Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Ordinamento della retta reale.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

PROGRAMMA

I problemi da cui ha avuto origine il calcolo differenziale: il problema dell’area, il problema della tangente e della velocit` a, il limite di una successione e la somma di una serie. La serie geometrica e gli allineamenti decimali.

Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Ordinamento della retta reale.

Lacune nella retta razionale. Estremo superiore ed estremo inferiore. Completezza dei numeri reali. Archimedeit` a della retta reale.

Intorni di un punto; intorni di + ∞, intorni di −∞.

Definizione di limite per successioni di numeri reali; formulazioni equivalenti. Unicit` a del limite.

Permanenza del segno, confronto e carabinieri. Il passaggio al limite conserva le disuguaglianze larghe. Infinitesimi. Teoremi standard sui limiti. Successioni monotone e limiti di successioni monotone. Una successione monotona e limitata ` e convergente.

Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Binomio di Newton (senza dimostrazione).

Definizione di corpo complesso. Parte reale, parte immaginaria, piano di Gauss. Numeri complessi e geometria piana. Coniugato e modulo di un numero complesso. Propriet` a del coniugato e del modulo. Distanza di due numeri complessi. Radici quadrate di un numero complesso.

Forma polare. Se t ` e reale e si pone e

= cos t + i sin t allora sussistono le propriet` a dell’esponen- ziale. Notazione esponenziale. Formule di Eulero. Potenze e radici.

Detti x = ℜz e y = ℑz, ponendo e

= e

(cos y + i sin y) sussistono le propriet` a dell’esponenziale.

Equazioni algebriche nel campo complesso (senza dim.).

Cos’` e una funzione e il grafico di una funzione. Terminologia sulle funzioni. Esempi di funzioni elementari. Funzioni definite a tratti. Funzioni a gradino. Modulo, segno. Funzioni pari e funzioni dispari. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti. Potenze, radici, funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte. Funzioni algebriche. Funzioni trigonometriche. Traslazioni di funzioni. Moti armonici e funzioni sinusoidali. Come si trasformano le funzioni cambiando le variabili. Funzione inversa. Funzione composta. Esponenziali e logaritmi. L’esponenziale naturale ` e quella funzione esponenziale che ha la retta y = x + 1 come retta tangente nel punto (0, 1).

Introduzione del concetto di limite: retta tangente e velocit` a. Il linguaggio degli intorni. Defini- zione rigorosa di limite, con gli ε, δ e con gli intorni. Unicit` a del limite. Derivata della funzione esponenziale. Disuguaglianze di exp e log. Derivata della funzione logaritmo e della funzione po- tenza. Limite destro e sinistro. Regole sui limiti. Teorema della permanenza del segno. Il limite conserva le disuguaglianze larghe. Teorema del confronto. Teorema dei due carabinieri. Limiti notevoli e derivate correlate. Limiti infiniti e limiti all’infinito. Principio di sostituzione degli infini- tesimi. Linguaggio degli

o piccolo

. Funzioni asintotiche e funzioni dello stesso ordine. Sviluppi asintotici nella scala delle potenze. Concetto di

O grande

. Limite della funzione monotona.

Funzioni continue: definizioni equivalenti. Teorema degli zeri e teorema di tutti i valori. Derivata in un punto e funzione derivata. Derivata destra e sinistra. Derivate successive. Derivabilit` a e non derivabilit` a. Approssimazioni lineari. Differenziabilit` a e continuit` a. Derivate di esponenziale, logaritmo, potenza, seno e coseno. Operazioni con le funzioni continue. Teorema di tutti i valori.

Studio della derivata prima e della derivata seconda per avere informazioni sul grafico di una fun-

zione. Teorema di Weierstrass sul massimo e minimo assoluto di una funzione continua definita su

un intervallo compatto (senza dimostrazione). Regole di derivazione. Regola della catena con di-

mostrazione. Derivazione logaritmica. In base a quali informazioni si pu` o tracciare il grafico di una

funzione. Derivazione implicita e suo utilizzo nello studio di curve e rette tangenti. Derivata della

funzione inversa. Inverse locali delle funzioni trigonometriche e loro derivazione. Come impostare

i problemi sulle velocit` a collegate. Regola di De L’Hopital e applicazioni (senza dimostrazione).

Massimi e minimi, assoluti e locali. Teorema di Fermat. Punti critici ovvero punti stazionari.

Teorema di Rolle. Teorema del valor medio di Lagrange. Relazioni fra monotonia e segno della derivata prima. Significato della convessit` a. Convessit` a e segno della derivata seconda. Studio di grafici. Problemi di max/min. Una funzione con derivata zero ` e costante sugli intervalli del dominio.

Il differenziale di una funzione. Differenziali e primitive; integrale indefinito. Teorema di integra- zione per sostituzione. Teorema di integrazione per parti. Tavole di integrali.

Il problema delle aree. Il simbolo di sommatoria. Definizione di area di una regione. Somme su- periori, somme inferiori e definizione di integrale definito. Calcolo di ∫

0

x

dx mediante le somme superiori. Area algebrica. Propriet` a dell’integrale definito. Funzione integrale e teorema fonda- mentale del calcolo. L’integrale definito di una funzione continua coincide con la variazione di una sua primitiva. Integrazione per sostituzione e per parti, con dimostrazione, sia per l’integrale in- definito sia per l’integrale definito. Tecniche di integrazione. Uso delle tavole di integrali. Integrali impropri: caso degli integrali illimitati e caso delle funzioni illimitate su un intervallo limitato.

Criterio del confronto e del confronto asintotico. Utilit` a del concetto di O grande. Funzioni as- solutamente integrabili in senso generalizzato (sommabili). Una funzione sommabile ha integrale generalizzato finito. Integrale di Dirichlet.

Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto in forma integrale e in forma di Peano. Propriet` a e scritture del resto. Maggiorazione del resto: applicazioni alla sviluppabilit` a in serie di Taylor.

Formula di Taylor e serie di Taylor delle funzioni elementari: applicazione al calcolo dei limiti.

Successioni e limiti di successioni. Estremo superiore ed estremo inferiore. Ogni successione cre- scente superiormente limitata ha per limite l’estremo superiore dei valori. Il concetto di serie come somma infinita formale. Somme parziali e serie convergenti. Serie geometrica. Il termine generale di una serie convergente ` e infinitesimo all’infinito. Operazioni con le serie convergenti. Serie a ter- mini positivi. Le serie a termini positivi sono convergenti o divergenti, e sono convergenti se e solo se la successione delle somme parziali ` e limitata. Criterio del confronto. Criterio dell’integrale, con dimostrazione. Criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno. Convergenza assoluta.

Una serie assolutamente convergente ` e convergente. Criterio della radice. Criterio del rapporto (senza dimostrazione). Serie di potenze; definizione ed esempi. Intervallo di convergenza (senza dimostrazione). Continuit` a della somma di una serie di potenze (senza dimostrazione). Integra- zione e derivazione termine a termine (senza dimostrazione). Rappresentazione di funzioni come serie di potenze. Serie di Taylor e di Maclaurin di una funzione. Criterio per stabilire se la serie di Taylor di una funzione ha per somma la funzione stessa. Serie di Taylor delle funzioni elementari e applicazioni. Serie binomiale (dimostrare solo la convergenza con il criterio del rapporto).

Per il materiale didattico vedere:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/ing.htm

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