controllo di stabilita per veicolo elettrico con due motori

F

I

C

INGEGNERIA

Tesi di laurea

Controllo di stabilità per veicolo elettrico a due motori

RELATORI CANDIDATO

Prof. Ing. Alberto Landi

Giorgio Distefano

Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione

Prof. Ing. Massimo Ceraolo

Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione

Ing. Giovanni Lutzemberger

Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione

SOMMARIO

La presente tesi sviluppata presso il Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione dell'Università di Pisa ha lo scopo di sviluppare una procedura di progetto di un sistema di controllo integrato dei due motori di un veicolo elettrico da competizione, per ridurne il raggio di curvatura della traiettoria per le basse velocità, aumentarne la stabilità alle alte, e ridurre il tempo di assestamento in curva. Il sistema è stato testato su un modello di veicolo realizzato in ambiente Simulink® di Matlab® attraverso le equazioni differenziali che ne descrivono la dinamica, confrontando i risultati ottenuti sottoponendolo a delle manovre convenzionali con quelli ottenuti da un analogo modello di veicolo dotato di un solo motore interfacciato ad un differenziale ordinario, a parità di potenza alle ruote.

ABSTRACT

The aim of this master thesis, conducted at the Department of Electric Systems and Automation of the Univeristy of Pisa, is to develop a design procedure of an integrated control system of two electric motors for an electric race car, in order to reduce the cornering radius at low velocity, to improve stability at high velocity and reduce the assestment time for cornering.

The control system was tested on Simulink® model of the vehicle, realized through the vehicle dynamics equations, compairing the results obtained in conventional manoeuvres with the ones obtained from a similar model of a vehicle with one electric motor and a differential, for the same power at the wheels.

INDICE

INTRODUZIONE...PAG.7

1. VEICOLI ELETTRICI AD ALTE PRESTAZIONI...PAG.9

Considerazioni introduttive...PAG.9 Vantaggi dell'utilizzo di motori elettrici...PAG.10 Esempi di veicoli elettrici ad alte prestazioni...PAG.12 Wrightspeed X1...PAG.13 Venturi Fetish...PAG.14 Tesla Roadster...PAG.14 Altre auto elettriche ad alte prestazioni...PAG.15

2. MODELLI UTILIZZATI...PAG.16

Introduzione...PAG.16 Ipotesi semplificative...PAG.16 Modello matematico dei veicoli analizzati...PAG.17 Equazioni di congruenza...PAG.18 Equazioni di equilibrio...PAG.20

Equazioni costitutive...PAG.25 Sistema di trazione...PAG.29 Parametri dei veicoli...PAG.31 Considerazioni sui modelli matematici di veicoli...PAG.32

3. SINTESI DEL SISTEMA DI CONTROLLO...PAG.33

Introduzione...PAG.33 Modello monotraccia target e Controllore Feed-Forward...PAG.33 Effetto del Controllore Feed-Forward alle basse velocità...PAG.37 Effetto del Controllore Feed-Forward alle alte velocità...PAG.38 Linearizzazione del sistema...PAG.39 Analisi di stabilità...PAG.41 Riduzione di tenuta laterale in curva...PAG.45 Funzione di traferimento del sistema e Controllore Feed-Back...PAG.46

Effetto del Controllore Feed-Back...PAG.49

CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI...PAG.56 BIBLIOGRAFIA...PAG.57 RINGRAZIAMENTI...PAG.58

LISTA DELLE FIGURE

Fig.1: Caratteristica meccanica macchina sincrona...pag.10 Fig.2: Caratteristica meccanica macchina sincrona e curva di coppia resistente...pag.10 Fig.3: Funzionamento macchina sincrona in condizioni nominali...pag.11 Fig.4: Funzionamento macchina sincrona in condizione di sovraccarico...pag.12 Fig.5: Wrightdspeed X1 ...pag.13 Fig.6: Venturi Fetish...pag.14 Fig.7: Tesla Roadster...pag.15 Fig.8: Sistema di riferimento veicolo...pag.18 Fig.9: Definizione grandezze cinematiche del veicolo...pag.19 Fig.10: Forze applicate dalla strada sul veicolo...pag.20 Fig.11: Schema del veicolo in fase di accelerazione...pag.22 Fig.12: Vista frontale dello schema di veicolo in curva...pag.23 Fig.13: Schema utilizzato per il calcolo delle rigidezze torsionali a rollio...pag.24 Fig.14: Quarter car model...pag.25 Fig.15: Forza longitudinale per deriva nulla in funzione dello scorrimento pratico

longitudinale e del carico verticale...pag.26 Fig.16: Forza longitudinale per carico verticale di 2000N in funzione di

scorrimento pratico longitudinale e deriva...pag.27 Fig.17: Forza laterale in funzione di deriva e carico verticale per scorrimento

pratico longitudinale nullo...pag.27 Fig.18: Forza laterale per carico verticale di 2000N in funzione di deriva

e scorrimento pratico longitudinale...pag.28 Fig.19: Schema per lo studio della dinamica rotatoria delle ruote posteriori...pag.30 Fig.20: Modello Monotraccia Target...pag.34 Fig.21: Caratteristica effettiva dell'assale posteriore reale (blu) e target (rosso)...pag.35 Fig.22: Mappatura del controllore Feed-Forward in funzione della velocità

longitudinale e dell'angolo di sterzo delle ruote...pag.36 Fig.23: Variazione percentuale del raggio di curvatura del veicolo con due motori

rispetto al veicolo tradizionale per u=6m/s in funzione dell'angolo volante...pag.37 Fig.24: Variazione percentuale del raggio di curvatura del veicolo con due motori

rispetto al veicolo tradizionale per u=10m/s in funzione dell'angolo volante...pag.38 Fig.25: Velocità di imbardata, laterale e derive per i due veicoli analizzati a parità

Fig.26: Andamento in funzione della velocità dei due autovalori dominanti dei veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso) all'equilibrio a parità

di sterzatura delle ruote anteriori (3°) ...pag.43 Fig.27: Andamento in funzione della velocità dei due autovaloridominanti dei

veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso) all'equilibrio a parità

di sterzatura delle ruote anteriori (6°)...pag.44 Fig.28: Andamento in funzione della velocità dei due autovalori a parte reale

maggiore dei veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso)

all'equilibrio a parità di traiettoria...pag.44 Fig.29: Velocità di imbardata, laterale e derive per i due veicoli analizzati a

parità di velocità (33m/s) e curvatura della traiettoria...pag.45 Fig.30: Mappatura del controllore Feed Back in funzione di velocità longitudinale

e angolo di sterzo delle ruote anteriori...pag.48 Fig.31: Velocità di imbardata, laterale e derive per i due veicoli (tradizionale (blu)

e con due motori (rosso)) analizzati a parità di velocità (33m/s) e sterzatura

ruote anteriori (3°)...pag.49 Fig.32: Piano delle fasi (v,r) tracciato per i due veicoli (tradizionale (blu) e con

due motori (rosso)) a parità di velocità longitudinale (33m/s) e sterzatura

ruote anteriore (3°))...pag.50 Fig.33: Velocità di imbardata, laterale e derive per i due veicoli (tradizionale (blu)

e con due motori (rosso)) analizzati a parità di velocità (33m/s) e

curvatura traiettoria...pag.51 Fig.34: Piano delle fasi (v,r) tracciato per i due veicoli (tradizionale (blu) e con

due motori (rosso)) a parità di velocità longitudinale (33m/s) e curvatura

della traiettoria...pag.52 Fig.35: Double Step Steer a 33m/s a parità di sterzatura ruote anteriori (3°)...pag.53 Fig.36: Double Step Steer a 33m/s a parità di curvatura della traiettoria (R=130m)...pag.54 Fig.37: Schema completo del sistema di controllo...pag.55

INTRODUZIONE

Il controllo di stabilità sviluppato nella presente tesi riguarda un veicolo elettrico dotato di due mo-tori elettrici integrati nei mozzi-ruota posteriori. Il sistema sviluppato si basa sul principio di poter controllare indipendentemente i due motori e di poter far erogare ad essi la coppia che si desidera controllando la corrente di statore.

