CAP.6 STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO PROGETTO DI STRUTTURE IN C.A.P.

(1)

CAP.6 STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO PROGETTO DI STRUTTURE IN C.A.P.

INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI RISCHI NATURALI

CORSO DI

COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI

ING. STEFANO DE SANTIS ANNO ACCADEMICO 2020-2021

(2)

Strutture in cemento armato precompresso: quadro delle lezioni

Lezione 1: inquadramento

❑ Sviluppi e caratteristiche tecnologiche del cemento armato precompresso

❑ Tiranti e travi in c.a.p., cavo risultante

❑ Fasi costruttive, Stati Limite, Vantaggi e svantaggi della precompressione

Lezione 2: tecnologia del c.a.p.

❑ Precompressione interna/esterna, a fili pretesi/a cavi post-tesi, totale/limitata/parziale

❑ Strutture composte/a conci, dettagli costruttivi

Lezione 3: materiali

❑ Calcestruzzi da c.a.p.: resistenze e classi; tensioni limite; viscosità e ritiro

❑ Acciai da c.a.p.: resistenze, tipologie di prodotti; tensioni limite; rilassamento

Lezione 4: perdite istantanee e cadute lente

❑ Perdite istantanee per accorciamento del cls e per attrito cavo-guaina

❑ Cadute lente dovute alle deformazioni viscose, al ritiro e al rilassamento

Lezione 5: verifiche delle strutture in c.a.p.

❑ Calcolo delle tensioni e verifiche allo SLE a vuoto e in esercizio

❑ Verifiche allo SLU di flessione e di taglio

Lezione 6: progetto delle strutture in c.a.p. (1)

❑ Dimensionamento della sezione e del sistema di precompressione

❑ Fuso di Guyon, andamento del cavo risultante e tracciato dei cavi, cavi intubettati e cavi attestati in campata

❑ Momento utile e momento utile aggiunto

❑ Sistema equivalente alla precompressione

Lezione 7: progetto delle strutture in c.a.p. (2)

❑ Esercizio di riepilogo

1

2

4

6 3

5

7

(3)

Cavo risultante

❑ L’armatura da precompressione è costituita da un sistema di più cavi in acciaio.

❑ Il cavo risultante è definito come il luogo dei punti di passaggio delle risultanti delle forze di precompressione esercitate dai vari cavi.

❑ Il CR consiste in una schematizzazione dei sistema di precompressione attraverso un singolo cavo equivalente, che produce lo stesso stato di precompressione del sistema di cavi reale, in ogni sezione dell’elemento strutturale.

❑ Quindi: in ciascuna sezione della trave, la risultante delle azioni di precompressione ha:

o punto di applicazione coincidente con il CR o direzione tangente al CR

❑ Si ricorre al CR per semplicità ai fini del calcolo. Si usa il CR per dimensionamento e verifiche. Al progettista spetta il compito di progettare sezioni, tracciato e forze di pretensione dei cavi affinché la risultante approssimi il CR.

(4)

Condizioni di riferimento per il progetto

Obiettivo:

❑ Dimensionare la sezione (o scegliere una sezione, nel caso di travi prefabbricate)

❑ Progettare il sistema di precompressione: forza N

_p

e posizione del CR e

_p

Ai fini del (pre)dimensionamento:

➔ ci si riferisce a due condizioni limite:

❑ Condizione iniziale (a vuoto) → Momento esterno: M

_i

❑ Condizione finale (di esercizio) → Momento esterno: M

_e

o combinazione rara: carichi più alti ma s

_c,max

più alta

o oppure combinazione quasi permanente: carichi più bassi ma s

_c,max

più bassa

➔ si assumono le seguenti ipotesi di progetto:

❑ Si assume che la sezione non cambi (mentre la solidarizzazione mediante iniezione delle guaine oppure il getto e l’indurimento di solette gettate in opera modifica le caratteristiche meccaniche della sezione)

❑ Si stima forfettariamente la precompressione in esercizio N

_e

come una aliquota di quella iniziale N

_i

attraverso un coefficiente b<1 che tiene conto delle cadute lente (N

_e

=bN

_i

)

Riferimenti GIA §15.6.2

(5)

Condizioni iniziali di riferimento per il progetto

𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

+ 𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑖

𝑊

₁

≤ 𝜎

_𝑐𝑖

𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

− 𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑖

𝑊

₂

≥ 0

Intradosso (lembo inferiore)

Estradosso (lembo superiore)

Retta limite inferiore

Tensioni in mezzeria Riferimenti GIA §15.6.2

(6)

