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Oltre tali limiti e sempre p e r u n a sezione defor- mata a 2 lobi il Southwell (5) giunge con a l t r a trat- tazione alla formula :
(6)
in cui σ è la tensione nella fibra compressa che inizia il c e d i m e n t o .
La (6) dà in ogni caso valori m i n o r i di q u e l l o limite σ (s/R) . P e r piccole lunghezz e d'involucro , e quindi p e r forme lobate m e n o semplici le trat-
(5) Phil. Mag., pag. 67, 1915.
(6) Phil. Mag., pag. 503, 1913.
(7) Phil. Mag., pag. 51, 1914. Si veda pure il noto trattato di S. Timoshenko, « Applied Elasticity », Londra, pag. 247, 1928.
Tali valori non sono, a rigore, coerenti fra loro perchè riferiti ad acciai di v a r i o t i p o . Essi tutta- via obbediscono con sufficiente a p p r o s s i m a z i o n e alla f o r m u l a e m p i r i c a :
(7)
La fig. 1, disegnata su assi l o g a r i t m i c i , serve b e n e al confronto delle v a r i e soluzioni. D i v i d e n d o le o r d i n a t e p e r E si o t t e r r e b b e un grafico t u t t o rife- r i t o a p a r a m e t r i a d i m e n s i o n a l i , ma si è p r e f e r i t o m e t t e r e in evidenza i valori delle pressioni c r i t i c h e . Sulla figura si trova segnata in p a r t i c o l a r e , p e r σ = 6. 103 at, la linea corrispondente al valore li- mite pl i m = σ (s/R), con la quale praticamente coincide, data la piccolezza relativa degli spessori in esame, la curva corrispondente al criterio del B e l t r a m i , a cui si è fatto cenno nella' nota prece- d e n t e .
È p u r e segnata p e r z = 4 sia la linea corrispon- d e n t e alla formula (1), sia quella che r i s p o n d e alla n o t a formula del B a c h p e r i forni di c a l d a i e
(8)
nella q u a l e al coefficiente a è stato assegnato il va- l o r e 100, che c o m p e t e ai c i l i n d r i orizzontali.
Le linee c o r r i s p o n d e n t i alle f o r m u l e del Levy e del S o u t h w e l l sono in b u o n a c c o r d o fra loro e n t r o il c a m p o finora e s a m i n a t o . La linea del Southwell si incurva p o i p e r valori crescenti di s/r, t e n d e n d o al l i m i t e già r i c o r d a t o . A s s u m e n d o questa linea come valida p e r u n c a m p o p i ù esteso del prece- d e n t e e c o n t r a s s e g n a n d o i valori ad essa relativi con l ' i n d i c e o, si p u ò a d o t t a r e in p r i m a a p p r o s s i m a - zione la seguente formula e m p i r i c a :
P e r agevolare i confronti con la n o t a p r e c e d e n t e i r i s u l t a t i di queste relazioni sono stati r i p o r t a t i a n c h e in fig. 2, essendo so = rp/σ ed avend o posto σ = 5 . 1 03 a t .
3. - Queste formule, o i grafici, servono a ri- solvere anche il p r o b l e m a inverso al p r e c e d e n t e , quello cioè di determinare lo spessore q u a n d o è n o t a la pressione alla q u a l e l ' i n v o l u c r o deve nor- m a l m e n t e resistere. B a s t e r à m o l t i p l i c a r e tale pres- sione p e r un o p p o r t u n o fattore di sicurezza e cer- care il v a l o r e di s c h e vi c o r r i s p o n d e .
Ad es. p e r p = 1 0 a t , r / l = 0 , l , posto u g u a l e a 5 il fattore di sicurezza, dalla fig. 1 si ha s / r = ~ 0 , 0 3 e dalla fig. 2, s / so= ~ 3 . Se r = 300 mm risulta così s = 9 m m . La (8) a p p l i c a t a n e l m o d o consueto, cioè r i d u c e n d o a p e r l'acciaio dolce a 0,7.103 e p o n e n d o p = 10, fornisce pressochè lo stesso r i s u l t a t o .
Cesare Codegone Politecnico di Torino - Istituto di fisica tecnica.
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IX TORINO-NUOVA SERIE- ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
a Giuseppe Albenga
Studio della statica di una speciale trave incernierata agli estremi
Della trave inflessa incernierata agli estremi e caricata con legge p (x) in uno dei piani principali si studia con applicazione di serie trigonometriche l'equazione della linea elastica ed il valore della compo-
nente assiale delle reazioni vincolari.
Ci p r o p o n i a m o in questa breve n o t a lo studio statico di u n a t r a v e i n c e r n i e r a t a agli e s t r e m i ; vin- colata cioè in m o d o che ai suoi estremi non siano consentiti s p o s t a m e n t i di sorta p u r essendo per- messe rotazioni. P e r semplicità consideriamo la se- zione costante ed il carico in u n o dei p i a n i princi- pali della t r a v e .