La presente tesi si occupa quindi dello sviluppo di un controllo integrato dei due motori, in un vei-colo elettrico da competizione. Lo scopo della tesi è sviluppare una metodologia per ricreare lo stes-so tipo di controllo in un veicolo elettrico ad alte prestazioni da commercializzare.

Un sistema di controllo di stabilità realizzato su di un veicolo con due motori integrati nei mozzi-ruota posteriori, comporta oltre all'ovvio vantaggio di aumento di stabilità del veicolo anche effetti secondari quali un ritardo dell'intervento dell'ordinario sistema di controllo della stabilità dei veicoli (ESP, Electronic Stability Program) grazie alla correzione dell'instabilità, un miglioramento di prestazioni in condizioni miste di aderenza, e una riduzione degli effetti di instabilità derivanti da vento laterale (reiezione dei disturbi).

Un altro importante effetto di eliminare il gruppo motore centrale + differenziale e sostituirlo con due motori installati sui mozzi-ruota è quello di liberare spazio al centro del veicolo, spazio che può essere sfruttato per aumentare il carico di batterie (e quindi incrementare l'autonomia del veicolo, grande problema dei veicoli elettrici) o, ad esempio inserire un porta-bagagli o aggiungere dei posti in abitacolo.

L'utilizzo inoltre di due motori elettrici integrati nei mozzi ruota, è vantaggioso anche da un punto di vista energetico in quanto si eliminano le perdite dovute al rendimento degli organi di trasmissione come cambio e differenziale.

Il sistema inoltre ha il vantaggio di modificare "poco" il comportamento del veicolo e quindi non essere invasivo per il pilota. Infatti come è stato detto in precedenza, lo scopo della tesi è sviluppare una metodologia per ricreare lo stesso tipo di controllo su un veicolo elettrico commercializzabile ad alte prestazioni. Chi acquista questo tipo di veicoli vuole comunque unire varie esigenze: sensibilità ai problemi ambientali, emozioni di guida e riduzione dei costi di esercizio per ricarica (vantaggio marginale visto il costo per nulla basso dei veicoli del settore). Attualmente in commercio vi sono molti veicoli del genere ed ancora di più sono i prototipi che saranno commercializzati a breve.

Il controllore è stato diviso in due parti: un controllo in feed-forward che modifica il comportamento a regime del veicolo portandolo a coincidere con quello di target,e un controllore in

feed-back che si occupa di velocizzare i transitori riducendo il tempo si assestamento e si attiva

durante le condizioni critiche.

Questi controllori sono stati sviluppati su di un modello linearizzato del veicolo intorno alle condizioni di regime determinate dalla coppia di input da pilota velocità-angolo di sterzo delle ruote anteriori.

Il controllore sviluppato nella presente tesi è stato testato su di un modello di veicolo che implementa il comportamento non lineare dei pneumatici e le non linearità insite nella cinematica del veicolo (effetti secondari dovuti alle velocità di imbardata e laterale); questo modello era inadeguato per il progetto del controllore a causa delle sue forti non linearità.

Il primo capitolo della presente tesi è dedicato ad alcune considerazioni di impatto ambientale del traffico di veicoli convenzionali a motore a combustione interna più alcune brevi considerazioni di mercato ed una panoramica dei veicoli elettrici ad alte prestazioni presenti sul mercato e sui prototipi di prossima commercializzazione. Il secondo si occupa della descrizione dei modelli sviluppati per testare i sistemi di controllo (un modello di veicolo tradizionale dotato di un motore elettrico interfacciato con un differenziale ordinario ed un modello di veicolo con due motori). Il terzo capitolo descrive infine illustra il modello target i controlli feed-forward e feed-back sviluppati illustrandone i vantaggi e gli svantaggi rispetto al veicolo tradizionale.

CAPITOLO 1

VEICOLI ELETTRICI AD ALTE PRESTAZIONI

1.1 Considerazioni introduttive

Il livello di inquinamento sempre più alto e la crescente attenzione dell'opinione pubblica verso i problemi ambientali hanno spinto molti Enti pubblici e privati a individuare tecnologie e processi che riducano l'impatto dell'uomo sull'ambiente.

Studi recenti [6] hanno infatti dimostrato come il settore trasporti influisca per il 40-50% sull'inquinamento da ozono, per circa il 20% sull'inquinamento da piogge acide, per il 75% sull'inquinamento da particolato e per poco meno del 20% sull'inquinamento da gas serra ( CO2 ,

CH4 ed N2O ).

Le soluzioni più promettenti dal punto di vista del settore trasporti sono i cosiddetti veicoli ad "emissioni zero", ovvero veicoli che non utilizzano un motore a combustione interna per la generazione della trazione. Principalmente i progettisti sono orientati all'utilizzo in maniera eslusiva o combinata di accumulatori al Litio e sistemi di generazione elettrica a celle a combstibile (Idrogeno), abbinati a motori elettrici che garantiscono un alto rendimento (intorno al 90%) e recupero di energia in frenata, grazie alla intrinseca reversibilità delle macchine elettriche.

Entrambe queste tipologie di veicoli sono ad emissioni zero nel punto di utilizzo ma l'effettivo impatto ambientale dipende dalla modalità di preparazione dell'energia elettrica utilizzata per la ricarica delle batterie (ricarica plug-in), e dalla tecnica di produzione dell'Idrogeno adottata (FC). I veicoli sono effettivamente a emissioni zero se l'energia elettrica o l'Idrogeno sono prodotti con fonti rinnovabili come il sole o il vento.

Infatti in alcuni casi i costruttori di questi veicoli forniscono anche dei pannelli solari per la ricarica plug-in delle batterie che consentono, nel caso più favorevole percorrenze fino ad 80 km al giorno a costi ed emissioni zero.

I veicoli elettrici sono perfettamente integrabili nel traffico urbano, infatti recenti studi hanno dimostrato che il 75% delle percorrenze giornaliere a bordo di un auto è sotto i 50 km, dato perfettamente compatibile con le prestazioni dei veicoli elettrici odierni (autonomia di 150/200 km). Inoltre le famiglie europee dispongono mediamente di due o più autovetture, se ipoteticamente una di queste fosse elettrica con bassa autonomia, ad esempio 75 km, le situazioni in cui entrambe le

superiore a tale valore sarebbe statisticamente del 5%, ovvero di 13 giorni all’anno. Se l’autonomia fosse di 150 km, le situazioni conflittuali si ridurrebbero a 1 solo giorno all’anno [6].

Gli interventi che devono essere presi per aumentare la diffusione dei veicoli elettrici devono essere tesi al miglioramento delle prestazioni, della velocità massima, dell'autonomia e in particolare dei costi di acquisto, oggi particolarmente alti per via della limitata scala di produzione che non giustifica investimenti per produzioni economiche ed ottimizzate.

I potenziali acquirenti hanno infatti l'impressione, comprando un veicolo elettrico, di compiere una scelta costosa e limitante, oltre che una scelta buona a livello sociale, ma destinata a rimanere isolata ed inutile. L'industria dell'auto, non ricevendo stimoli dal punto di vista della domanda, non investe verso un significativo abbattimento dei costi di produzione.

La soluzione sarebbe l'intervento del legislatore per fare pressione attraverso gli strumenti che gli sono propri (leggi, tassazioni, incentivi economici, regolamenti) per aumentare la diffusione di questi veicoli, ed abbinare a questo una opportuna campagna di sensibilizzazione dell'opinione pubblica.

1.2 Vantaggi dell'utilizzo di motori elettrici

Le macchine utilizzate nella presente tesi sono macchine sincrone a magneti permanenti (brushless), le cui caratteristiche meccaniche C− sono del tipo riportato nella figura sottostante.

Come si può notare la macchina dà la coppia che serve per mantenere il sistema alla velocità angolare voluta purchè questa coppia resistente sia compresa tra 0 e il massimo valore disponibile. La velocità angolare a cui gira il rotore è determinata dalla frequenza della tensione di alimentazione della macchina, l'intensità della coppia è invece legata in maniera pressocchè lineare

al valore efficace della corrente di alimentazione.