Condizioni finali di riferimento per il progetto

𝛽𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

+ 𝛽𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑒

𝑊

₁

≥ 0

𝛽𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

− 𝛽𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑒

𝑊

₂

≤ 𝜎

_𝑐𝑒

Retta limite superiore

Tensioni in mezzeria Riferimenti GIA §15.6.2

(7)

Condizioni di riferimento per il progetto

Ai fini del (pre)dimensionamento,

➔ si ricavano quattro condizioni,

❑ due per le condizioni inziali e due per le condizioni in esercizio

❑ due per il lembo superiore e due per il lembo inferiore

❑ tutte riferite alle tensioni nel cls

𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

+ 𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑖

𝑊

₁

≤ 𝜎

_𝑐𝑖

_𝐴 ^𝑁

^𝑖

𝑐

− 𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑖

𝑊

₂

≥ 0

𝛽𝑁

_𝑖

𝐴

_𝑐

+ 𝛽𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑒

𝑊

₁

≥ 0 ^𝛽𝑁 _𝐴

^𝑖

𝑐

− 𝛽𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

− 𝑀

_𝑒

𝑊

₂

≤ 𝜎

_𝑐𝑒

Condizioni iniziali (a vuoto)

Condizioni finali (in esercizio)

(8)

Predimensionamento sezione a fili pre-tesi

Obiettivo del predimensionamento:

❑ Dimensionare la sezione (o scegliere una sezione, nel caso di travi prefabbricate)

❑ Dimensionare il sistema di precompressione: forza N

_p

e posizione del CR e

_p

❑ DIMENSIONAMENTO DELLA SEZIONE

❑ DIMENSIONAMENTO DEL SISTEMA DI PRECOMPRESSIONE

𝑊 ₁ =

𝑀𝑒

𝛽

−𝑀

_𝑖

𝜎

_𝑐𝑖

𝑊 ₂ = ^𝑀

^𝑒

^−𝛽𝑀

^𝑖

𝜎

_𝑐𝑒

𝑁 _𝑖 = 𝜎 _𝑐𝑖 𝐴 _𝑐 ^𝑊

¹

𝑊

₁

+𝑊

₂

𝑒 _𝑝 = ^𝑀

^𝑖

𝑁

_𝑖

+ ^𝑊

²

𝐴

_𝑐

❑ Le precedenti considerazioni ed espressioni analitiche si riferiscono ad una sola sezione

(ad esempio la sezione di mezzeria di una trave appoggiata, in cui il momento flettente

prodotto dal peso proprio e dai sovraccarichi è massimo)

(9)

Dalla sezione alla trave

Strutture a fili pre-tesi

Riferimenti GIA §15.7

❑ Si consideri una trave in c.a.p. a fili pre-tesi. In questo caso, per esigenze di

prefabbricazione, il tracciato delle armature di precompressione è generalmente rettilineo.

❑ Gli effetti della precompressione (pressoflessione con sforzo normale N

_i

oppure bN

_i

ed eccentricità e

_p

) sono i medesimi in qualunque sezione della trave.

❑ Ma: le sollecitazioni prodotte dai carichi esterni variano lungo l’asse della trave.

❑ Quindi: non tutte le sezioni si trovano quindi nella stessa condizione di sollecitazione.

❑ In particolare, non è detto che:

o in tutte le sezioni si ottengano gli stessi effetti benefici della precompressione o In tutte le sezioni siano soddisfatte le verifiche agli SLE (verifiche alle tensioni)

(potrebbe anche succedere che non sia garantita la precompressione totale ovunque)

A vuoto In esercizio

Tensioni in mezzeria Tensioni in appoggio

(10)

Dalla sezione alla trave

Strutture a fili pre-tesi

❑ Per garantire la precompressione totale nelle sezioni in cui è minima (o nulla) la

sollecitazione esterna, è necessario che il CR sia interno al nocciolo centrale di inerzia.

❑ Tuttavia, nelle sezioni in cui il momento esterno è massimo, questo si traduce in una minore efficacia della precompressione (perché in linea di principio sarebbe conveniente spostare il CR ad una maggiore eccentricità)

❑ Se si vuole garantire la precompressione totale ovunque, è quindi necessario ricorrere a forze di precompressione maggiori.

