σ = σ (2.25)

Questo legame è utilizzato da (Pommerening, 1996, Tue et al., 1996) per tener conto del tension stiffening nell’analisi non lineare delle strutture in cemento armato.

Momento d’inerzia efficace

Negli elementi soggetti ad uno stato di sollecitazione flettente la cui intensità è maggiore di quella che genera la fessurazione dell’elemento, può essere eseguita una analisi elastica lineare, considerando un momento di inerzia efficace I

che tenga conto della presenza di sezioni fessurate e non fessurate.

La prima formulazione del momento di inerzia I

, presente in letteratura, è quella proposta da (Yu e Winter, 1960). Gli autori, dai risultati di prove sperimentali condotte su travi sottoposte ad un carico uniformemente distribuito, suggeriscono:

e cr

1

I I M

1 b M

=

−

(2.26)

dove:

( )

2 3

1 c

M = 0.1f H H kd −

f

è la resistenza a compressione del calcestruzzo, h l’altezza totale della sezione, d l’altezza utile della sezione e k un parametro funzione del tipo di carico e dei vincoli.

Qualche anno dopo, (Branson, 1963) propone la relazione che viene poi recepita dalle norme ACI 318 (1995) per il calcolo degli spostamenti negli elementi soggetti a stati di sollecitazione di breve durata.

Secondo l’autore, il momento di inerzia efficace deve essere valutato combinando linearmente il valore del momento di inerzia valutato nello stadio I con quello valutato nello stadio II:

( )

e cr g cr g

I I I I M I

M

⎛ ⎞

= + − ⎜ ⎟ ≤

⎝ ⎠ (2.27)

dove M è il massimo valore del momento flettente agente sull’elemento, M

è il momento flettente di prima fessurazione e β è pari a 3. Nelle sezioni debolmente armate (generalmente con il valore della percentuale geometrica di armatura minore del 6‰) se la sollecitazione flettente è di poco superiore al momento di prima fessurazione M

, il valore del momento di inerzia efficace valutato utilizzando l’equazione (2.27), dipende molto da M

e quindi dal valore della resistenza f

. Per questi elementi la formulazione proposta da Branson sovrastima il valore del momento di inerzia efficace (Gilbert, 1999).

(Al Zaid et al., 1991) suggeriscono, per travi caricate al centro da una forza concentrata (three point bending), di aumentare il momento d’inerzia efficace calcolato attraverso l’equazione (2.27) del 20%, rispetto al caso in cui il carico è uniformemente distribuito. Da alcuni risultati sperimentali (Al Shaik e Al Zaid, 1993) propongono una modifica del parametro β, che diventa funzione della percentuale geometrica di armatura:

3 0.8

β = − ρ (2.28)

(Grossman, 1981), da uno studio parametrico condotto utilizzando la formulazione proposta da Branson, propone la seguente relazione per il momento di inerzia efficace:

2

f f

e f f

g

f f

M se M 1.6

M M

I 0.1 M K * se 10 M 1.6

I M M

M M

0.1 se 10

M 0.9H M

⎡⎛ ⎞ ≤

⎢⎜ ⎝ ⎟ ⎠

⎢ ⎛ ⎞

= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ Φ ≥ > >

⎝ ⎠

⎣

(2.29)

dove:

c sy u

2330 K* 0.9H 0.4 M f

M 69 Φ γ

=

+

con γ

(peso specifico del calcestruzzo) in kg m e f

in MPa.

Infine (Rangan, 1982) propone:

e 3

0.1599 n se n 0.045

I 0.0019 se n 0.045

bd n

⎡ ρ ρ >

= ⎢ ⎢ ρ ≤

⎣ ρ

(2.30)

Tutte queste definizioni del momento di inerzia efficace possono essere utilizzate per le analisi delle strutture in cemento armato sottoposte a carichi di esercizio.

Analisi locale e media delle deformazioni

Alcuni modelli presenti in letteratura analizzano il comportamento delle strutture in cemento armato partendo dalla conoscenza del legame tra la sollecitazione e la deformazione dell’elemento.