I limiti della macchina sono legati alla corrente che vi circola: infatti maggiore è la corrente, maggiori saranno le perdite per effetto Joule sui cavi elettrici (perdite nel rame) e le perdite per correnti parassite indotte nel materiale ferro-magnetico (perdite nel ferro). Questa energia viene dissipata in calore dalla macchina, se la temperatura è troppo alta l'isolante dei cavi elettrici si deteriora. La massima corrente che può circolare all'infinito sulla macchina senza causare deterioramento dell'isolante viene detta corrente nominale ed è uno dei parametri più importanti nella scelta di un motore elettrico. E' comunque accettato un funzionamento a corrente maggiore di quella nominale purchè esso sia limitato nel tempo, ciò è dovuto al fatto che le costanti di tempo termiche di un motore elettrico sono dell'ordine del minuto.

La normale procedura di controllo di un motore elettrico prevede, tramite il controllo dell'elettronica di potenza (inverter), comandando l'intensità e la frequenza della corrente di statore, di far funzionare il motore elettrico con coppie da zero alla coppia massima fino alla velocità di rotazione nominale. In questo punto si raggiunge la potenza nominale della macchina che corrisponde alla corrente che può circolarvi all'infinito senza sciupare l'isolante deteriorandone le prestazioni. Per aumentare la velocità di rotazione fino al valore massimo consentito dalla resistenza meccanica degli organi di supporto degli alberi (cuscinetti) bisogna ridurre la coppia, riducendo la corrente di campo. Questa modalità di funzionamento del motore è caratterizzata dal fatto che la potenza non supera mai il valore nominale.

Il grande vantaggio del motore elettrico è di avere anche una modalità di funzionamento transitoria a potenza massima, ovvero si "forza" la corrente di statore a valori più alti di quello che può

circolarvi senza degradare per effetto Joule l'isolante, in modo da avere la coppia che desidero al regime di rotazione che desidero. Lo svantaggio è l'aumento delle perdite nel rame (riscaldamento del circuito elettrico) e nel ferro (riscaldamento del materiale ferromagnetico) che comportano un aumento di temperatura e quindi un deterioramento dell'isolante. Questo svataggio è comunque limitato, visto che le costanti di tempo termiche dei motori elettrici sono dell'ordine dei minuti; quindi si accetta un funzionamento del sistema in condizioni critiche, purchè limitato nel tempo [6].

Con la moderna tecnologia è possibile inoltre creare dei motori elettrici molto compatti e dall'elevata potenza specifica, che possono essere integrati nei supporti per le ruote.

Un vantaggio secondario dell'utilizzo di macchine elettriche è la frenatura a recupero (ovvero non dissipativa) che converte l'energia cinetica del veicolo in energia elettrica che va a ricaricare la batteria.

1.3 Esempi di veicoli elettrici ad alte prestazioni

Le ultime tendenze in fatto di veicoli elettrici puri sono volte alla progettazione e alla realizzazione di veicoli elettrici ad alte prestazioni, sia per la commercializzazione che solo ed esclusivamente per la prototipazione.

Di seguito sono riportati gli esempi più significativi:

● 1.2.1 Wrightspeed X1:

Il veicolo che più si avvicina al veicolo studiato nella presente tesi è il prototipo Wrightspeed X1. Questa vettura car è nata come prototipo, e quindi non è adatta alla commercializzazione.

Utilizza un motore elettrico accoppiato con un inverter da 200kW (268hp) che garantisce alte efficienze e tempi di ricarica molto brevi. Un grosso pregio di questo sistema di trazione sono i ridotti ingombri e pesi: utilizza un inverter PWM a IGBT (186 x 313 x 760 mm) con un peso di 30kg, abbinato ad un motore AC 3-F ad induzione a 4 poli (  305 mm x 381 mm) pesante 50kg (sistema di raffreddamento ad aria incluso) capace di generare una coppia massima di 247Nm fino a 6000 rpm, che può girare fino ad una velocità massima di 13300 rpm. Il gruppo inverter-motore è accoppiato ad un differenziale con rapporto di riduzione 8.25.

La vettura è un veicolo elettrico puro alimentato da batterie agli ioni Litio per un totale di 25kWh. Il peso totale del veicolo è di circa 700kg (senza pilota) e consuma circa 124 Wh/km (autonomia di circa 200km). La velocità massima è di 180km/h

La Fetish è invece un auto presente sul mercato. Utilizza un gruppo motore elettrico AC 3F - inverter PWM da 180kW capace di sviluppare una coppia massima di 220 Nm, amplificata da un differenziale con rapporto di riduzione 1:9.58. Quest'auto, con un peso totale di 980kg, adotta un totale di 250 kg di batterie a ioni di Litio che garantiscono 250 km di autonomia ed una ricarica in 3h da presa di corrente 220V-50Hz.

● 1.2.3 Tesla Roadster:

Questa vettura, di recente lanciata sul mercato, presenta caratteristiche simili alle vetture precedentemente illustrate. Anch'essa monta un motore elettrico accoppiato con un inverter PWM, alimentato da accumulatori a ioni di Litio. Il motore è un AC 3F ad induzione alimentato da una tensione di 375V, che genera una coppia fino a 370Nm (esiste anche una versione sport della vettura che genera 400Nm) sviluppando una potenza massima di 215kW con massima velocità di rotazione di 14000rpm. L'autonomia dichiarata dal costruttore è di 380 km ed è garantita una vita utile delle batterie quantificata in 160000km. Alla fine della loro vita le batterie sono riciclabili.

● 1.2.4 Altre auto elettriche ad alte prestazioni:

La panoramica sui veicoli elettrici ad alte prestazioni che il mercato offre, è ampia. Anche molte grandi aziende si stanno per affacciare su questo settore emergente dei cosiddetti SEV (Super Electric Vehicles), tra queste vi sono la Shelby con la Aero EV, la Dodge con la Circuit e la Mercedes-AMG con il prototipo di prossima commercializzazione (2015) della nuova SLS elettrica che garantisce stesse prestazioni della motorizzazione a benzina (880 Nm di coppia alle ruote e 390 kW di potenza massima). Quest'ultima appare particolarmente interessante in quanto anzichè montare un motore elettrico ne monta quattro, uno per ogni ruota attaccati al telaio in prossimità delle ruote. La soluzione adottata consente di non far gravare sulle ruote il peso del motore con vantaggi notevoli sia sul comfort che sulla tenuta di strada, in quanto riduce notevolmente il valore delle masse non sospese.

Esistono pure molti piccoli costruttori che commercializzano veicoli elettrici di questo tipo. Tra i più noti vi è la Lightning che ha realizzato la Lightning GT, che adotta quattro motori sui mozzi ruota e la Rinspeed che ha commercializzato la iChange.

CAPITOLO 2

MODELLI UTILIZZATI

2.1 Introduzione

In questa tesi, vengono analizzati due veicoli che rientrano nella categoria dei veicoli da competizione: il primo è un veicolo ordinario dotato di un singolo motore interfacciato direttamente ad un differenziale non bloccabile (senza cambio di velocità), il secondo è un veicolo che ha in comune con il precedente tutte le caratteristiche distintive (peso,potenza...) ma adotta due motori integrati nei mozzi (hub-motors) delle ruote posteriori. Lo scopo è controllare questi due motori in modo da variare il comportamento del veicolo in curva.

Per descrivere il comportamento dei veicoli analizzati sono stati utilizzati dei modelli matematici [1] implementati nel software Matlab e descritti in temini di equazioni differenziali in ambiente Simulink. I modelli sviluppati consentono di studiare il comportamento direzionale e la stabilità dei veicoli analizzati.

La descrizione dei veicoli è molto complicata in quanto sono sistemi dinamici altamente complessi e spesso nel loro studio è inutile cercare di riprodurre accuratamente ogni possibile condizione di lavoro, in quanto il modello che ne risulterebbe sarebbe troppo complesso e i risultati che ne deriverebbero sarebbero difficilmente interpretabili.

2.2 Ipotesi semplificative

E' fondamentale tenere sempre a mente quali sono le ipotesi alla base di un qualsiasi modello matematico, in quanto queste sono fondamentali per comprendere il "campo" in cui i suoi risultati sono attendibili, evitando di usarlo in maniera inappropriata.