❑ Se si potesse, al contrario, modificare la posizione del CR lungo l’asse della trave, seguendo l’andamento delle sollecitazioni esterne, si potrebbe ottenere un risultato analogo con forze di precompressione minori

Tensioni in mezzeria Tensioni in appoggio

(11)

Dalla sezione alla trave

Strutture a cavi scorrevoli

❑ Nelle strutture in c.a.p. a cavi post-tesi, il tracciato dei cavi è non rettilineo, ed è progettato (insieme al livello di precompressione) affinché siano ottimizzati gli effetti benefici della precompressione e siano garantite le condizioni di sicurezza (verifiche alle tensioni) in ogni sezione ed in ogni condizione di carico (a vuoto e in esercizio)

❑ Ad esempio, per garantire la precompressione totale, si garantisce che il punto di applicazione della risultante (precompressione + peso proprio + sovraccarichi) sia

ovunque e sempre interno al nocciolo centrale di inerzia.

Tensioni in mezzeria k_i

k_s e(x)

x

Tensioni in appoggio A vuoto e in

esercizio

(12)

Il tracciato dei cavi

❑ Obiettivo: determinare il tracciato del CR lungo l’asse della trave o, più in

generale, una zona entro la quale deve trovarsi il CR (insieme dei tracciati del CR), tali che siano soddisfatte le condizioni di sicurezza e sia ottimizzata l’efficacia della precompressione.

❑ Questa zona è detta Fuso di Guyon: area tracciata nella sagoma della trave vista in prospetto laterale tale che, se il CR cade al suo interno, le verifiche di tutte le sezioni sono soddisfatte

❑ Si consideri una trave semplicemente appoggiata a sezione costante (caso semplice ma frequente nelle applicazioni)

❑ Si intende garantire la precompressione totale, quindi la risultante delle sollecitazioni deve essere interna al nocciolo centrale di inerzia in ogni sezione

❑ Al CR viene generalmente assegnato tracciato parabolico, perché le i momenti

esterni variano con legge parabolica lungo l’asse della trave

(13)

Il tracciato dei cavi

Nella sezione di mezzeria:

❑ A vuoto

❑ In esercizio

𝑒

_𝑝

≤ 𝑒

₁

+ 𝑀

_𝑖

𝑁

_𝑖

−𝑒

₂

≤ 𝑒

_𝑝

≤ 𝑒

₁

𝑒

_𝑝

≥

^𝑀^𝑒

𝑁_𝑒

− 𝑒

₂

Note:

❑ le distanze sono calcolate a partire dal baricentro e sono positive andando verso il basso

❑ I simboli indicano distanze in valore assoluto In qualunque sezione (x):

❑ A vuoto

❑ In esercizio

𝑒

_𝑝

(𝑥) ≤ 𝑒

₁

+ 𝑀

_𝑖

(𝑥) 𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

(𝑥) ≥

^𝑀^𝑒^(𝑥)

𝑁_𝑒

− 𝑒

₂

Nella sezione di appoggio

❑ A vuoto e in esercizio

e₂

e₁

(14)

Il tracciato dei cavi

𝑒

_𝑝

(𝑥) ≤ 𝑒

₁

+ 𝑀

_𝑖

(𝑥)

𝑁

_𝑖

𝑒

_𝑝

(𝑥) ≥

^𝑀^𝑒^(𝑥)

𝑁_𝑒

− 𝑒

₂

A vuoto In esercizio

❑ Queste due condizioni, con il segno di = stretto, sono rappresentate graficamente da due curve, disegnate lungo il profilo laterale della trave.

❑ Le due curve hanno il significato fisico di tracciato limite del CR, nelle condizioni a vuoto e in esercizio.

❑ Si parla di traccialo limite perché si tratta dell’andamento del CR per il quale l’asse

neutro coincide con il lembo (superiore a vuoto ed inferiore in esercizio) della sezione. Ci si trova cioè in condizioni limite di precompressione totale.

❑ Superate queste condizioni, parte della sezione è tesa.

❑ Considerare insieme le due disequazioni conduce alla identificazione di una regione lungo il profilo laterale della trave, all’interno della quale può ricadere il CR, garantendo ovunque e in qualunque condizione, la precompressione totale.

❑ Questa regione è detta Fuso di Guyon.

