320
T e n u t e presenti le condizioni M = 0 ed N = 0
a Giuseppe Albenga
Sopra i teoremi di reciprocità della Scienza delle Costruzioni
Mediante il teorena dei lavori virtuali si deducono elementarmente i principi di reciprocità del Betti e del Colonnelli. Si delinea anche storicamente il problema ponendolo in relazione con analoghi pro-
blemi dell'elettrotecnica, dell'idraulica e della termotecnica.
1. - È notissimo p e r la fecondità delle a p p l i c a - zioni il t e o r e m a di reciprocità fra forze e sposta- m e n t i elastici che E n r i c o B E T T I diede n e l 1872 (1), in sostanza t r a s p o r t a n d o n e l c a m p o energetico il t e o r e m a e l e m e n t a r e del q u a d r a t o della somma d i d u e n u m e r i , esteso p o i da Luigi DONATI n e l 1899 alle reti di c o n d u t t o r i elettrici (2), poi da U m b e r t o P U P P I N I n e l 1911 allo studio delle falde artesia- ne (3) e n e l 1916 al m o v i m e n t o del calore (4) e in-
fine da Marcello L E L L I n e l 1923 alle falde frea- tiche (5).
Notissimo è p u r e o r m a i il cosiddetto teorema di Land o p r i n c i p i o di r e c i p r o c i t à fra sollecitazioni e spostamenti c h e , esposto n e l 1887 da R o b e r t o LAND p e r la t r a v e continua (6) e d i m o s t r a t o in generale da G i u s e p p e ALBENGA (7), che p e r p r i m o ne fece poi sistematica a p p l i c a z i o n e allo studio delle linee d'in- fluenza, a p p a r v e in seguito come caso p a r t i c o l a r e (1) E. BETTI, Teoria dell'elasticità, Nuovo Cimento, 1872.
(2) L. DONATI, Relazione generale fra le correnti in una rete di fili conduttori, Rendiconti delle Sessioni della R. Accademia dell'Istituto di Bologna, 1899-1900.
(3) U. PUPPINI, Principio di reciprocità nei moti rego- lari dell'acqua, Il Monitore Tecnico, 1911.
(4) U. PUPPINI, Principio di reciprocità fra temperature e flussi di calore, Il Monitore Tecnico, 1916.
(5) M. LELLI, Il principio di reciprocità per le falde frea- tiche, Il Monitore Tecnico, 1923.
(6) R. LAND, Die Gegenseitigkeit elastischer Formände- rung als Grundlage einer allgemeinen Darstellung der Ein- flusslinien aller Trägerarten, Wochenblatt für Baukunde, 1887.
(7) G. ALBENGA, Sul teorema di reciprocità di Land, Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 1915.
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
d e l secondo p r i n c i p i o di r e c i p r o c i t à , o principio di Colonnetti, che Gustavo COLONNETTI enunciò nei 1912 (8).
Noto è a n c h e , p u r e n e l c a m p o dell'elasticità il p r i n c i p i o di reciprocità di VOLTERRA fra caratteri- stiche di u n a distorsione e sforzi da essa genera- ti (9), assai vicino a quello di COLONNETTI ma m e n o a d a t t o alle a p p l i c a z i o n i .
Note sono p u r e u n a formola generale (10) com- p r e n d e n t e i p r i n c i p i di B E T T I , COLONNETTI e V O L - TERRA ed u n a acuta discussione generale sinteti- ca, di t u t t i i p r i n c i p i di reciprocità dovuta a
M . L E L L I (1 1) .
Lo scopo, m o l t o m o d e s t o , di questa n o t a è di m o s t r a r e come i p r i n c i p i di B E T T I e di LAND pos- sano dedursi in via del t u t t o e l e m e n t a r e con u n a semplice applicazione del t e o r e m a dei lavori vir- t u a l i .
2. - Consideriamo un solido elastico V sempli- c e m e n t e connesso, l i m i t a t o da u n a superficie di con- t o r n o C e diviso in d u e p a r t i da u n a superficie S;
gli indici 1 e 2 i n d i c h e r a n n o r i s p e t t i v a m e n t e gli enti relativi alle d u e p a r t i .