La curvatura, come si può vedere nella Figura 2.14, varia sia in funzione dello stato di sollecitazione che della distanza dalla fessura. L’andamento presenta dei picchi nelle sezioni fessurate per poi decrescere per effetto degli scorrimenti tra barra e calcestruzzo. Questo modello può essere semplificato costruendo il legame tra lo stato di sollecitazione e la deformazione media del concio delimitato da due fessure. La curvatura del concio si calcola Integrando la curvatura locale:

( )

( )

m l

rm 0

M,N 1 z,M,N dz

ρ = s ∫ ρ (2.31)

dove s

è la distanza tra le fessure che coincide con la lunghezza del concio.

In questo modo, noto lo stato di sollecitazione in ogni sezione

dell’elemento, si integra direttamente la curvatura media del concio

delimitato da due fessure (Figura 2.14).

F

ρ ρ

F

M M

Myu M

Mf Mf

Muy M

M m

l

ρm

ρ_u

ρ_mu

Figura 2.14: Andamento delle curvature locali e delle curvature medie in una mensola in cemento armato

Nel caso in cui l’elemento è sottoposto ad una sollecitazione costante e supponendo che le fessure siano equidistanti (Figura 2.15), l’analisi della deformazione effettuato attraverso l’integrazione della curvatura locale o media porta alla stesso risultato.

ρ l ρ _m

N M N M

Figura 2.15: Andamento delle curvature locali e delle curvature medie in

elemento in cemento armato sottoposto ad uno stato di sollecitazione costante

La distribuzione delle curvature, locali o medie, in funzione dell’asse dell’elemento da analizzare, si ricava risolvendo un sistema di equazioni differenziali relativo alle condizioni di equilibrio e congruenza di una generica sezione dell’elemento. Nel prossimo paragrafo sarà descritto il suddetto sistema.

Impostazione analitica del fenomeno legato alla perdita d’aderenza tra acciaio e calcestruzzo

Base di partenza di tutti i modelli analitici è la scelta dei legami costitutivi dei materiali utilizzati, del legame tensione d’aderenza- scorrimento, della distanza tra le fessure, e della distribuzione delle tensioni di trazioni nel calcestruzzo trasferite dalle barre attraverso le tensioni tangenziali (Figura 2.16).

(z,s)

τ

(0) As

σ

z

(z) As

σ

(z) b

σ

Figura 2.16: Concio in cemento armato compreso tra le sezione fessurata e una sezione a distanza z da questa ultima

Generalmente nelle sezioni fessurate si considera il calcestruzzo non resistente a trazione e che sia valida l’ipotesi che le sezioni trasversali rimangono piane a deformazione avvenuta. Inoltre si ipotizza che nel concio compreso tra due fessure non siano presenti le “secondary cracks” (Broms, 1965) o “splitting cracks”

(Figura 2.17).

Il sistema di equazioni differenziali che regola il fenomeno del

tension stiffening, si ricava imponendo le condizioni di equilibrio e

congruenza in ogni sezione dell’elemento da analizzare.

Figura 2.17: Primary e secondary cracks in un elemento in cemento armato

Prendiamo in esame il caso del tirante (Figura 2.16), nella sezione distante z dalla sezione fessurata possiamo si può scrivere:

ƒ equilibrio alla traslazione orizzontale dell’intera sezione:

( ) ( ) ( )

s s c s s

A

0 A x, y,z dA z A

σ = σ ∫ + σ (2.32)

ƒ equilibrio alla traslazione della barra d’armatura (Figura 2.18):

( ) ( )

d

z 4

dz z,s σ = τ

Φ (2.33)

ƒ equilibrio di congruenza degli scorrimenti:

( ) ( )

s ct

ds(z) z z

dz = ε − ε (2.34)

Φ s

(z,s) τ

dz

(z) σ

(z) + d σ

(z) σ

Figura 2.18: Equilibrio alla traslazione orizzontale della barra

Lo stato di sollecitazione e di deformazione nelle sezioni fessurate sono note e rappresentano le condizioni al contorno del sistema di equazioni differenziali.

