CONCETTO DI INSIEME
Si definisce insieme un raggruppamento di elementi distinti e ben definiti. Un insieme non è solo numerico ma si può definire un insieme il raggruppamento di persone cose o animali che possono avere degli elementi in comune.
Per indicare un insieme si usano le lettere maiuscole dell’alfabeto(A,B,C….). La scelta della lettera da assegnare all’insieme, se non è definita dall’esercizio, è soggettiva ma per convenzione e praticità si preferisce usare le prime lettere dell’alfabeto.
Il raggruppamento di cose, persone, animali che fanno parte di un insieme si chiamano elementi e vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto (a,b,c,….).
Un insieme può essere:
VUOTO: se è privo di elementi;
UNIVOCO: se è formato da un solo elemento;
FINITO: se ha un numero limitato di elementi (che si possono contare).
INFINITO: se ha un numero illimitato di elementi (non si possono contare perché gli elementi che compongono tale insieme è infinito).
Esistono tre modi per rappresentare gli insiemi.
Rappresentazione per Elencazione: gli elementi che formano l’insieme si elencano tra due parentesi graffe {} ogni elemento è separato con una virgola o un punto e virgola da quello successivo.
Rappresentazione per caratteristica: si basa sull’individuazione di una proprietà comune a tutti gli elementi di un insieme; A={x I x è un colore dell’arcobaleno}.
Rappresentazione grafica: si usa il diagramma di Eulero-Venn. Si scrivono gli elementi dell’insieme dentro una linea chiusa e ogni elemento è contrassegnato con un punto. Gli elementi che non appartengono all’insieme si segnano fuori dal grafico.
A
SOTTINSIEME: un insieme B si dice sottinsieme di A quando ogni elemento di B è anche un elemento di A ma non viceversa. In pratica l’insieme B è più piccolo dell’insieme A.
A
comune. L’area di intersezione forma un nuovo insieme, C.
C=AП B
C
A B
UNIONE DI INSIEMI: l’unione di due insiemi, A e B, è l’insieme C che contiene sia gli elementi di A sia gli elementi di B presi una e una sola volta.
A={1,2,3,4,5,6,7}
B={8,9,10,11,12,13,14,15}
C= A u B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,3,14,15}
Quando si rappresenta un insieme è necessario che, tutti gli elementi appartenenti all’insieme siano rappresentati una e una sola volta.
Il concetto di insieme è necessario per poter capire gli insiemi numerici.
Gli insiemi numerici sono:
l’insieme dei numeri Reali (R) l’insieme dei numeri Razionali (Q) l’insieme dei numeri Relativi (Z) l’insieme dei numeri Naturali (N)
R Q
Z
N
L’INSIEME N
L’insieme N è Infinito. Appartengono all’insieme N tutti i numeri NON negativi che usiamo per contare e per ordinare e per questo si dividono in:
● Numeri naturali CARDINALI: li usiamo quotidianamente quando vogliamo contare qualcosa (uno, due, tre…).
● Numeri naturali Ordinali: li usiamo per classificare (primo, secondo, terzo …. ) I numeri naturali si possono:
● Sommare
● Sottrarre
● Moltiplicare
● Dividere
● Elevare a potenza
● Scomporre in fattori primi
● Ordinare e confrontare
Il primo insieme che si prende in esame quando si studia la matematica è l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N e i suoi elementi sono i numeri INTERI POSITIVI (ad esempio:1,2,3… ) questi sono stati i primi numeri ad essere stati usati dall'umanità. L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito ha, quindi, una quantità illimitata di numeri. Sicuramente dopo il numero più grande che possiamo immaginare ne esisterà uno maggiore che sarà anch’esso intero e positivo.
I numeri che appartengono all’insieme N sono quei numeri che vengono semplicemente definiti NATURALI.I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare gli oggetti. Il primo numero naturale è lo zero. L'insieme dei segni e delle regole usate per scrivere i numeri costituisce un SISTEMA DI NUMERAZIONE.
I simboli usati per scrivere i numeri sono le dieci cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Queste dieci cifre unite tra di loro formano una combinazione infinita di numeri.
Esempio
34.765 è un numero formato da 5 cifre:
la cifra 3, la cifra 4, la cifra 7, la cifra 6 e la cifra 5.
● utilizza dieci simboli per la scrittura dei numeri
● raggruppa le unità dieci alla volta.
Il nostro sistema di numerazione è di tipo posizionale, cioè OGNI CIFRA ASSUME UN VALORE DIFFERENTE A SECONDA DELLA POSIZIONE CHE OCCUPA ALL’INTERNO DEL NUMERO.
Infatti la prima cifra a destra rappresenta le unità, poi man mano che ci si sposta verso sinistra si incontrano decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, ecc.
Esempio
Il numero 9.763 è formato da 4 cifre:
- la cifra 3 rappresenta le unità - la cifra 6 rappresenta le decine - la cifra 7 rappresenta le centinaia - la cifra 9 rappresenta le migliaia
Quindi il numero 9.763 mi dice che ci sono 3 unità, 6 decine, 7 centinaia e 9 migliaia.
I numeri si possono scrivere anche in lettere, cioè come noi li leggiamo. Ad esempio 2.304 si scrive duemilatrecentoquattro.
NOTA BENE
E' molto importante saper scrivere i numeri con le lettere perché quando si compila un assegno o un bollettino postale, oltre all'importo in cifre, bisogna scriverlo anche il lettere, mettendo la virgola e lasciando in cifre solo i centesimi di euro.
Importo in € 567,55
Importo in lettere: cinquecentosessantasette,55
Per alcuni numeri, nel linguaggio comune di tutti i giorni, si possono usare delle parole particolari.
Numero Parole Esempio
2 Un paio una coppia
Un paio di guanti, di scarpe Una coppia di sposi
3 Una terna un terzetto un trio
Una terna di numeri al lotto Un terzetto di amici
Un trio di cantanti 4 Una quaterna
un quartetto
Una quaterna di numeri al lotto
Un quartetto di archi (strumenti musicali) 5 Una cinquina Una cinquina di numeri al lotto
10 Una decina Una decina di giorni
12 Una dozzina Una dozzina di uova
15 Una quindicina Una quindicina di giorni
Numero Parole Esempio
20 Una ventina Una ventina di studenti
30 Una trentina Una trentina di minuti
…… ……… …………
90 Una novantina Una novantina di anni
100 Un centinaio Un centinaio di abitanti
1.000 Un migliaio Un migliaio di euro
1.000.000 Un milione Un milione di abitanti
1.000.000.00 0
Un miliardo Un miliardo di stelle
NUMERI PARI E DISPARI
Possiamo distinguere i numeri naturali in:
● PARI che hanno come cifra delle unità (ultima cifra di un numero) 0,2,4,6,8 e sono divisibili per 2
● DISPARI che hanno come cifra delle unità 1,3,5,7,9 e non sono divisibili per due
RELAZIONE D'ORDINE TRA I NUMERI NATURALI
Nel linguaggio parlato si usano spesso espressioni del tipo "più grande di" oppure "più piccolo di". Queste espressioni si traducono nel linguaggio matematico con i simboli:
● > maggiore (più grande di)
● < minore (più piccolo di)
Dati due numeri naturali, che per comodità indichiamo con le lettere a e b, si verifica sempre uno solo dei seguenti casi:
a < b a è minore di b a > b a è maggiore di b a = b a è uguale a b