Consideriamo poi d u e diversi sistemi di forze X, Y , . . . di tensioni in superficie px, py, ... e di t e n - sioni i n t e r n e σx, σy, e X', Y' ... px' , py' , ... σx', Σ, ... equilibrati ed i conseguenti spostamenti ξ, 7), ... e deformazioni εx, εy, ... e ξ', η', ... εx', εy', ...;
siano poi ρx, ρy, ρz e ρx', ρy', pz' le c o m p o n e n t i della forza ρ agente sull'unità di superficie S nei d u e casi; e i due stati di deformazione siano en- t r a m b i congruenti in V, ma gli spostamenti pos- sano n o n essere continui n e l passaggio attraverso la superficie S.
Scriviamo l ' e q u a z i o n e dei lavori virtuali p r e n - d e n d o le forze d a l p r i m o sistema e gli spostamenti d a l secondo sistema p r i m a p e r lo spazio V1, indi- c a n d o con ρx, ρy ρz le c o m p o n e n t i osservando che le ρx, ρy , ρz agenti sulla superficie S sono da con- siderarsi come tensioni in superficie,
(2)
(1)
poi p e r lo spazio V2, osservando che in S ρx, ρy, ρz
h a n n o necessariamente p e r V2 segno o p p o s t o a quello posseduto p e r V1
(8) G. COLONNETTI, La statica delle costruzioni, Torino, U.T.E.T., 1928, prefazione e memorie ivi citate.
(9) V. VOLTERRA, Sur l'equilibre des corps solides mul- tiplement connexes, Paris, Gauthiers-Villars, 1907.
(10) D. BONVICINI, Sopra una formula comprendente tutti i teoremi di reciprocità della statica dei solidi elastici, Bollettino del Sindacato Provinciale Fascista Ingegneri di Bologna, 1931.
(11) M. LELLI, 1l principio di reciprocità nella fisica, Il Monitore Tecnico 1925 e Annali di Matematica pura e ap- plicata, 1925-1926.
(12) Si omettono ovviamente gli indici 1 e 2 per X, Y,...
ξ',η' ,... ecc. nei due primi integrali del primo membro della (1) e della (2).
poi scriviamo l'equazione dei lavori virtuali traen- do le forze dal secondo sistema e gli spostamenti dal p r i m o , ancora p e r lo spazio V1 p r i m a
(3)
(5)
Dalla (5) si h a n n o subito i principi di Betti e di Colonnetti.
3. - S u p p o n i a m o che e n t r a m b i i sistemi di spo- stamenti ξ , η , ..., ξ' , η' , ... siano continui e rego- lari in t u t t o lo spazio V e sulla superficie S; allora
(6)
e si a n n u l l a n o il quinto ed il sesto integrale del p r i m o m e m b r o della (5).
Ma p e r la legge di H o o k e generalizzata per dalle (5) si ricava facilmente:
Quindi in mezzeria si avrà :
cioè u n a compressione r i s u l t a n t e u n p o ' m i n o r e d i q u a n t o d a r e b b e r o le solite f o r m u l e della sezione complessiva del T t u t t a p i a n a .
Ma la sollecitazione n o n è p i ù σo = No(0)/bs ri- p a r t i t a u n i f o r m e m e n t e lungo il lembo superiore dell'ala ed è invece massima vicino alla costola dove vale :
ed è q u i n d i s e m p r e m a g g i o r e di σ0 .
In pratica, L è molto maggiore di β e si p u ò t r a s c u r a r e il t e r m i n e i p e r b o l i c o .
Il fattore φ, ch e si ritrova ugual e considerand o la costola invece della mezza ala, dà — p e r R = l, un a u m e n t o di σm a x rispetto a σ0 del- l'11 % circa e d a r e b b e il 30 % n e l caso di trave perfettamente incastrata, p e r cui occorre sostituire ad L la distanza tra i p u n t i di m o m e n t o nullo.