Nel caso in cui l’elemento in cemento armato è sottoposo ad uno stato di sollecitazione di flessione, presso-flessione o tenso- flessione l’impostazione del problema rimane la stessa, è necessario solo introdurre l’equazione di equilibrio alla rotazione della sezione.

Ciò che contraddistingue quindi i modelli analitici presenti in letteratura basati sulla risoluzione del sistema suddetto, sono:

ƒ i legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio;

ƒ il legame d’aderenza tensione-scorrimento;

ƒ la distanza tra le fessure;

ƒ la distribuzione delle tensioni di trazione nel calcestruzzo.

Prima di passare ai modelli presenti in letteratura, nel prossimo paragrafo saranno analizzate le formulazioni presenti in letteratura per valutare la distanza tra le fessure.

Distanza tra le fessure: formulazioni presenti in letteratura

Nella Figura 2.19(a) è rappresentato un concio teso (elemento in cemento armato compreso tra due fessure) e le azioni che nascono negli elementi costituenti, in funzione della distanza dalla fessura, per la sollecitazione corrispondente alla prima fessurazione. Ad una distanza l

dalla fessura, nota in letteratura con il nome di lunghezza di trasmissione, la deformazione nell’acciaio eguaglia la deformazione nel calcestruzzo: in questa sezione lo scorrimento è nullo.

All’aumentare dell’intensità dei carichi aumentano anche le tensioni nei materiali; se la distanza tra le fessure nella fase di prima fessurazione è maggiore di 2l

, un’altra fessura si forma in una sezione intermedia. La fessurazione si ritiene “stabilizzata”

quando tutte le distanze tra le fessure sono comprese tra l

e 2l

.

In Figura 2.19(b) è rappresentato un concio in cui il fenomeno della

fessurazione si è stabilizzato. Se lo stato di sollecitazione è uguale

nelle due fessure, nella sezione di mezzeria del concio, la

sollecitazione nell’acciaio arriva al valore minimo, lo scorrimento è

nullo e la tensione d’aderenza cambia di segno.

Figura 2.19: Distribuzione delle tensioni e delle deformazioni nella fase di prima fessurazione e nella fase di fessurazione stabilizzata (da Balazs, 1993)

Generalmente con l

si indica la distanza minima tra le fessure, con 2l

la distanza massima, mentre la distanza media è pari a:

max min t t

rm t

s s 2l l 3

s l

2 2 2

+ +

= = = (2.35)

(Rizkalla e Hwang, 1984) modificano l’equazione (2.35) per tener conto dell’influenza dell’armatura trasversale sulla distanza tra le fessure, che secondo gli autori è pari a:

r rm

s = β s (2.36)

dove:

0.02

R rm

0.96 R s R s β =

=

e s

è la distanza tra le staffe.

Le prime formulazioni analitiche presenti in letteratura per calcolare la distanza media tra le fessure sono basate su risultati di prove sperimentali.

(Salinger, 1936), esprime la distanza tra le fessure in funzione di una tensione d’aderenza “ultima” τ

. Dall’equazione di equilibrio a traslazione orizzontale della barra e introducendo un coefficiente α

che tiene conto della distribuzione non costante della tensione d’aderenza sull’interfaccia barra-calcestruzzo, la lunghezza di trasmissione è pari a:

t t

1 u

l f 4

= Φ

α ρ τ (2.37)

L’autore trova sperimentalmente che la tensione d’aderenza τ

è proporzionale alla resistenza a trazione del calcestruzzo:

t 2

l Φ

= α ρ (2.38)

dove

1 u

f α = a

α τ

(Broms, 1965, Broms e Lutz, 1965, Base et al, 1966) trovano

empiricamente che la distanza tra le fessure dipende dal copriferro:

rm 3

s = α c (2.39)

In particolare secondo (Broms, 1965) α

= 3.

(Rehm e Martin, 1968 , Ferry-Borges, 1966) propongono di calcolare la distanza tra le fessure combinando le equazioni (2.38) e (2.37). Questo approccio è stato poi inserito nel Model Code 1978.

Il Model Code 90 propone due relazioni per calcolare la distanza tra le fessure, una per la fase di prima fessurazione e l’altra per la fase di fessurazione stabilizzata.