Siano E, J m o d u l o di elasticità e m o m e n t o di inerzia della t r a v e , 1 la sua lunghezza, H la com- p o n e n t e assiale della reazione (positiva in senso t r a e n t e ) delle c e r n i e r e , x l'ascissa c o r r e n t e , y ( x ) la linea elastica, p ( x ) il carico c o r r e n t e .
A v r e m o come è facile ricavare p e r la y(x) la equazione colle condizioni agli e s t r e m i :
(1)
y(o) = y"(o) = y(l) = y"(l) = o
ora tale a l l u n g a m e n t o deve essere a c c o m p a g n a t o da u n a reazione vincolare data da
H = εEA dove A è la sezione della trave.
Risulta allora che H viene fornita d a l l ' e q u a z i o n e
(3)
i n o l t r e , se la serie in cui si è s v i l u p p a t o p ( x ) con- verge in m e d i a q u a d r a t i c a la (2) è effettivamente la soluzione di (1).
Si t r a t t a ora di calcolare la H che ovvie consi- derazioni fisiche ci fanno cercare nel c a m p o dei reali positivi.
Se la linea elastica è data da (2) la lunghezza
che si ottiene t r a s c u r a n d o i t e r m i n i oltre il p r i m o nella serie che c o m p a r e in (3).
Eugenio Frola Politecnico di Torino.
a Giuseppe Albenga
Qualche considerazione sul principio di De Saint-Venant
I. Esposizione critica dello sviluppo del problema. - II. Proposta di un metodo di studio approssimato delle strutture elastiche complesse pensate come scomposte in più solidi longilinei continuamente collegati fra loro.
I. - Il p r i n c i p i o di De Saint-Venant è n a t o come giustificazione i n t r o d u t t i v a a quella teoria delle t r a v i snelle, di sezione trasversale c o m p a t t a e co- stante o solo l e n t a m e n t e v a r i a b i l e lungo un asse ret- tilineo o a g r a n d e raggio di c u r v a t u r a , che t a n t a p a r t e ha avuto nello svolgersi della scienza del costruire.
T u t t a v i a i t r a t t a t i s t i dell'elasticità usano e n u n - ciarlo sotto u n a forma m o l t o g e n e r a l e :
« Secondo questo p r i n c i p i o , le deformazioni u n i - t a r i e p r o d o t t e i n u n corpo d a l l ' a p p l i c a z i o n e , a d u n a piccola zona della sua superfice, di un sistema di forze staticamente e q u i v a l e n t e ad u n a r i s u l t a n t e n u l l a e ad un m o m e n t o n u l l o sono t r a s c u r a b i l i a
distanze g r a n d i rispetto alle dimensioni lineari della zona ».
Così il Love (1), e con lui quasi t u t t i .
Queste p a r o l e n o n sono t r o p p o precise, e si c o m p r e n d e q u i n d i come negli u l t i m i decenni si siano avuti alcuni notevoli studi intesi a giungere sia ad u n a espressione suscettibile di dimostrazione m a t e m a t i c a , sia alla dimostrazione stessa.
Ho sottolineato la parola piccola perchè dalla sua i n t e r p r e t a z i o n e si o r i g i n a n o due diversi ordini di r i c e r c h e .
(1) A. E. H. LOVE, Theory oj Elasticity, p. 132 (4th edi- tion).
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
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tazioni divengono p i ù c o m p l i c a t e . Al r i g u a r d o i risultati di altri studi del Southwell (6) e delle ri- cerche s p e r i m e n t a l i del Cook (7), validi n e l c a m p o delle deformazioni elastiehe e delle t e m p e r a t u r e o r d i n a r i e , sono c o m p e n d i a t i nella seguente t a b e l l a : Pressioni limiti (in a t m ) per involucri d'acciaio premuti dall'esterno.
s/R = 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 r/l = 0,1 0,18 1,0 2,9 6,6 12,3 17 23 31 0,2 0,37 2,1 5,9 13 2 1 32 47 66 0,3 0,56 3,2 9,3 18 31 51 76 111 0,4 0 , 7 6 , 4 , 5 11,6 25 45 70 101 140 0,5 0,97 5,5 15 32 55 87 132 190 1,0 2,0 — — — — — — — 1,20 4,2 — — — — — — —
EJy
IV— Hy" = — p ( x )
S v i l u p p a t o p(x) in serie di s e n i :
si vede che le (1) sono f o r m a l m e n t e soddisfatte d a :
di tale linea, trascurati i t e r m i n i di grado s u p e - riore al secondo nelle derivate p r i m e , è :
il che ci dice che l'allungamento assiale è dato da
che in c a m p o reale positivo n o n ha che u n a sola soluzione.
P e r un calcolo n u m e r i c o è p i ù che sufficiente considerare al posto della (3) l ' e q u a z i o n e di 3°
grado