La descrizione dei veicoli è basata sulle seguenti ipotesi:

● moto su strada piana e orizzontale

● sterzo anteriore (angoli di sterzo uguali sulle due ruote anteriori) e trazione posteriore

(quest'ultima ipotesi mi consente di non considerare le forze longitudinali sulle ruote anteriori che sono molto modeste)

● vengono trascurati gli effetti inerziali del moto di rollio della cassa:

questa è una conclusione che deriva dall'ipotesi di avere piccole inclinazioni della cassa; l'ipotesi ben si adatta alla descrizione di una vettura da competizione in cui l'alta rigidezza delle sospensioni limita fortemente il rollio;

● vengono trascurati anche gli effetti geometrici del moto di rollio della cassa,

ovvero gli effetti che il rollio della carrozzeria comporta sulle sospensioni; infatti una qualsiasi accelerazione laterale comporta uno schiacciamento/estensione (rispettivamente sul lato esterno/interno della curva) delle sospensioni, con conseguente variazione degli angoli caratteristici degli pneumatici. In particolare l'angolo di convergenza delle ruote durante una curva aumenta leggermente, in fase con l'angolo di sterzo. Questa micro-sterzatura è indotta dalla cinematica della sospensione e il suo scopo è quello di far si che le due ruote di uno stesso assale lavorino con lo stesso angolo di deriva; invece l'angolo di camber (angolo tra il piano perpendicolare all'asse dello pneumatico e il piano ortogonale alla strada) decresce con il crescere dell'angolo di rollio, questo per assicurare pieno contatto tra pneumatico e asfalto. In definitiva l'unico effetto del rollio sulla dinamica complessiva del veicolo è quello legato al trasferimento di carico verticale in curva.

● vengono evitate repentine frenature e accelerazioni , visto che l'interesse è studiare il

comportamento direzionale; ciò consente di trascurare anche i moti di scuotimento e beccheggio.

Dalle ipotesi finora formulate si può asserire che quindi i veicoli studiati siano assimilabili a corpi rigidi in condizione di moto piano, diretta conseguenza dell'aver formulato una descrizione di veicolo senza sospenioni.

Ulteriori ipotesi che stanno alla base dei modelli esposti sono:

● tiranteria di sterzo perfettamente rigida

● il moto di sterzatura delle ruota anteriori non ha influenza sulla posizione del baricentro

dell'intero veicolo, vista la loro ridotta massa rispetto al veicolo.

● l'asse di sterzo di ciascuna ruota è perpendicolare al terreno e passa per il centro

dell'impronta a terra

2.3 Modello matematico base dei veicoli analizzati

Sulla base delle ipotesi formulate in precedenza si procede alla formulazione di un modello matematico del veicolo. Il veicolo viene trattato come un unico corpo rigido di massa m e baricentro G.

Il sistema di riferimento (x,y,z,G) di Figura 4 è solidale al veicolo ed ha origine nel suo baricentro: l'asse x è parallelo alla strada ed è diretto nel verso di avanzamento del veicolo, l'asse z è ortogonale al terreno, e l'asse y è scelto in modo da ottenere una terna levogira.

In questa rappresentazione il veicolo ha tre gradi di libertà (avanzamento del baricentro lungo x e y e rotazione attorno a z). Vengono ora esposti i tre gruppi di equazaioni necessari a formulare il modello ovvero le equazioni di congruenza, di equilibrio e costitutive.

2.3.1 Equazioni di congruenza

Queste sono legami cinematici che determinano la velocità di un qualsiasi punto del corpo rigido noti i valori di velocità del baricentro G, e della velocità angolare del corpo rigido.

Per trovare quindi i valori di velocità dei punti del veicolo coincidenti con i centri ruota si procede quindi considerando il veicolo come un unico corpo rigido in condizione di moto piano.

v_G= u i  v j vij= vG  r k × GPij quindi v₁₁= u−r t/ 2 i  vr a₁ j v₁₂= ur t/ 2 i  vr a₁ j v₂₁= u−r t/2 i  v−r a₂ j v₂₂= ur t/2 i  v−r a₂j

Da quì si passa quindi alla stesura delle equazioni che descrivono lo scorrimento pratico longitudinale (scalare compreso tra -1 e 1 che rappresenta quanto la velocità angolare dello pneumatico si discosta dalla velocità di puro rotolamento, pari alla velocità del centro-ruota fratto il raggio di rotolamento a ruota indeformata R0 ) e l' angolo di deriva (angolo tra il piano

longitudinale dello pneumatico e il vettore che rappresenta la velocità del centro ruota) di ciascun pneumatico, utili per ottenere le forze che i pneumatici trasmettono all'asfalto.

sx11=

u−r⋅t

2cos vr⋅a1sin − 11R0

u−r⋅t

2cosvr⋅a1sin 

sx12=

ur⋅t

2cos vr⋅a1sin − 12R0

ur⋅t 2cosvr⋅a1sin  sx21= u−r⋅t 2 − 21R0 u−r⋅t 2 sx22= ur⋅t 2 − 22R0 ur⋅t 2 ₁₁=−v r a1 u−r t 2 ₁₂=−v r a1 ur t 2 ₂₁= − v−r a2 u−r t 2 ₂₂= − v−r a2 ur t 2

Fig. 9: Definizione grandezze cinematiche del veicolo

Un utile semplificazione da fare è quella di constatare il fatto che gli angoli di sterzo sono nelle manovre tipiche minori di 15° quindi operare la sostituzione cos =1 e sin= . Si nota inoltre lo scarso valore del termine rt /2 , in confronto ad u , cosa che rende lecita la sua eliminazione. Questa preminenza di u sul termine rt /2 , fa si che le derive delle ruote di uno stesso assale siano uguali, anche se in realtà in curva la deriva delle ruote esterne è minore di quella delle ruote interne.

Infine si nota che le ruote anteriori, su cui non c'è trazione, sono sempre in condizione di ruota trascinata, quindi gli scorrimenti pratici su queste ruote sono posti costantemente pari a 0.

Le equazioni di congruenza così semplificate, utilizzate nella modellazione del comportamento del veicolo sono quindi:

s_x11=0 sx12=0 sx21= u − ₂₁R₀ u sx22= u − ₂₂R₀ u ₁₁=−v r a1 u 12=− v r a₁ u 21= − v−r a2 u 22= − v−r a₂ u 2.3.2 Equazioni di equilibrio

Le equazioni di equilibrio che descrivono il moto del veicolo sono le equazioni descrittive della dinamica del corpo rigido in moto piano.

F =m ˙aG

MG= ˙KGrel

Dove F = X ,Y , Z  è la risultante delle forze agenti sul veicolo, MG=L , M , N  è il

momento risultante delle forze agenti sul veicolo, m è la massa del veicolo, a_G è l'accelerazione del baricentro, nel sistema di riferimento veicolo, e K˙_Grel

è il momento delle forze di inerzia rispetto al baricentro del veicolo.

Derivando la velocità v_G si ottiene il valore di accelerazione a_G del baricentro del veicolo.

a_G=  ˙u − v⋅r  i   ˙v  u⋅r  j Per ottenere K˙G

rel

considero che vista la simmetria del veicolo l'asse y sia centrale di inerzia quindi il tensore di inerzia del veicolo presenta valori non nulli solo per quel che riguarda

J_xz=J_zx e Jzz .

˙

KGrel=−Jxz˙r i − Jxzr2 j  Jzz˙r k

Le forze agenti su un veicolo sono forze aerodinamiche, forza peso e forze di reazione dovute al contatto pneumatico-strada. Per semplicità nel presente modello non consideriamo la presenza di vento laterale (l'unica forza areodinamica agente è la resistenza all'avanzamento proporzionale al quadrato della velocità longitudinale).