La lunghezza di trasmissione, coincidente con la distanza minima tra le fessure, secondo il Model Code 90, è pari a:

s2 sE

t

bk

l 2 4 σ − σ

= Φ

τ (2.40)

che può essere scritta come:

t s2

bk eff

l 1

2 1 n

= σ Φ

τ + ρ nella fase di prima fessurazione (2.41)

t

eff

l 3.6

= Φ

ρ nella fase di fessurazione stabilizzata (2.42)

dove σ

è la tensione nell’acciaio nella sezione fessurata; σ

è la tensione nell’acciaio nella sezione in cui lo scorrimento è nullo; ρ

= A

/A

è la percentuale efficace di acciaio; A

è l’area di calcestruzzo efficace reagente a trazione, il cui valore è riportato nella Tabella 8; τ

è il più basso frattile della tensione tangenziale di aderenza il cui valore, per barre ad aderenza migliorata ed è pari a 1.8 f

per carico istantaneo e 1.35 f

per carico permanente o ciclico.

Nota la lunghezza di trasmissione, la distanza media tra le fessure può essere calcolata con l’equazione (2.35).

(Verkateswarlu e Gesund, 1972), dall’analisi agli elementi

finiti di un elemento in cemento armato bidimensionale, trovano

che la distanza massima tra le fessure è pari a:

max

eff

s 14.5

1 n

= Φ

+ ρ (2.43)

dove ρ

è il rapporto tra l’area dell’acciaio in trazione e l’area equivalente di calcestruzzo teso. Dai risultati dell’analisi agli elementi finiti, gli autori trovano che l’andamento della tensione di trazione nel calcestruzzo segue la seguente relazione:

( )

( )

2

yx ox 2

2

yx ox 2

f f y se 0 y

3 4 y

f f se y 3

4

⎡ δ +

= ≤ ≤ δ

⎢ δ

⎢ δ −

⎢ = δ ≤ ≤ δ

⎢ δ

⎣

(2.44)

dove y (Figura 2.20) rappresenta la distanza dall’asse neutro.

Figura 2.20: Andamento delle tensioni di trazione nel calcestruzzo secondo (Verkateswarlu e Gesund, 1972)

Integrando questa funzione lungo y, la distribuzione della tensione

di trazione nel calcestruzzo proposta è equivalente ad un

andamento costante per un’altezza pari a 1.5δ (Figura 2.20), quindi

l’area efficace di calcestruzzo che contribuisce all’assorbimento degli sforzi di trazione è pari a:

ct,eff

A = 1.5b δ (2.45)

(Oh e Kang, 1987) legano il fenomeno della fessurazione al meccanismo della frattura, nei loro studi gli autori trovano che la distanza media tra le fessure è pari a:

( )

( )

rm 3

1 2 2

s

s 25.7 1.66 0.236x10

−

= φ + φ +

Φ ε (2.46)

dove:

1

c s 2

ct,eff

d x A A φ = δ

−

φ = (2.47)

L’area di calcestruzzo teso A

è calcolata ipotizzando che l’energia di deformazione del calcestruzzo teso a partire dall’asse neutro è pari all’energia di deformazione calcolata ipotizzando un andamento costante delle deformazioni per un altezza pari a:

( )

( )

3 c

2 c

h x d x

−

− (2.48)

(Lan e Ding, 1992) dai risultati di una numerosa campagna sperimentale, propongono la seguente relazione:

rm

eff

s ⎛ 2.7c 0.11 Φ ⎞

= ⎜ ⎝ + ρ ⎟ ⎠ ν (2.49)

dove il coefficiente ν tiene conto dell’andamento non uniforme delle

tensioni d’aderenza sulla barra d’acciaio.

(Chowdhury e Loo, 2001) propongono la seguente relazione:

( )

rm b

s = 0.6 c s − + 0.1 Φ

ρ (2.50)

dove s

rappresenta la distanza tra le barre e c il copriferro (Figura 2.21)

s

c

Figura 2.21: Parametri geometrici per calcolare la distanza tra le fessure nella formulazione proposta da (Chowdhury e Loo, 2001)

(Leonhart, 1988) propone la seguente relazione per la distanza media tra le fessure:

rm

eff

s = 50 0.1 + Φ

ρ (mm) (2.51)

dove A

= b c 8 ( + Φ ) .