Agli estremi dell'ala si ottiene p e r la sollecita- zione m i n i m a :
e siccome l'annullarsi di questa fornisce evidente- m e n t e un limite p e r eccesso alla applicabilità delle formule ora ricavate, si p o t r e b b e d e t e r m i n a r e la larghezza efficace 2b massima p e r l ' i n t e r a ala, t r o - v a n d o p e r la trave incastrata :
(6)
Questo c o r r i s p o n d e certo a d u n a esagerata estra- polazione dell'ipotesi di « ala snella » ed è q u i n d i a b b a s t a n z a notevole che sia ancora l i m i t a t o l ' e r r o r e rispetto a q u a n t o si deduce nella teoria esatta del- l'ala indefinita dovuta al von K a r m a n (5).
Il segno d e l l ' e r r o r e p o t e v a prevedersi : esso è sostanzialmente dovuto a l l ' a v e r supposto che i ca- richi orizzontali a p p l i c a t i alla mezza ala ne influen- zassero i m m e d i a t a m e n t e tutta la sezione, e se nella (6) si sostituisse L — ( 2 b )e f f . ad L si t r o v e r e b b e sen- s i b i l m e n t e il risultato esatto.
Così si p u ò definire la trave a T « n e l senso -, o r d i n a r i o » come quella p e r cui i fattori φ, ψ si di- scostano poco dall'unità, e da questa seconda ap- prossimazione si vede la f o r t u n a t a m e n t e larga a p - plicabilità delle nostre solite f o r m u l e di p r i m a a p - prossimazione derivate dal p r i n c i p i o di De Saint- V e n a n t .
T u t t a v i a in a l t r i casi di calcolo, ancora elemen- t a r e ma p i ù laborioso, che si p o t r e b b e r o fare per esempio s t u d i a n d o la flessione deviata e m e t t e n d o in conto le rigidezze torsionali delle varie p a r t i , r i s u l t e r e b b e r o fattori correttivi n o t e v o l m e n t e mag- giori e t a l i q u i n d i da giustificare b e n e il ricorso al m e t o d o q u i p r o p o s t o .
Livio Norzi (5) T H . v. KARMAN, Festschrift August Föppl's, p. 114 (1923).
poi per lo spazio V2
(4)
S o m m a n d o m e m b r o a m e m b r o le (1), (2), (3)
e (4) si h a
(7)
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 • OTTOBRE 1952
321
324
r i s u l t a c o s t i t u i t a di e l e m e n t i (6)
che sono t r a loro o r t o g o n a l i ; se p e r ò , p u r rima- n e n d o sul cerchio, l'origine n o n è più il c e n t r o , allora la o r t o g o n a l i t à t r a gli e l e m e n t i della w1 n o n sussiste più. Peggio a c c a d e , in generale, se si consi- dera un c o n t o r n o S diverso dalla circonferenza: in q u e s t o caso, q u a s i sempre l ' o r t o g o n a l i t à n o n sussiste r i s p e t t o all'origine scelta. È p e r ò chiaro che, d a t o il c o n t o r n o S di un c a m p o C, possiamo sempre costruire con gli e l e m e n t i della successione (6) rife- riti a u n a origine fissata ad a r b i t r i o dei polinomi che risultino ortogonali su S.
A v e n d o i n f a t t i la successione di funzioni (6) c o s t r u i a m o la successione:
(1) Cfr., per es., Moderna teoria delle funzioni di va- riabile reale, Parte II. GIOVANNI SANSONE, Sviluppi in serie di funzioni ortogonali, Bologna 1946 (3a ed. 1952).
In secondo luogo, in alcuni c a m p i simmetrici, u n a scelta c o n v e n i e n t e dell'origine lascia i n v a r i a t e le p r i m e funzioni ortogonali (6). Q u a n d o q u e s t o si verifichi allora w è n o t a con sufficiente a p p r o s - simazione nell'origine a p p e n a sia d e t e r m i n a t a A1
(perché le altre ψ dello sviluppo (6) contengon o r a fattore) e può essere che la conoscenza del solo A1 sia sufficiente a risolvere il p r o b l e m a almeno dal p u n t o di v i s t a tecnico.
6. - Merita precisare q u e s t o p u n t o di v i s t a con u n esempio. Sia d a t a u n a m e m b r a n a q u a d r a t a d i l a t o 2 a soggetta a un carico uniforme q p e r u n i t à di superficie f e r m a t a a livello ai l a t i del q u a d r a t o , soggetta su q u e s t i alla tensione to per u n i t à di c o n t o r n o .