Tenendo inoltre in considerazione il fatto che gli angoli di sterzo sono nelle manovre tipiche minori di 15° è lecito operare la sostituzione cos=1 e sin = . Si considerano infine come equazioni di interesse solo quelle che descrivono la dinamica traslatoria longitudinale e laterale, e la dinamica rotatoria in direzione z del veicolo, trascurando i moti di scuotimento, beccheggio e rollio. Le equazioni di equilibrio di interesse quindi si riducono alle tre equazioni sotto elencate:

m ˙u−vr= X =Fx21Fx22−Fy11⋅−Fy12⋅−Fres

m ˙vur =Y = Fy11Fy12Fy21Fy22

J_zz˙r =N = Fy11Fy12a1−Fy21Fy22a2Fy11−Fy12

t

2Fx22−Fx21

t

2.3.3 Carichi verticali

Un ultima considerazione sull'equilibrio del veicolo è relativa ai carichi verticali che agiscono sulle ruote. Ognuno di questi deriva da tre contributi: il carico verticale statico, il trasferimento di carico tra avantreno e retrotreno durante le manovre di accelerazione/frenata e il trasferimento di carico da un lato del veicolo all'altro dovuto alla percorrenza di una curva.

I valori di carico verticale statico agente sulle singole ruote è dipendente dai semipassi:

Caricoverticale su ciascuna ruota anteriore F_z10=mga2

2l

Caricoverticale su ciascuna ruota posteriore F_z20=mga1

2l

Durante la fase di accelerazione vi è un trasferimento di carico dall'avantreno verso il retrotreno, dovuto al momento delle forze di inerzia legate all'accelerazione longitudinale del veicolo. Queste possono essere idealmente applicate al baricentro del veicolo, e durante la fase di accelerazione hanno braccio pari all'altezza da terra h del baricentro.

Fz11=Fz12=Fz10−X h_l Fz21=Fz22=Fz10X h_l

Infine durante la percorrenza in curva le forze di inerzia creano uno spostamento di carico verticale sulle ruote che percorrono il lato esterno della curva. Per comprendere meglio il fenomeno e capire quali sono i parametri che influenzano questo fenomeno, viene utilizzato il seguente modello

Il veicolo è schematizzato come un insieme di tre masse: una massa detta sospesa (in quanto è sorretta dalle sospensioni), l'assale anteriore e quello posteriore. Per semplicità si assume che la massa totale sia racchiusa nella massa sospesa, in quanto la massa degli assali è molto minore di quella della cassa.

La massa sospesa è vincolata a ciascun assale da una coppia rotoidale, inoltre le due coppie rotoidali hanno in comune l'asse di rotazione detto asse di rollio. Questa ipotesi è valida nel caso in cui gli angoli di rollio  siano piccoli e quindi l'asse di rollio possa considerarsi fisso. L'asse di rollio è in genere inclinato rispetto al terreno di angoli molto piccoli (circa 1°), per semplicità in questa sede esso è supposto orizzontale.

Le coppie rotoidali hanno una certa rigidezza torsionale Ki , questa schematizza l'elasticità delle

molle delle sospensioni (e dell'eventuale barra di torsione). La rigidezza torsionale, immaginando di avere delle molle che insistono sul centro ruota di rigidezza pari rispettivamente a k1 (ognuna

delle due molle anteriori) e k2 (ognuna delle due molle posteriori) vale:

ki⋅s⋅t=kfii⋅ ⇒ ki⋅₂t⋅t=kfi i⋅ ⇒ kfi i=kit

2

2

Le rigidezze torsionali vengono sollecitate dalla nascita dell'angolo di rollio. Le molle torsionali possono quindi considerarsi sollecitate in parallelo poichè subiscono la stessa deformazione  .

k_=k_1k_2

Le rigidezze k1 e k2 sono state ricavate utilizzando un modello semplificato (quarter car

model) che schematizza il veicolo come un sistema massa-molla, ideale per studiare in modo

semplificato il moto di scuotimento. Il dimensionamento delle molle è stato fatto imponendo che la frequenza naturale non smorzata a scuotimento del modello sia di 2Hz (valore tipico per le vetture da competizione che richiedono molle molto rigide per aumentare al massimo la tenuta di strada). Non è stata considerata la presenza di uno smorzatore sulla sospensione perchè si guarda alla dinamica totale del veicolo, immaginando idealmente un traferimento di carico istantaneo tra un lato e l'altro. Questo implica che l'interesse è volto solo ed esclusivamente al valore di regime del carico verticale, ovvero quando lo smorzatore non lavora più. L'assunzione è giustificata anche dal fatto di considerare una dinamica del veicolo a scuotimento molto rapida (frequenza caratteristica pari a 2 Hz).

La caratteristica elastica del quarter car model (relativa all'intero veicolo) è stata poi ripartita tra avantreno e retrotreno secondo un indice di distribuzione delle rigidezze 

k_eq=2⋅k₁2⋅k₂ poichè a scuotimento le molle sono sollecitatein parallelo

f_sc=



m =3 Hz

Indice dinamico =k1⋅a1

k₂⋅a₂=0.9

L'equilibrio generale del veicolo e dei singoli assali a rollio, guardando il modello di Fig.12, dà il valore del trasferimento di carico verticale tra i sngoli assali:

equilibrio globale a rollio =Y h−d

k_ =Fy11Fy12Fy21Fy22

h−d

k_

equilibrio a rollio assale anteriore −Fz1t Fy11Fy12d k1=0

equilibrio a rollio assale posteriore −F_z2t F_y21F_y22d k_2=0

F_z1=1 t [d  Fy11Fy12 k_1 k h−d  F_y11F_y12F_y21F_y22]=₁₁F_y11F_y12₁₂F_y21F_y22 F_z2=1 t[d  Fy21Fy22 k_2 k_h−d  Fy11Fy12Fy21Fy22]=21Fy11Fy1222Fy21Fy22 2.3.4 Equazioni costitutive

Infine per definire il comportamento del veicolo è necessario modellare la risposta degli pneumatici. Ciascun pneumatico dà una forza che dipende principalmente da quattro parametri: l'angolo di

piano longitudinale dello pneumatico), lo scorrimento pratico longitudinale sx (scalare compreso

tra -1 e1 che rappresenta quanto la velocità angolare dello pneumatico si discosta dalla velocità di puro rotolamento), il carico verticale che agisce su ciascuna ruota e il coefficiente di attrito tra pneumatico e strada. Per la definizione matematica di s_x e  si rimanda al paragrafo 2.3.1. L'implementazione di queste equazioni in ambiente Simulink è stata fatta tramite delle look-up tables, ovvero utilizzando delle funzioni definite per punti interpolate linearmente.

Dati gli scopi della tesi si è deciso di modellare lo pneumatico tenendo conto anche della risposta in transitorio, che non rende istantaneo il passaggio da una condizione di funzionamento all'altra. Infatti uno degli scopi della tesi è studiare il comportamento dei due veicoli analizzati nelle condizioni di transitorio, per cui è stato quindi ritenuto necessario indagare anche sulla dinamica dello pneumatico.

Fig.15: Forza longitudinale per deriva nulla in funzione dello scorrimento pratico longitudinale e del carico verticale

Fig.16: Forza longitudinale per Fz=2000Nin funzione di scorrimento pratico longitudinale e deriva

Fig.17: Forza laterale in funzione di deriva e carico verticale per scorrimento pratico longitudinale nullo

Il modello proposto è un modello semplice, molto utilizzato in letteratura: il modello di pneumatico con lunghezza di rilassamento lr (essa normalmente assume valori un po' minori del raggio

esterno dello pneumatico):

l_r vx ˙ F_xF_x= F_x, sx , Fz , lr v_x F˙yFy= Fy, sx , Fz , 

Dove F_x e F_y rappresentano i valori di regime di Fx e Fy imposti dalle coppie motrici

applicate o dalla variazione di deriva.

La modellazione del transitorio utilizza un modello del primo ordine, quindi la risposta dello pneumatico è di tipo esponenziale smorzata. Il tempo di salita dipende dalla velocità del centro ruota e da una caratteristica intrinseca dello pneumatico (la lunghezza di rilassamento)

2.3.5 Sistema di trazione

Il comando dell'accelleratore dei veicoli analizzati è del tipo Drive-by-wire in cui lo schiacciamento del pedale da parte del pilota diviene un segnale in tensione che comanda l'inverter che alimenta il motore. Nei modelli utilizzati viene impostata una velocità di riferimento, questa viene mantenuta costante da un controllore di tipo PI (che schematizza il comportamento di un pilota sull'acceleratore) che, tramite un confronto tra velocità voluta e velocità misurata, dà un segnale, saturato per simulare il fondo corsa dell'acceleratore, proporzionale alla coppia richiesta. La parte integrale del controllo PI serve per avere errore nullo a regime e per gestire l'assestamento alla velocità voluta in tempi brevi.