Questa relazione viene recepita dal EC2, che propone:

rm 1 2

eff

s = 50 k k + Φ

ρ (2.52)

dove:

k

= 0.8 per barre ad aderenza migliorata 1.6 per barre lisce

k

= 0.5 per struttura inflessa 1.0 per struttura tesa

Per sollecitazioni intermedie k

= (ε

+ε

)/(2ε

) con ε

, ε

deformazioni

di trazione agli estremi della sezione. Per quanto riguarda l’area

efficace di calcestruzzo in trazione si rimanda alla Tabella 8.

Tabella 8: Formulazioni analitiche per l’area efficace di calcestruzzo teso Area efficace di calcestruzzo Verkateswarlu e Gesund, 1972 1.5 b δ

Noakowski, 1985

(

)

Oh e Kang, 1987 ( )

( )

3 c

2 c

b h x 3 d x

−

−

Leonhardt, 1988

(

)

Bigaj, 1999

( )

( ) ( )

2 2

t,fl sn sn

2 sn

t sn sn sn sn

sn s

f bd d 4 d 12 h

bh

2f h 2 d 3 2

dove : n

+ ρ + ρ δ

− ρ ρ δ + + ρ − ρ + ρ

ρ = ρ

Circolare ministeriale 15

Ottobre 1996 n. 252 Figura 2.22

Model Code 90 - EC2 Figura 2.23

c

f f be

≤ 14 φ

≤ 7.5 φ

≤ 14 φ

≤ 7.5 φ

≤ 14 φ

c+s

≤ 7.5 φ c

x cm

40 cm

≤ 14 φ ≤ 40

c

c

c

c

σ^{s h}

s 14≤ φ

≤ φ14 deff

sione di bordo lastra

sione inferiore a di trave

one ntrica travi

Trazione uniforme travi, solette

Trazione uniforme elementi di forte spessore

σ^s

σ^s

σ^s

b =c+7,5eff φ

d =c+7,5eff φ d =c+7,5eff φ≤^{h x}₂

Fles zone

Fles tratto anim

Trazi ecce

Figura 2.22: Area efficace secondo la circolare ministeriale 15 Ottobre 1996 n.

252

x

trave

2.5(h-d)

elemento in trazione

x

(h-x)/3

t

2.5(c+Ø/2) t/2

il minimo tra

il minimo tra

h h

2.5(c+Ø/2)

piastra

Figura 2.23: Area efficace secondo l’Eurocodice 2

Per la normativa italiana (DM 9/01/96), la distanza media fra le fessure per la condizione di fessurazione stabilizzata in corrispondenza del livello baricentrico dell’armatura all’interno dell’area efficace è data da:

rm b 2 3

eff

s 2 c s k k

10

⎛ ⎞ Φ

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ + ρ (2.53)

in cui:

s

= distanza fra le barre (se s

> 14φ allora s

= 14φ) k

= 0,4 per barre ad aderenza migliorata

0,8 per barre lisce

k

= 0,125 nel caso di diagramma triangolare di flessione o pressoflessione

0,250 nel caso di trazione pura

(

) (

)

0.25 σ + σ 2 σ nel caso di trazione eccentrica o nel caso in cui si consideri una sola parte della sezione.

A

= b

d

in cui i valori da attribuire a b

ed a d

sono riportati nella Tabella 8.

Alcuni studi analitici presenti in letteratura propongono una formulazione per valutare la distanza tra le fessure, attraverso la risoluzione del sistema di equazioni differenziali descritto in precedenza. Le ipotesi semplificative necessarie per risolvere in forma chiusa il sistema riguardano principalmente i legami costitutivi, dell’acciaio, del calcestruzzo e il legame d’aderenza.