(15)

Il tracciato dei cavi

L=25m h=2m e₁=0.67m e₂=0.67m

g=12kN/m q=25kN/m N_i=3500kN N_e=0.6N_i

Dati principali

e₁ e₂

L/2 h

Valori di

riferimento

(16)

Il tracciato dei cavi

e_pi=e₁=0.6667m e_pi=0.9345m

Cavo Risultante e Linea delle Pressioni A Vuoto – Condizione limite

LP CR

(17)

Il tracciato dei cavi

e_pi= −e₂= −0.67m e_pi= +0.7098m

Cavo Risultante e Linea delle Pressioni In Esercizio – Condizione limite

LP CR

(18)

Il tracciato dei cavi

Fuso di Guyon

A Vuoto e in Esercizio – Condizioni limite

IN ESERCIZIO A VUOTO

(19)

Il tracciato dei cavi

e_p= −0.20m e_p= +0.80m

Fuso di Guyon e Cavo Risultante scelto

CR SCELTO FUSO DI GUYON

(20)

Il tracciato dei cavi

Fuso di Guyon e Cavo Risultante scelto Linee delle Pressioni a Vuoto e in Esercizio

LP A VUOTO LP IN ESERCIZIO

(21)

Il tracciato dei cavi

N_i=3500kN N_e=1.0N_i

N_i=3500kN N_e=0.6N_i

N_i=3500kN N_e=0.5N_i

Fuso di Guyon

Sensibilità alle cadute lente

Valori di riferimento

(22)

Il tracciato dei cavi

N_i=5500kN N_e=0.6N_i

N_i=3500kN N_e=0.6N_i

N_i=2500kN N_e=0.6N_i

Fuso di Guyon

Sensibilità al tiro iniziale (scontate le perdite istantanee)

Valori di riferimento

(23)

Momento utile e momento utile aggiunto

Alcune indicazioni per il predimensionamento della sezione, con riferimento alla sezione di mezzeria di una trave appoggiata

Per effetto dei carichi esterni (peso proprio, sovraccarichi permanenti e variabili, cioè tutti i carichi tranne la precompressione) la risultante delle sollecitazioni si sposta verso l’alto rispetto alla posizione del CR

❑ A vuoto, la risultante sale della quantità M_i/N_i(rispetto al CR)

❑ In esercizio, la risultante sale della quantità M_e/N_e(rispetto al CR)

Nelle condizioni di progettazione ottimale:

❑ A vuoto: per far ricadere la risultante al limite inferiore del nocciolo, si posiziona il CR più in basso di una quantità M_i/N_i.

Questa quantità è detta d_a. Il prodotto d_a·N_iè detto Momento utile aggiunto M_ut,a

❑ In esercizio: per far ricadere la risultante al limite superiore del nocciolo, si posiziona il CR più in basso di M_e/N_e.

M_e=M_g+g2+q: momento in esercizio (dovuto a peso proprio + sovraccarichi permanenti e variabili)

Trascurando le cadute lente, passando dalle condizioni a vuoto a quelle di esercizio, la risultante sale di M_g2+q/N_e (con M_g2+q: momento dovuto ai sovraccarichi permanenti e variabili).

Al massimo questa escursione può valere e₁+e₂ (tutta l’altezza del nocciolo). Il prodotto (e₁+e₂)·N_eè detto Momento utile M_ut

Una sezione può essere considerata ben progettata se il massimo momento dovuto ai sovraccarichi (permanenti e variabili) coincide con il momento utile.

(24)

160130

5 8.6 12.2 15.8 10070

14 m

y

x

Tracciato dei cavi e CR

Riferimenti

GIA §15.7

a [m^-1] b [-] c [m]

Cavo 1 0.0033 0 0.0050

Cavo 2 0.0047 0 0.0860

Cavo 3 0.0060 0 0.1220

Cavo 4 0.0074 0 0.1580

❑ Nota l’equazione del tracciato di ogni cavo, il tracciato del CR può essere calcolato con la media aritmetica se i cavi hanno tutti la stessa sezione e la stessa tensione

Equazioni dei tracciati dei cavi

y(x) = ax² + bx + c

1400

Quote in cm

(25)

Esercizio

Esercitazione 2, Esercizio 14

Si consideri la trave in c.a.p. a cavi post-tesi rappresentata in figura, di luce totale 28m e sezione rettangolare di altezza 2m. L’armatura di precompressione è

costituita da 4 cavi uguali, ciascuno formato da 18Ø7, che hanno andamento

parabolico, con tangente orizzontale in mezzeria, e tensione di precompressione di 840MPa.

Si richiede di determinare:

• l’equazione del cavo risultante e l’angolo di attacco del cavo in testata (inclinazione del CR nella sezione di testata).

• il valore della forza di precompressione in testata.

• il sistema di forze esterne equivalente alla precompressione.

Nota: nell’immagine è rappresentata una metà della trave, dall’appoggio alla mezzeria, e sono indicate le quote di attacco in testata e di passaggio in mezzeria dei cavi, misurate a partire dall’intradosso della trave.