PI  s= KP

1 _I⋅s

I valori assegnati sono KP=400 e I=0.4s e sono relativi ad un pilota molto "reattivo" che per

un errore sulla velocità di 15km/h richiede la Cmax (modalità di funzionamento del motore in

condizione di sovraccarico) e un assestamento in circa 1s [6].

La reale differenza tra i due veicoli analizzati (un motore associato a un differenziale, e due motori integrati sui mozzi ruota) sta quì, nella gestione delle forze longitudinali sulle ruote di trazione: nel caso di veicolo tradizionale il differenziale rende le due forze longitudinali posteriori uguali, nel caso di veicolo con due motori possono essere diverse a seconda della coppia imposta sulla singola ruota. Infatti poichè il target della tesi è osservare che effetto comporta sulla dinamica in curva del veicolo l'introduzione di un sistema di controllo che modifichi le forze longitudinali agendo sulle coppie motrici dei motori-mozzo, tutti i parametri caratteristici che influenzano la dinamica (semipassi,altezza da terra del baricentro, potenza motrice,rigidezze delle sospensioni...) sono identici per i due veicoli.

Il veicolo definito "tradizionale" che adotta un motore centrale interfacciato con un differenziale (dal rapporto di riduzione 4:1), invia la coppia di trazione necessaria ad un blocco che implementa un modello di equazione differenziale del primo ordine con costante di tempo pari alla costante di tempo elettrica del motore in questione (τm=0.05s). Questo sistema modella realisticamente la

crescita di coppia in un motore elettrico, legata in maniera proporzionale alla corrente che vi circola.

L'uscita di questo blocco, ovvero la coppia che realmente il motore fornisce, viene divisa per due e mandata al blocco che implementa la dinamica rotatoria delle ruote posteriori (riceve come input la coppia e ha come output la velocità angolare).

_m⋅ ˙M_2j= M_2j−M_2j dinamica crescita

di coppia motrice M2j−Fx2j⋅R0=Jr˙2j dinamica ruote posteriori

Il veicolo a due motori, invece invia a due blocchi che implementano ognuno un'equazione differenziale del primo ordine, la metà della coppia totale necessaria alla trazione. A questo input si somma il valore di coppia richiesta per la stabilizzazione del veicolo dal sistema di controllo per quel che riguarda la ruota esterna alla curva; per quel che riguarda la ruota interna essa viene sottratta. Queste sono le coppie richieste ai singoli motori. Questi input vengono poi inviati a due blocchi che implementano la dinamica di crescita della coppia dei due motori elettrici. Infine l'uscita di questi blocchi, che rappresenta la coppia che i motori realmente erogano viene inviata ai blocchi che implementano la dinamica rotatoria delle ruote posteriori.

Il confronto tra i due veicoli in questione è fatto a parità di potenza alle ruote. La potenza del sistema di trazione definisce la velocità massima che i veicoli possono raggiungere in rettilineo senza sciupare i motori che, in questo caso è stata imposta a 33m/s pari a circa 120km/h. La potenza di trazione è dissipata, in condizione di moto rettilineo, in resistenza al rotolamento offerta dagli pneumatici e in resistenza aerodinamica del veicolo.

Fig. 19: Schema per lo studio della dinamica rotatoria delle ruote posteriori

Fres=FaerFrot F_aer=1 2S cxu 2 Frot=f m g con f =0.013 S⋅c_x=0.54 m2 g=9.81 m/ s =1.25kg/ m3 u=33m/ s

⇒ P_res=F_res⋅u=12120 W

Il valore di potenza dissipata su resistenza aeroidinamica e di rotolamento degli pneumatici va maggiorato per tenere conto delle dissipazioni dovute all'efficienza dei motori ( mot =0.9) e degli

organi di trasmissione ( diff =0.98 , quest'ultima perdita è presente solo per il veicolo

tradizionale).

Sono stati scelti, dai dati di targa due tipologie di motori, che soddisfano le caratteristiche richieste e che forniscono anche la stessa coppia massima sulle ruote in condizione di funzionamento diverse da quelle nominali. Infatti come è stato ricordato nell'Introduzione, un vantaggio notevole derivante dall'utilizzo di motori elettrici è consentire l'erogazione di coppia (tra 0 e la coppia massima) a qualsiasi velocità angolare, variando semplicemente la corrente immessa nel motore.

P_NOM= Pres

_mot⋅_diff=13700W Per il motore del veicolo tradizoinale _NOM=_MAX=uMAX

R₀ ⋅diff=497 rad s C_NOM=PNOM _NOM=28Nm C_MAX=108Nm P_NOM=Pres _mot⋅ 1

2=6750 W Per singolo motore del veicolo a due motori _NOM=_MAX=uMAX

R₀ =124

rad s C_NOM=P_NOM/_NOM=56Nm

C_MAX=216Nm

I motori elettrici utilizzati nella presente tesi hanno la particolarità di avere ΩNOM=ΩMAX.

2.3.6 Parametri dei veicoli

I parametri caratteristici dei due modelli di veicolo implementati su Simulink sono i seguenti

massa ( m ) 575 kg

momento d'inerzia all'imbardata ( Jzz ) 980 kg*m^2

carreggiata ( t ) 1.4 m altezza del baricentro da terra ( h ) 0.5 m raggio di rotolamento ruote ( R0 ) 0.2654 m

lunghezza di rilassamento pneumatici ( lr ) 0.2 m

momento di inerzia alla rotazione delle ruote ( Jr ) 0.958 kg*m^2

altezza asse di rollio da terra sul baricentro ( d ) 0.2 m inclinazione asse di rollio (  ) 0°

rigidezza ridotta al centro ruota di ogni sospensione posteriore ( k2 ) 57800 N/m

rigidezza ridotta al centro ruota di ogni sospensione anteriore ( k1 ) 52020 N/m

coefficiente di attrito di rotolamento pneumatici ( f ) 0.013 coefficiente resistenza aerodinamica ( cx ) 0.3

superficie frontale veicolo ( S ) 1.8 m^2 Coppia massima motore veicolo tradizionale ( Cmax ) 108 Nm

rapporto di riduzione differenziale veicolo tradizionale (  ) 1:4 Coppia massima singolo motore veicolo a due motori ( Cmax ) 216 Nm

costante di tempo elettrica motore veicolo tradizionale ( tm ) 0.05 s

costante di tempo elettrica singolo motore veicolo a due motori ( tm ) 0.05 s

rapporto di riduzione scatola di sterzo ( v ) 18

2.3.7 Considerazioni sui modelli matematici di veicoli

Nella tesi si vogliono valutare le differenze a livello di dinamica globale del veicolo tra le due soluzioni costruttive adottate; ovviamente i modelli matematici non potranno mai sostituire le prove su pista e i prototipi ma in compenso possono far risparmiare tempo e risorse, individuando le direzioni da seguire nelle progettazione in ottica di progettazione preliminare a tutto vantaggio di qualità, time-to-market e di conseguenza anche di prezzi.

CAPITOLO 3

SINTESI DEL SISTEMA DI CONTROLLO

3.1 Introduzione

In questo capitolo viene descritta la procedura di sintesi dei due controllori realizzati; questi sono controllori del tipo gain scheduled [4] ovvero a guadagno tabulato.