Mentre per i primi due legami i modelli presentati ipotizzano un

comportamento elastico lineare, il legame d’aderenza è

rappresentato da una funzione costante (König e Fehling, 1988), lineare (Lutz e Gergely, 1967, Somayaji e Shah, 1981), bilineare (Edwards e Picard, 1972) o non lineare (Somayaji e Shah, 1981, Balazs, 1993). La distribuzione delle tensioni di trazione nel calcestruzzo teso è triangolare nel caso di sollecitazione di flessione, mentre è costante nel caso di sollecitazione di sola trazione oppure si fa riferimento ad un’area efficace in cui si considera una distribuzione costante di tensioni.

Prendiamo in considerazione un elemento in cemento armato sottoposto ad una sollecitazione di trazione pura. Supponiamo di considerare una distribuzione costante della tensione di trazione nel calcestruzzo teso compreso tra due fessure e di considerare un legame costitutivo elastico lineare sia per l’acciaio che per il calcestruzzo ed infine di trascurare le fessure da splitting e il tension softening del calcestruzzo teso. L’equazione differenziale di secondo grado in termini di scorrimento che regola il fenomeno della trasmissione degli sforzi tra la barra d’acciaio e il calcestruzzo circostante è riportata nella Tabella 9, dove l’ascissa di riferimento z ha valore nullo nella sezione fessurata.

Tabella 9: Sistema di equazioni di equilibrio e congruenza in una generica sezione istante z dalla sezione fessurata nel caso di legami costitutivi elastici del calcestruzzo e dell’acciaio

equilibrio traslazione orizzontale

Tensioni:

( ) ( ) ( )

s 0 As ct z Act,eff s z As

σ = σ + σ

Deformazioni:

( ) ( ) ( )

s eff ct s eff

nε 0 ρ = ε z + εn z ρ

derivando rispetto a z:

( ) ( )

ct s

eff

d z d z

0 n

dz dz

ε ε

= + ρ

equilibrio traslazione orizzontale della barra

( ) ( )

s s

d z 4

E z,s

dz

ε = τ

Φ

equilibrio di congruenza

in termini di scorrimento

( ) ( )

s ct

ds z z

dz = ε − ε

derivando rispetto a z:

( ) ( )

2 s ct

2

d z d z

d s

dz dz

dz

ε ε

= −

Equazione differenziale:

( ) ( )

2 eff

2 s

4 1 n d s z,s

dz E

= τ + ρ

Φ

Per risolvere l’equazione differenziale riportata nella Tabella 9, sono necessarie le due condizioni al contorno, una terza equazione per trovare l’altra incognita del problema che è la lunghezza di trasmissione l

:

( )

s l = 0 (2.54)

( )

( )

ds 0 0

dz = ε (2.55)

( )

ds l 0

dz = (2.56)

In (Russo et al., 1990) sono riportate le integrazioni dell’equazione differenziale, nel caso in cui la tensione tangenziale è costante, lineare e non lineare, quest’ultimo caso con tensione tangenziale modellata dal primo ramo del legame proposto da (Eligehausen et al., 1983) e riportato nel Model Code 90 (equazione (1.16)).

Come visto nel capitolo precedente, (Sigrst, 1995) semplifica il legame d’aderenza con una funzione costante a tratti. In tal caso, se l’acciaio lavora in campo elastico, la funzione che descrive la tensione dell’acciaio in ogni sezione distante z dalla sezione fessurata:

( ) ( )

s

z

0 4 τ z

σ = σ −

Φ (2.57)

dove σ

(o) rappresenta la tensione dell’acciaio nella sezione fessurata.

Scrivendo l’equazione di equilibrio a traslazione orizzontale della sezione reagente distante z dalla fessura, si ottiene l’equazione che descrive la funzione σ

(z):

( )

( )

( )

ct

c s

A 0 A z

z A A

σ − σ

σ =

− (2.58)

che diventa:

( )

b0

ct

4 z

z 1

ρ τ σ = Φ

− ρ (2.59)

L’autore trova la lunghezza di trasmissione ponendo la tensione di trazione σ

(l

)=f

:

t t

b0

f 1

l 4

= Φ − ρ

τ ρ (2.60)

(Como e Leonardi, 2002, 2003, Como, 2003) analizzano la fessurazione degli elementi in c.a. sotto carichi di esercizio, per le quali, in sostanza, la tensione nell’acciaio deve mantenersi al di sotto della tensione di snervamento. A tal fine caratteristica molto significativa è il legame di aderenza da assumere nell’intorno dei piccoli valori degli slittamenti tra acciaio e calcestruzzo. In questo contesto, la fase di perfetta aderenza, caratterizzata dalla presenza di un tratto a pendenza praticamente verticale all’origine nella relazione τ-s, si dimostra essere molto rilevante. Il legame adottato dagli autori, che si rifà a quello proposto da (Eligehausen et al, 1983) è quello riportato nella Figura 2.24.