Si d o m a n d a la inflessione m a s s i m a al c e n t r o . Si h a :
sul c o n t o r n o
La successione 1, r cosθ, r sen θ si trasform a sul q u a d r a t o in
Sviluppando la w d a t a sul contorno secondo queste funzioni si t r o v a come primo coefficiente
poichè le a l t r e funzioni h a n n o r a f a t t o r e (per lo m e n o fino a ψ7 inclusa) così un primo valore di w nel c e n t r o del q u a d r a t o è d a t o da
e, se si ritiene che q u e s t o v a l o r e sia sufficientemente a p p r o s s i m a t o , il p r o b l e m a tecnico è risolto perché si conosce l'inflessione massima delle m e m b r a n e . Un confronto con la soluzione che, nel q u a d r a t o soddisfa e s a t t a m e n t e alle condizioni ai limiti (e che si deduce facilmente da soluzioni n o t e p e r la tor- sione) p o r t a a scrivere sul c e n t r o del q u a d r a t o
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
(1)
(2)
Come si sa si possono assegnare ad arbitrio s o l t a n t o d u e di q u e s t e condizioni; si d i m o s t r a facil- m e n t e , c o n s i d e r a n d o il l a v o r o di deformazione della l a s t r a , che Quando sono d a t e le forze esse sono
S o s t i t u e n d o in q u e s t e le (4) e (5) e t e n e n d o conto delle (3) si o t t i e n e :
(6)
10. - I coefficienti an, bn; cn, dn dipendono dalle forze d a t e sul c o n t o r n o . Ed infatti dare le forze
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 N. 10 - OTTOBRE 1952
325
1) che, d a t e Px e Py sul c o n t o r n o , la soluzione del p r o b l e m a p i a n o d i p e n d e dalla d e t e r m i n a z i o n e di u n a funzione b i a r m o n i c a F che soddisfi alle condi- zioni.
1, r cosθ, r sen θ rp sen pθ
(l lunghezza del contorno)
e t c . ... secondo il n o t o procedimento di ortogona- lizzazione. Costruita la successione 1, ψ2 ψ2p+1
allora le condizioni date al contorno p e r m e t t o n o di scrivere la funzione w1 nella forma
(7) w1 = A1 + A2ψ2 + ... A2p+1 ψ2p+1; la determinazione di w1 è o r a facilitata d a l f a t t o che ciascun coefficiente A1 A2 è d e t e r m i n a t o i n d i p e n d e n t e m e n t e dagli a l t r i ; il valore di w1 nel- l'origine n o n d i p e n d e p e r ò dalla sola A1 ma anche dai coefficienti successivi in q u a n t o p u r a v e n d o r i s t a b i l i t o la o r t o g o n a l i t à ψ2 ψ2p+1 n o n sono nulle nell'origine.
In generale d u n q u e il procedimento dà luogo s o l t a n t o al v a n t a g g i o che le a p p r o s s i m a z i o n i suc- cessive sono i n d i p e n d e n t i dai c o m p u t i già eseguiti e che la v a l u t a z i o n e di ψ2 ψ2 p + 1 n o n è t r o p p o c o m p l i c a t a .
Queste affermazioni m e r i t a n o u n b r e v e chiari- m e n t o .
I n t a n t o è e v i d e n t e che d a t a sul c o n t o r n o la w1
i coefficienti r i s u l t a n o d e t e r m i n a t i col p r o c e d i m e n t o di ortogonalizzazione ora d a t o e sono gli stessi di quelli che si possono o t t e n e r e p e r a l t r a v i a ; ma il f a t t o è che la w1 n o n è n o t a sul c o n t o r n o , dove invece è n o t a la w e che il p r o c e d i m e n t o p r o p o s t o ha lo scopo di d e t e r m i n a r e la w1 Ora la d e t e r m i n a - zione dei coefficienti delle ψ in bas e alla w p o r t e r à ad un p r o c e d i m e n t o che n o n si a r r e s t a al coeffi- ciente d i ψ2 p + 1 ma darà luogo ad u n a serie infinita:
r e s t a q u i n d i da p r o v a r e la convergenza dello svi- l u p p o (7) per p t e n d e n t e all'infinito ciò che p e r ò , con limitazioni assai poco r e s t r i t t i v e r e l a t i v e al c a r a t t e r e della w su S, è s t a t o d i m o s t r a t o da v a r i a u t o r i (1).