Il primo controllore realizzato è del tipo Feed-Forward, in cui in base alla conoscenza input del pilota si decide una certa differenza di coppia necessaria a ottenere determinati risultati. Questo tipo di controllore modifica il comportamento del veicolo a regime ed è sempre attivo. L'effetto che questo controllo ha sul comportamento del veicolo è un effetto leggero, per non modificare la guidabilità del veicolo e per non far variare troppo le sensazioni di guida sul conducente. Il design di questo controllore tende a modificare la risposta del veicolo per migliorarne la stabilità a regime in curva alle alte velocità e aumentare il raggio di curvatura della traiettoria alle basse velocità. Il secondo controllore realizzato è invece del tipo Feed-Back, ovvero adotta un anello di retroazione. L'azione di questo controllore è dunque concentrata durante la fase di transitorio ovvero di assestamento in curva. In particolare esso ha la funzione di ridurre il tempo di assestamento del veicolo in curva, riducendo il ritardo tra l'input di di sterzo e il raggiungimento del valore del regime da parte dell'accelerazione laterale e della velocità di imbardata.

Propedeutica alla sintesi di questi controlli è la formulazione di un modello di veicolo da prendere a riferimento. Questo è definito modello target ed è costruito in modo da risultare sempre stabile.

3.2 Modello monotraccia target e Controllore Feed-Forward

I controlli sviluppati sono tutti controlli sulla velocità di imbardata, essi riducono l'errore tra la velocità di imbardata reale del veicolo e la velocità di imbardata target.

Il controllore Feed-Forward è progettato per dare un'aumento della velocità di imbardata rispetto al veicolo tradizionale, per quel che riguarda le basse velocità. Ciò incrementa la manegevolezza del veicolo, che quindi compirà a parità di input da pilota ( u ,  ) traiettorie circolari a raggio minore rispetto al veicolo tradizionale. La modifica del comportamento del veicolo a queste velocità è molto lieve e l'influenza del controllo si riduce quanto più è bassa la velocità longitudinale del veicolo, questo per il semplice fatto che tanto più la velocità è bassa, tanto più un veicolo si

può essere utilizzato ad esempio in fase di parcheggio in cui le velocità sono molto basse e il veicolo è in condizione di moto cinematico.

Alle alte velocità invece il controllore FF è progettato per aumentare la stabilità del veicolo dando una coppia controimbardante. Il controllo FF è quindi progettato per dare a regime una velocità di imbardata target tale da aumentare la stabilità del veicolo.

La letteratura del settore automotive presenta numerosi esempi di metodi per creare la velocità di imbardata target. Il metodo utilizzato in questa sede rientra nella categoria model reference.

Il modello di riferimento utilizzato è un semplice modello monotraccia ampiamente utilizzato in letteratura. Questa tipologia di modelli è simile a quella utilizzata nella tesi ma adotta una ulteriore semplificazione, in quanto accorpa le ruote di uno stesso assale, descrivendo il veicolo con pochi parametri globali, utile per ottenere informazioni su stabilità e comportamento a regime.

In questa tipologia di modelli, come già detto, le due ruote di uno stesso assale sono accorpate, e la velocità longitudinale è imposta come parametro. Le equazioni costitutive quindi contemplano solo le costitutive di forza laterale totale date da ciascun assale, in funzione della sola deriva di quell'assale, a parità di aderenza. Queste funzioni sono dette caratteristiche effettive degli assali e quindi contemplano al loro interno anche il trasferimento di carico verticale in curva.

Queste sono state ottenute dal modello di veicolo sviluppato in precedenza tramite delle prove ad angolo volante costante, in cui si aumentava progressivamente la velocità longitudinale, leggendo

deriva e forza laterale totale anteriore e posteriore. Ciò che rende il modello target più stabile del modello di veicolo reale è relativo alle sue equazioni costitutive. Infatti la caratteristica dell'assale posteriore (che dà Fy21Fy22 nota che sia la deriva posteriore) è differente da quella calcolata

utilizzando le equazioni costitutive dei pneumatici. Essa è lineare con stessa pendenza nell'origine di quella reale.

F_y1F_y2T=m ˙v_Tur_t

Fy1a1−Fy2Ta2=Jzzr˙T

Questo modello target è un modello a due stati ( vT ed rT ) che ha come input l'angolo di sterzo

delle ruote  e la velocità longitudinale del veicolo u come parametro.

Il controllo FF è un semplice controllo proporzionale che, in base ai valori di u e  , dà un segnale CFF che rappresenta la differenza di coppia che deve imporsi ai due motori per ottenere a

regime la rT .

Questo segnale CFF va sommato alla metà della coppia richiesta dal pilota per la trazione al fine

di ottenere la coppia desiderata sulla ruota esterna, va invece sottratto per ottenere la coppia desiderata sulla ruota interna.

funzionamento del veicolo a regime, descritto dalle seguenti equazioni:

m⋅ur =F_y11F_y12F_y21F_y22

0= Fy11Fy12a1−Fy21Fy22a2Fx22−Fx21₂t

Questo sistema di equazioni algebriche non lineari, presenta come input quelli dati dal pilota ovvero

u e  , come uscite ha invece le Fyij , le Fx2j , CFF , v ed r.

Il sistema di equazioni algebriche non lineari in questione è stato risolto per qeul che riguarda le alte velocità (sopra i 14m/s) utilizzando il metodo di Gauss imponendo come condizione al contorno che la r fosse pari alla rT .

Per le basse velocità la CFF è stata posta pari alla metà della coppia di trazione necessaria al

mantenimento della velocità. In questo modo la coppia sulla ruota esterna è pari alla totalità della coppia totale necessaria alla trazione, mentre sulla ruota inetrna è 0. La soluzione adottata evita circolazioni passive di energia: infatti se CFF è maggiore della coppia richiesta per la trazione sul

singolo motore avrei un funzionamento del motore sulla ruota interna come generatore, mentre quello sulla ruota interna funzionerebbe da motore. Ciò comporterebbe un ricircolo di energia di cui una parte verrebbe dissipata sui rendimenti dei motori.

3.3 Effetto del controllore Feed-Forward alle basse velocità

Fig.22: Mappatura del controllore Feed-Forward in funzione della velocità longitudinale e dell'angolo di sterzo delle ruote

Come è già stato scritto il controllore FF è sempre attivo e dà alle basse velocità una coppia imbardante, al fine di ridurre il raggio di curvatura del veicolo.

Questo effetto imbardante è implementato fino ad una velocità di 10m/s e i 15m/s, a seconda dell'angolo di sterzo delle ruote, maggiore è l'angolo, minore è la velocità per cui si ha CFF=0 .

I vantaggi introdotti da questo controllo sono sintetizzati nei seguenti grafici che danno il valore della riduzione percentuale del raggio di curvatura della traiettoria in funzione dell'angolo di sterzo per i due veicoli, alla velocità di 6m/s e 10m/s.

Fig.23: Variazione percentuale del raggio di curvatura del veicolo con due motori rispetto al veicolo tradizionale per u=6m/s in funzione dell'angolo volante

3.3 Effetto del controllore Feed-Forward alle alte velocità

L'effetto di questo controllo sul veicolo non può essere confrontato con il comportamento del veicolo con differenziale, utilizzando i metodi classici della dinamica del veicolo per valutare la stabilità, quali ad esmpio l' handling diagram e l'understeer diagram.

Infatti la costruzione di questi grafici, utili per lo studio della stabilità del veicolo e per andare a valutare parametri come il gradiente di sottosterzo, è fatta considerando il fatto che per curvare i veicoli ordinari utilizzano solo le forze laterali Fy , in quanto le Fx sulle ruote di trazione sono

uguali (effetto dato dalla presenza del differenziale non bloccabile) e quindi non hanno effetto ai fini dell'imbardata del veicolo.

Il veicolo invece che adotta due motori, utilizza anche le forze longitudinali sulle ruote di trazione per direzionare il veicolo. Per studiare quindi la stabilità bisogna trovare un sistema di equazioni differenziali, lineari che mi descrivano la dinamica del veicolo.

Fig.24: Variazione percentuale del raggio di curvatura del veicolo con due motori rispetto al veicolo tradizionale per u=10m/s in funzione dell'angolo volante

3.3.1 Linearizzazione del sistema

Per raggiungere tale scopo dal sistema di equazioni differenziali viene eliminata la prima equazione che descrive la dinamica longitudinale, ipotizzando di avere una u costante (così facendo la velocità longitudinale diventa non più una variabile di stato ma un parametro). In questo modo si sono eliminati i prodotti incrociati tra le variabili di stato che rendevano il sistema non lineare (termine ur dell'equazione che descrive l'equilibrio alla traslazione in direzione y del veicolo). Inoltre se si fosse mantenuta la velocità longitudinale u come variabile, le equazioni costitutive dei pneumatici con lunghezza di rilassamento, così come le equazioni di congruenza non sarebbero state linearizzabili linearizzabili in quanto si sarebbe avuta la u al denominatore.