Figura 2.24: Legame τ -slip utilizzato nel modello proposto da (Como e Leonardi,

2002)

Il valore τ

definisce l’intensità della tensione tangenziale d’aderenza che segna la fine della fase di perfetta aderenza ed a partire dalla quale di attivano degli slittamenti proporzionali alla differenza (τ- τ

). Sulla base di risultati sperimentali, gli autori propongono per la tensione τ

, per calcestruzzi di bassa o media resistenza, il valore dell’ordine di 1.5 f

. La fase degli slittamenti elastici proporzionali alla differenza (τ- τ

) termina quando la tensione tangenziale di aderenza raggiunge il valore τ

, pari a circa il doppio della resistenza cilindrica del calcestruzzo. A questo punto segue nel legame τ-s un piccolo tratto plastico di slittamento a tensione tangenziale costante al di là del quale, col sopraggiungere dello snervamento dell’acciaio, si verifica un forte degrado della resistenza di aderenza. Lo slittamento s

, che è dell’ordine di 1mm, caratterizza il modulo di rigidità allo slittamento:

0 1

0

G s

τ − τ

= (2.61)

Risolvendo il sistema di equazioni differenziali che descrive il fenomeno della perdita d’aderenza, per elementi in c.a. tesi, inflessi o pressoinflessi, gli autori determinano la distanza media tra le fessure e lo stato di sollecitazione e di deformazione dell’elemento fessurato.

In particolare, se l’elemento è teso, gli autori propongono:

1 t

1 rm

sinh f s 4

−

⎛ Φχ ⎞

⎜ τ ρ ⎟

⎝ ⎠

= χ (2.62)

dove .

( )

s

G 1 n

2 2 E

+ ρ

χ = Φ

Nel caso in cui l’elemento è sottoposto a flessione o pressoflessione:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

m t m 1 m t

m 1 m t

rm

1 2 nf 1 4 n f

ln 1 4 n f

s 3 2

⎡ Ω ς − − ΩΦχ − ς + τ χ − Φχ ⎤

⎢ ⎥

⎢ Ω ς − − τ χ + Φχ ⎥

⎣ ⎦

= χ (2.63)

dove:

Ω = χ σ Φχ ,

( )

( )

2 g

g 2

I h x I d x χ = −

− ,

m

r 1 ς = χ

+ χ ,

(

)

s

2 2 G 1

E + χ

χ = Φ , ^{r 1 h x}

= − δ

−

σ

, I

e x

sono rispettivamente la tensione nell’acciaio teso, il momento d’inerzia calcolato rispetto all’asse neutro e posizione dell’asse neutro calcolati nello stadio II (sezione completamente fessurata), mentre I

e x

sono rispettivamente momento d’inerzia e posizione dell’asse neutro della sezione di solo calcestruzzo calcolati nello stadio I (sezione interamente reagente) che nel caso di sezione rettangolare e sottoposta a flessione semplice, sono pari rispettivamente a bh

/12 e h/2.

Tutte le formulazioni presentate analizzano la fessurazione di strutture in cemento armato sottoposte a carichi di esercizio. In generale, il comportamento alla stato limite ultimo potrebbe essere diverso poiché, prima di raggiungere le condizioni di crisi, potrebbero formarsi delle “nuove fessure” che modificano il quadro fessurativo. Questo problema sarà affrontato nel prossimo capitolo in cui attraverso una tecnica numerica verrà integrato il legame d’aderenza con lo scopo di valutare l’influenza dell’intensità della sollecitazione flettente sulla lunghezza di trasmissione l

.