cioè
La differenza si giustifica col f a t t o che la funzione r4 cos 4θ n o n è o r t o g o n a l e nel q u a d r a t o n e p p u r e a l / 8 a e q u i n d i ψ8 contiene un termine c o s t a n t e . S I S T E M I P I A N I
7. - N o n vi è ora difficoltà a considerare i sistemi elastici p i a n i , m a p e r essi a c c e n n e r e m o s o l t a n t o , alle linee generali del p r o c e d i m e n t o . P e r p o t e r esporre l ' a r g o m e n t o b a s t a r i c o r d a r e :
(e si sa che nei c a m p i s e m p l i c e m e n t e connessi sono a un sol v a l o r e . Cfr. A l m a n s i . Sulla integrazione della e q u a z i o n e differenziale - A n n a l i di M a t e m a t i c a - T o m o II della Serie I I I - 1898);
2) che alle condizioni al c o n t o r n o si p u ò sod- disfare con u n a
scegliendo i coefficienti in m o d o da soddisfare alle condizioni poste in 2p + 1 p u n t i od anche utiliz- z a n d o le funzioni
1, a1 r3 cos θ + c1r cos θ, b1r3 sen θ + d1r sen θ, ....
e costruendo con esse u n a successione ortogonale.
(Si procede poi alla determinazione della F in modo analogo a quello indicato per le membrane) ;
3) che l'errore commesso con la approssima- zione scelta può essere v a l u t a t o in base ad alcuni t e o r e m i sulle funzioni b i a r m o n i c h e ; per il loro studio r i m a n d i a m o a d u n a ricerca p i ù estesa.
L A S T R E S O T T I L I
8. - P a s s i a m o allo studio delle l a s t r e sottili per le quali il p r o c e d i m e n t o , sarà esposto in m o d o un p o ' m e n o sommario che nei sistemi p i a n i .
D a t a u n a l a s t r a sottile, l a soluzione del p r o b l e m a elastico in essa soddisfa alle seguenti condizioni:
1) Se si indica con w l ' a b b a s s a m e n t o della superficie m e d i a della l a s t r a r i s p e t t o al p i a n o medio nella posizione i n d i s t u r b a t a (cioè se w r a p p r e s e n t a , come si dice, l'inflessione della l a s t r a ) , se q è il carico per u n i t à di superficie ed N un coefficiente c o s t a n t e con E m o d u l o di elasti- cità, coefficiente di Poisson e 2a spessore della lastra) allora si ha in t u t t o il c a m p o
2) Se con t si indica la t a n g e n t e ad un p u n t o generico del c o n t o r n o , con n la n o r m a l e , (positiva verso l'interno) con Mt e Mn i m o m e n t i che h a n n o per asse r i s p e t t i v a m e n t e t ed n, con Pz le forze verticali (per u n i t à di sviluppo del contorno) si h a n n o su S le relazioni
r a p p r e s e n t a t e d a (3)
9. - Nel c a m p o l i m i t a t o da u n a circonferenza, s u p p o s t o q = 0 (una soluzione p a r t i c o l a r e per q = 0 p u ò essere t r o v a t a facilmente) s i h a :
(4)
Segue (5)
Le sollecitazioni (2) divengono in c o o r d i n a t e polari
(2')
Si osservi che q u e s t e espressioni r a p p r e s e n t a n o le r i s u l t a n t i sul c o n t o r n o (e in t a l caso nelle (6) si deve porre r = R) e r a p p r e s e n t a n o a n c h e (per le r i s u l t a n t i sulla circonferenza di raggio ro(< R). Perciò ha senso considerare le (6) anche con r variabile.
D a t a ora la (4) con i coefficienti, in generale, diversi da zero quale è l ' a n d a m e n t o della solleci- tazione al diminuire di r?