˙v=1 m[Fy11Fy12Fy21Fy22]−ur = f1 ˙r = 1 J_zz[Fy11Fy12a1−Fy21Fy22a2Fy11−Fy12  t 2Fx22−Fy21 t 2]=f2

Le equazioni differnziali che modellano il comportamento durante i transitori degli pneumatici sono

˙ F_yij=u l_r[ Fyijij, sxij, Fzij−Fyij]=f3,4 ,5,6 ˙ F_xij=u lr [ F_x2j_2j, sx_2j, Fz_2j−F_x2j]=f_7,8 i=1,2_j=1,2

Infine le ultime equazioni che servono per completare il sistema di equazioni differenziali lineari, utile per studiare la stabilità del sistema,sono quelle che caratterizzano la dinamica rotatoria delle ruote e quelle che caratterizzano la risposta dei motori all'input di coppia voluta:

˙ _2j= 1

J_r[M2j−Fx2j⋅R0]=f9,10 j=1,2

Quindi il sistema è descrivibile tramite un sistema di equazioni differenziali non lineare nella forma ˙x= F  x , U  con un vettore x a 10 componenti che racchiude le variabili di stato che caratterizzano il sistema ( x=[v , r , F_y11, F_y12, F_y21, F_y22, F_x21, F_x22,₂₁, ₂₂] ) e U un vettore

Taylor fino al primo ordine le funzioni f i con i=1,2...10 che compongono il vettore F=(f1,

f2, ...f10), al fine di linearizzare il sistema:

f_i= f_iP

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Il pedice P si riferisce al fatto che le derivate parziali sono state calcolate nella configurazione di equilibrio, quindi si ha che fiP=0 ( per la definizione di equilibrio).

Inoltre considerando di operare una semplice traslazione delle variabili di stato dall'origine al punto di equilibrio ( xP=[vP, rP, Fy11P, Fy12P, Fy21P, Fy22P, Fx21P, Fx22P, 21P, 22P] ), si ottiene il

sistema linearizzato intorno al suddetto equilibrio.

La matrice dei coefficienti del sistema linearizzato ovviamente è la matrice Jacobiana del sistema che contiene le derivate parziali di ogni equazione rispetto ad ogni variabile.

I coefficienti della matrice Jacobiana sono stati trovati utilizzando le seguenti equazioni algebriche

 Fx2j2j, sx2j, Fz2j= Fx2j2jP, sx2jP, Fz2jP

∣

∣

∣

∣

∣

∣

F_yij_ij, s_xij, F_zij= F_yij_ijP, s_xijP, F_zijP

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ovviamente, visto che gli scorrimenti pratici delle ruote anteriori sono posti sempre uguali a 0 (quindi le Fx1j sono sempre 0), le forze laterali anteriori dipendono solo da deriva e carico

verticale.

I valori  ,  sx e  Fz si riferiscogìno agli scostamenti di  , sx e Fz dai valori di

equilibrio e si possono ricavare direttamente dalle definizioni date in precedenza, nel Cap.2:

₁₁, u , v , r =12, u , v , r =− vra₁ u ⇒ 11= 12= − 1 uv− a₁ u r ₂₁u , v , r =₂₂u , v , r =− v−ra2 u ⇒  21= 22=− 1 uv a2 u r

s_x21u , ₂₁=1−21⋅R0 u ⇒ sx21= − ₂₁⋅R₀ u sx22u , 22=1− 22⋅R0 u ⇒sx22= − 22⋅R0 u F_z11=− mh

l −vPr−rPv −11Fy11Fy12−12Fy21Fy22

F_z12=− mh

l −vPr−rPv 11Fy11Fy1212Fy21Fy22

F_z21= mh

l −vPr−rPv −21Fy11Fy12−22Fy21Fy22

Fz22=−

mh

l −vPr−rPv 21Fy11Fy1222Fy21Fy22

Ovviamente anche quì i valori delle variabili preceduti da  rappresentano gli scostamenti delle suddette variabili dai valori che assumono all'equilibrio, indicati con il pedice P.

La matrice Jacobiana J è stata quindi costruita combinando le equazioni linearizzate delle fi

con le equazioni algebriche sopra descritte

J =

[

]

Come si può notare Fig.25 il controllo FF introduce, a parità di input ( u ,  ) una variazione sostanziale della dinamica del veicolo. Infatti i valori di velocità laterale v, di imbardata r, e delle derive a regime sono minori rispetto al veicolo con motore centrale.

La riduzione forte di queste caratteristiche di per sè non è sufficiente per asserire che il veicolo con due motori è più stabile. Infatti la stabilità di un veicolo dipende in gran misura dal punto di lavoro

pratico longitudinale maggiore sulla ruota interna alla curva (sui cui grava una minore forza verticale), nato per effetto del controllore FF potrebbe portare il punto di lavoro degli pneumatici ad essere sfavorevole ai fini della stabilità del veicolo.

Per studiare la stabilità dei due veicoli, non potendo utilizzare i metodi tradizionali della dinamica del veicolo (ovvero il tracciamento dell'handling diagram, o la definizione del gradiente di sottosterzo) si sono studiati gli autovalori della matrice Jacobiana. Tanto più questi autovalori hanno parte reale negativa, tanto più il sistema è stabile.

Il confronto tra i due veicoli è stato fatto sia a parità di input da pilota ( u ,  ) che a parità di raggio di curvatura della traiettoria seguita.Visto che la matrice Jacobiana è una matrice 10x10, essa ha un polinomio caratteristico di grado 10 che quindi da 10 soluzioni che corrispondono ai 10 autovalori del sistema.

Fig.25: Velocità di imbardata, laterale e derive per i due veicoli analizzati a parità di velocità (33m/s) e sterzatura ruote anteriori (3°)

Per quel che riguarda lo studio della stabilità si sono considerati i soli modi dominanti, trascurando gli autovalori che originano transitori veloci. Sono quindi stati analizzati i due autovalori che presentano le parti reali "meno negative", per velocità pari a 33m/s e vari angoli di sterzo delle ruote anteriori (3° e 6°).

Come si può notare il controllore FF cambia poco il comportamento del veicolo questo, principalmente per non alterare troppo le sensazioni di guida, infatti questo controllo è sempre attivo (ha effetto sul comportamento a regime) e se il suo contributo fosse troppo forte potrebbe cambiare la percezione che il guidatore ha del veicolo.

Il veicolo con due motori ha, come si è visto autovalori a parte reale leggermente minore rispetto al veicolo tradizionale, una spiegazione di questo fenomeno è che l'effetto negativo di aumento di scorrimento longitudinale sulla ruota interna alla curva per effetto della maggiore coppia motrice data a quella ruota è compensato dall'effetto positivo di riduzione della deriva.

Operando un confronto a parità di raggio di curvatura della traiettoria e velocità di avanzamento, il margine di stabilità che si è acquistato con il controllo FF si riduce, come evidenzia il grafico

Fig.26: Andamento in funzione della velocità dei due autovalori a parte reale maggiore dei veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso) all'equilibrio a parità di sterzatura delle ruote anteriori (3°)

seguente.

Il motivo di ciò è principalmente il fatto che, per ottenere parità di raggio di curvatura di traiettoria tra i due veicoli devo aumentare l'angolo di sterzo delle ruote anteriori nel veicolo a due motori, ciò mi dà un aumento della deriva anteriore, mentre velocità laterale v e deriva posteriore risultano sempre minori dei corrispondenti valori relativi al veicolo tradizionale (Fig.29).

Fig.28: Andamento in funzione della velocità dei due autovalori a parte reale maggiore dei veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso)

Fig.27: Andamento in funzione della velocità dei due autovalori a parte reale maggiore dei veicoli tradizionale (blu) e con due motori (rosso) all'equilibrio a parità di sterzatura delle ruote anteriori (6°)