Integrazione numerica del legame d’aderenza:

tecnica dello shooting

La risoluzione del sistema di equazioni differenziali descritto

precedentemente, nel caso in cui si consideri il legame d’aderenza

non lineare (ad esempio quello riportato nel Model Code 90)

richiede delle tecniche di integrazione numerica. (Ciampi et al., 1982) introducono la procedura iterativa detta dello “shooting”: i cui passaggi sono riassunti nel digramma di flusso riportato nella Figura 2.25.

s1

τ1

∆ σs1

σs1

NO

SI

Ipotizzo un valore dello scorrimento iniziale s1

Stesso iter per il concio 2, compreso tra la sezione 2 e 3

?

Calcolo il valore della tensione nella sezione m: σm e lo confronto con la tensione calcolata inizialmente (errore=differenza tra i due valori)

Stesso iter per il concio m-1, compreso tra la sezione m-1 e m Trascurando la deformazione del calcestruzzo teso, calcolo lo

scorrimento s2 nella sezione 2:

εs

σs

Noto σs2, calcolo εs2

Dall'equilibrio della barra a traslazione orizzontale calcolo la tensione nella barra nella sezione distante dx dalla sezione iniziale:

τ

s x

Noto x1 e s1, calcolo τ1

Divido il concio compreso tra due fessure in m elementi

di lunghezza ∆ (λ/m)

Ipotizzo un valore dello scorrimento iniziale s1

Calcolo le tensioni σs1 e σsm dell'acciaio nelle due sezioni fessurate

As dσdxs = -τ ps σs2 = σs1-τ 4 ∆

Φ ^Φ

= εs(x) s² = s¹- ∆

dxds εs1+εs2

2

∆

elemento 1 elemento i elemento m

σ1 σm

λ

Fine errore 0≈

Figura 2.25: Tecnica dello shooting

Nel metodo proposto il concio compreso tra due fessure, di lunghezza λ, viene suddiviso in un numero m di elementi in cui si suppone costante la tensione tangenziale d’aderenza. Nelle sezioni fessurate (quindi nella sezione iniziale e finale del concio da esaminare), dalle condizioni di equilibrio e congruenza, supponendo valida l’ipotesi di perfetta aderenza tra la barra e il calcestruzzo e l’ipotesi di planeità delle deformazioni, è possibile calcolare lo stato di deformazione e di tensione in ogni punto della sezione trasversale.

Si ipotizza un valore iniziale di tentativo dello scorrimento, dal legame d’aderenza utilizzato si calcola il valore della tensione tangenziale che agisce nella sezione iniziale e ipotizzando che questa tensione rimanga costante per tutto l’elemento di lunghezza

∆ (=λ/m) si calcolano dalle condizioni di equilibrio della barra e di congruenza dello scorrimento, la tensione nell’acciaio nella sezione distante ∆ dalla sezione fessurata. Dal legame costitutivo dell’acciaio si valuta la deformazione nell’acciaio e quindi lo scorrimento nella sezione 2. Da questi valori di deformazione e scorrimento si riparte per calcolare le stesse grandezze nella sezione 3. Il procedimento continua fino ad arrivare al valore della tensione nell’acciaio nell’ultima sezione, che è la sezione fessurata in cui la tensione e la deformazione sono “noti”. Se la differenza tra queste due tensioni minore della tolleranza fissata, la procedura è terminata, altrimenti si itera il procedimento con un altro valore dello scorrimento iniziale. Nella Figura 2.25 viene riportato un diagramma di flusso che spiega i passaggi del metodo proposto.

Nella procedura proposta da (Ciampi et al., 1982) viene trascurato il contributo della deformazione del calcestruzzo teso nell’equazione di congruenza dello scorrimento.

Diagrammi momento-curvatura media

(Langer, 1987 e Li, 1995) sviluppano un codice di calcolo per

analizzare le strutture in cemento armato sottoposte a carichi

monotoni crescenti. Nella Figura 2.26 è rappresentato lo schema

del codice sviluppato: note le caratteristiche geometriche e

meccaniche dell’elemento, la distanza tra le fessure è calcolata

adottando la formulazione proposta da (Kreller, 1989) che tiene