14.0m 0.70m

1.00m 1.30m 1.60m

0.050m 0.086m 0.122m 0.158m

Y

X

2.00m

(26)

160130

5 8.6 12.2 15.8 10070

14 m

y

x

a b c

Cavo 1 0.0033 0 0.0050

Cavo 2 0.0047 0 0.0860

Cavo 3 0.0060 0 0.1220

Cavo 4 0.0074 0 0.1580

Cavi intubettati

y(x) = ax² + bx + c

(27)

Cavi attestati in campata

a b c

Cavo 1 0.0033 0 0.0500

Cavo 2 0.0047 0 0.0860

Cavo 3 0.0122 0 0.1220

Cavo 4 0.0167 0 0.1580

y(x) = ax² + bx + c

(28)

Sistema equivalente alla precompressione

Tirante in c.a.p. (dalla lezione CAP.1)

Sistema equivalente alla precompressione: sistema di forze staticamente equivalenti alla

precompressione (che producono gli stessi effetti sulla struttura in termini di reazioni vincolari, sollecitazioni e tensioni, spostamenti e deformazioni):

❑ Dipende dalla geometria dei cavi (del CR) e dalla forza di precompressione applicata

❑ E’ un sistema di forze a risultante nulla (perché la precompressione induce uno stato di coazione nell’elemento strutturale)

❑ Viene utilizzato per determinare le sollecitazioni negli elementi in c.a.p., risultando spesso utile soprattutto per le strutture iperstatiche

Sistema di cavi da precompressione

Sistema equivalente alla precompressione

❑ L’armatura da precompressione è costituita da un sistema di più cavi in acciaio.

(29)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

(30)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

❑ Nelle travi il CR è spesso curvilineo

❑ Il sistema equivalente alla precompressione è costituito da:

o Forze concentrate in testata

o Forze distribuite lungo l’asse della trave

(31)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

Forze concentrate in testata Dipendono:

❑ dal valore dello sforzo di precompressione (forza N₀)

❑ dalla inclinazione del CR in testata (angolo a₀)

❑ dalla posizione del CR in testata (eccentricità e₀) Comprendono:

❑ Sforzo normale: N = N₀·cos(a₀) ≈ N₀

❑ Momento flettente: M = N·e₀

❑ Taglio: V = N₀·sin(a₀) ≈ N₀·a₀

N

₀

a

₀

e

₀

N

Sistema di

precompressione

V M

a₀piccolo

(32)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

Forze distribuite lungo l’asse della trave Dipendono:

❑ dal valore dello sforzo normale nel cavo (N_p)

❑ dal raggio di curvatura del cavo (r)

❑ dal coefficiente di attrito cavo-guaina (m)

In un generico punto del cavo (che ha inclinazione a rispetto all’orizzontale), ci sono:

❑ sforzi paralleli all’asse del cavo p_t= m·N_p/r

❑ sforzi normali all’asse del cavo p_n= N_p/r

Sistema di precompressione

p

_n

p

_t

(33)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

Forze distribuite lungo l’asse della trave Comprendono:

❑ Carico distribuito parallelo all’asse della trave p_x(a) = p_t·cos(a) – p_n·sin(a) ≈ 0

❑ Carico distribuito normale all’asse della trave p_y(a) = p_n·cos(a) + p_t·sin(a) ≈ N/r

a₀piccolo

p

_y

(34)

Sistema equivalente alla precompressione

Generalizzazione: travi in c.a.p.

Forze distribuite lungo l’asse della trave Comprendono:

❑ Carico distribuito parallelo all’asse della trave p_x(a) = p_t·cos(a) – p_n·sin(a) ≈ 0

❑ Carico distribuito normale all’asse della trave p_y(a) = p_n·cos(a) + p_t·sin(a) ≈ N/r

a₀piccolo

p

_y

Nei casi più generali, p_yvaria lungo l’asse della trave perché:

❑ Cambia il raggio di curvatura del cavo r=r(x)

❑ Cambia lo sforzo di precompressione per le perdite di attrito p_n=p_n(x), p_t=p_t(x) Tuttavia, sono generalmente accettate le seguenti due semplificazioni:

❑ Il CR ha forma quadratica e il suo raggio di curvatura può essere considerato costante e pari a r=L²/8f

❑ Le perdite di attrito possono essere trascurate quindi N è costante lungo l’asse del cavo Ne consegue che p_y è un carico uniformemente distribuito

y x

(35)

Ing. Stefano De Santis

stefano.desantis@uniroma3.it www.romatrestrutture.eu

CAP.6 STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO PROGETTO DI STRUTTURE IN C.A.P.