2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;

Probabilità e Statistica

Esercitazione guidata - 29 maggio 2006 ESERCIZIO 1

Un biologo vuole stimare il tempo di vita medio di un batterio. A tal fine, isola 10 batteri e, osservandoli al microscopio, trova una media campionaria pari a 12 ore ed una deviazione standard campionaria pari a 1.1 ore. Si suppone che il tempo di vita dei batteri abbia distribuzione normale .

1. Scrivere qual é la distribuzione della media campionaria

2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;

3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99% e calcolarne la realizzazione.

ESERCIZIO 2

Il direttore di una fabbrica di carta vuole stimare lo spessore medio dei fogli prodotti.

Da un campione di 250 fogli scelti a caso tra la produzione, si ottiene un valore della media campionaria pari a 0.136 millimetri. La deviazione standard é nota e pari a 0.010 millimetri.

1. Calcolare la deviazione standard dello stimatore media campionaria .

2. scrivere qual é la distribuzione (approssimata) dello stimatore media campionaria;

3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e la sua realizzazione;

4. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99% e la sua realizzazione.

ESERCIZIO 3

L'altezza di una popolazione puo’ essere considerata una variabile casuale X con distribuzione normale avente deviazione standard nota e uguale a 6. Dalla popolazione viene scelto in modo casuale un campione di numerositá 10 la cui media empirica risulta 170.

1. Scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione;

2. supponendo ora la varianza non nota e stimata con s

=6, scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione .

ESERCIZIO 4

Un ricercatore vuole stimare qual e’ la percentuale di persone che prendono l'influenza: sulla base di un campione di numerosita’ 500, riscontra che 67 hanno preso l'influenza.

1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 90% e la sua realizzazione.

2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del

95% e la sua realizzazione.

ESERCIZIO 5

Un produttore di fili di rame per l'energia elettrica sa che i fili non devono avere restringimenti, altrimenti si possono provocare surriscaldamenti.

Supponendo che il diametro dei fili abbia distribuzione normale, si effettua un test sulla varianza al livello del 5% di

H0 : σ

= 0.1 contro H1 : σ

< 0.1.

Quindi il produttore sceglie un campione casuale di 16 fili e trova una varianza campionaria pari a 0.00865.

1. Determinare la regione di rifiuto.

2. Esplicitare la decisione.

ESERCIZIO 6

Una ditta che vende prodotti cosmetici ha lanciato una nuova linea. Intervistando 120 clienti, sa che 34 di questi non ha gradito i nuovi prodotti. Per stimare la proporzione p di clienti soddisfatti, vuole effettuare un test al livello

del 5% di

H

: p = 0.60 contro H

: p > 0.60

1. Determinare la regione di rifiuto.

2. Esplicitare la decisione.

ESERCIZIO 7

Il numero di lettere smistate giornalmente in un centro postale è modellabile con una variabile casuale con media µ non nota. Fino al 1994 la media giornaliera era di 14500 lettere. In 60 giorni del 2000 si sono osservati i valori campionari x = 15430 e s2 = 3545000 (rispettivamente media campionaria e

varianza campionaria).

Si vuole verificare mediante un test al livello dell'1% se la media µ è aumentata.

a) Esplicitare le ipotesi del test;

b) scrivere l'opportuna statistica test e la sua distribuzione sotto l'ipotesi principale;

c) determinare la regione di rifiuto;

d) esplicitare la decisione.