È chiaro che per n > 2 ed r t e n d e n t e a zero le sollecitazioni (Pz, Mn, Mθ) t e n d o n o a zero perchè t u t t i i coefficienti sono moltiplicati almeno per rn = 2. P e r e r t e n d e n t e a zero si ha invece
(7) d e t e r m i n a n d o con le condizioni:
equivale, come si è d e t t o , a d a r e , sulla circonfe- renza Mq e S v i l u p p a n d o queste fun- zioni in serie di Fourier (con variabile q) a v r e m o
Nella seconda di queste m a n c a il t e r m i n e Co
perchè dallo sviluppo di F o u r i e r si r i c a v a la rela- zione
( c o n t e m p o r a n e a m e n t e si ha q u i
c o m p a t i b i l i p e r c h è per l'equilibrio è
mentre equazioni uguali valgono per B2 e D2. Segue
11. - Al n. 9 si è visto che la sollecitazione al centro del cerchio è d a t a soltanto dai valori dei coefficienti a0, a1, b1, c2, d2; avendo ora espresso questi coefficienti in funzione degli sviluppi di Fourier relativi alle forze esterne possiamo scrivere al centro del cerchio:
(9)
c o n s t a t a n d o così che la sollecitazione in quel p u n t o non d i p e n d e da t u t t e le forze d a t e ma s o l t a n t o dai sette integrali che servono a d e t e r m i n a r e i coefficienti Ao , A1 , A2 ; B1 , B2 ; C2 ; D2 .
12. - V e d i a m o cosa si p u ò dire per lo sposta- m e n t o w nel c e n t r o 0 del cerchio (sempre nell'ipo- tesi che siano d a t e le forze sul c o n t o r n o ) . Lo spo- s t a m e n t o di 0 sarà definito q u a n d o sia n o t o , per esempio, lo s p o s t a m e n t o w1 del p u n t o di coordinate r = R e q = 0; quelle del p u n t o di coordinate r = Req = p e la t a n g e n t e nel p r i m o p u n t o cioè
T u t t i i coefficienti an, bn , cn , dn , sono d e t e r m i n a t i q u a n d o sono d a t e le forze e s t e r n e , se si e c c e t t u a n o
N o t o b0 è n o t o l ' a b b a s s a m e n t o di 0. Esso d i p e n d e da tutti i coefficienti a2n e c2n: ma si o t t i e n e u n a b u o n a approssimazione osservando che la serie
più. In t a l caso sono sufficienti i coefficienti già calcolati cioè si. p u ò scrivere
essendo a0, a2; c2 già conosciuti in funzione delle forze esterne.
13. - Se in luogo delle forze, sono d a t i gli sposta-
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
(4')
I valori di (W)R e sono d a t i del pro- blema e possono essere sviluppati in serie di Fourier con variabile q; avremo allora
(11)
e quindi eguagliando i termini omologhi nelle (4), (4') con le (11) avremo i valori dei coefficienti in funzione dei dati del problema.
Basta conoscere a0 , a1 ; b0 , b1 ; c2 , d2 per conoscere la freccia e la sollecitazione al centro 0. Si ha infatti
(12)
14. - Si potrebbe ora cercare l'espressione della sollecitazione nel centro del cerchio quando sul contorno sono date w e Mq. Ma su questo non ci fermeremo, b a s t a n d o rilevare come le ricerche ese- guite per la lastra circolare mostrino che si può conoscere la freccia e la sollecitazione al centro del cerchio in funzione di alcuni fra i dati nel contorno.
Ma anche se tale p u n t o di vista risulta, per quanto so, in ordine di idee diverso dall'usuale, esso non meriterebbe di essere esposto se non si potesse estendere i campi diversi dal cerchio. A questo scopo dobbiamo premettere alcune osservazioni:
1) Sia dato un cerchio C di centro O ed, entro C, un contorno S semplicemente connesso che abbia 0 al suo interno. In un punto A di S indichiamo con Mt , Mn e Pzn le sollecitazioni relative ad S e con Mq , Mr , Pzr le sollecitazioni relative al cerchio di centro 0 e passante per A. A v r e m o :
2) Sia nota la w in C. Quali sono le condizioni ai limiti su S? Se w è rappresentata dalla (4) allora si deducono subito Me , Mr , Pzr. Applicando le (13) avremo Mt, Mn e Pzn. Il valore di w è dato dalla (4) stessa, mentre sarà:
3) Se i n v e r s a m e n t e sono d a t e le condizioni ai limiti su S come si fa a risalire alla w?
coefficienti. Se q u i n d i si fissano su S 2p+1 p u n t i
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
(8)
e si sa che è
per l'equilibrio e perchè
Mr è un sol valore.
Uguagliando ora i t e r m i n i omologhi i n c o s n q , s e n n q delle (6) e delle (8) si ricava :
p e r n = 0 p e r n = 1
, ma le d u e condizioni sono
p e r n = 2 :
Si osserva subito che è:
b0 , c1 e d1. Nella espressione di compare solo d1: esso è d e t e r m i n a t o a p p u n t o dalla cono- scenza di q u e s t a d e r i v a t a . P e r isolare b0 s o m m i a m o le p r i m e d u e e q u a z i o n i ; si h a :
e q u i n d i
converge sul contorno, sia p u r e di convergenza semplice : essa proviene dalla serie (4) che r a p p r e s e n t a w e ne contiene, in sostanza, la d e r i v a t a t e r z a . Se i t e r m i n i della serie Pz — 1/R , convergono v u o i dire che l'ordine di gran- dezza del t e r m i n e ennesimo è di al più : per i coefficienti della (4) (e q u i n d i a n c h e della (10)) l'ordine di g r a n d e z z a sarà d u n q u e ( M n u m e r o f i s s o o p p o r t u n a m e n t e scelto).
Se p e r t a n t o t r a s c u r i a m o i t e r m i n i a4, c4 (a3, c3 non compaiono nella (10)) c o m m e t t i a m o un errore del- l'ordine di grandezza di , cioè del 4 ‰ al
menti sul contorno , cioè w e , si h a , dalla soluzione elastica nella l a s t r a circolare che w è espresso dalla (4) m e n t r e v a l e :
326
(13)
ed i n v e r s a m e n t e
(14)
(15)
P e r fissare le idee siano n o t e , su S, w e , w p u ò essere r a p p r e s e n t a t a dalla (4), dalla (15). L i m i t a n d o c i a considerare i p r i m i 4p + 2 t e r m i n i si ha :
(16)
Cioè w e sono espressi per mezzo di 4p + 2
e su q u e s t i i valori di w e si ha un sistema di 4p + 2 equazioni che d e t e r m i n a n o i coefficienti stessi.
Il p r o c e d i m e n t o è l e g i t t i m o perchè il determi- n a n t e di q u e s t e equazioni è c e r t a m e n t e diverso da zero, e p o r t a q u i n d i a d e t e r m i n a r e w con l'appros- simazione d e s i d e r a t a (se p è sufficientemente g r a n d e ) . In m o d o analogo si r a g i o n a se su S si r i c o r d a n o i valori delle forze (ci si serve allora delle (6) e delle (13) e si h a n n o 4p—1 equazioni perchè è d e t e r m i n a t a la deformazione ma n o n lo sposta- m e n t o di corpo rigido).
Se n o n si vuole risolvere il sistema di 4p + 2 equazioni si p u ò cercare di ortogonalizzare i sistemi 1 , ( a1r3+ ctr ) c o s q , ( b1r3+ d1r ) s e n q , (a2r+c2r2) cos 2q ... (con riferimento al c o n t o r n o d a t o ) .
In t a l caso però, n o n è più possibile, in generale, per conoscere la sollecitazione nell'origine, limitarsi a considerare i p r i m i coefficienti, ma è necessario considerare i t e r m i n i i n d i p e n d e n t i da r di t u t t e le p funzioni ortogonali considerate (in m o d o ana- logo a quello che si è osservato per la m e m b r a n a ) . Qualche v o l t a , p e r a l t r o , la ortogonalizzazione n o n modifica sensibilmente le funzioni d a t e ; ciò sarà m o s t r a t o su esempi p r a t i c i nella p r e a n n u n c i a t a esposizione c o m p l e t a che ci p r o p o n i a m o di p u b - blicare t r a b r e v e .
Giulio Supino Università di Bologna - Istituto di costruzioni idrau-
liche.
