LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

(1)

(2)

Introduzione

Nel 2004 Hossein Reza Zadeh sollevò dal pavimento fin sopra la testa, a circa 2 m, un peso record di 263.5 kg.

Quanto lavoro ha fatto per sollevare tale peso?

Quanto lavoro ha fatto per tenerlo sollevato 5 secondi?

•  Il problema fondamentale della Dinamica è quello di determinare come si muove una particella note le forze agenti su di essa.

•  Oppure, se una parte del moto è nota (traiettoria) e sono note le forze attive agenti, determinare completamente il moto e le forze di vincolo.

•  Nel caso in cui le forze siano costanti o dipendenti dal tempo o dalla velocità, il problema si può risolvere analiticamente (in qualche caso) o numericamente.

•  Spesso le forze in Natura dipendono dalla posizione. I metodi analitici e numerici possono ancora essere applicati, tuttavia possono essere sviluppati metodi interessanti di soluzione basati sui concetti di lavoro ed energia

•  La generalizzazione del concetto di energia consente la formulazione di una legge di conservazione che gioca un ruolo fondamentale in tutta la Fisica.

(3)

LAVORO E ENERGIA I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE

LAVORO ED ENERGIA

(4)

LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

Forza costante che agisce su una particella nella stessa direzione del suo moto rettilineo

corsa delle carriole

F !

F!

s!

posizione iniziale posizione finale

definizione di lavoro della forza

L = F s

•  Forza costante che agisce su una particella in direzione diversa da quella del suo moto rettilineo

L = F cos ( ϕ ) ^s

componente di F nella direzione dello spostamento

(5)

LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

Se ϕ = 0 → L = F s > 0

Se ϕ < 90° → L = F cos ( ϕ ) ^{s > 0}

Se ϕ = 90° → L = F cos ( ϕ ) ^{s = 0}

Se ϕ > 90° → L = F cos ( ϕ ) ^{s < 0}

Se s = 0 → L = F cos ( ϕ ) ^{s = 0}

il lavoro può essere positivo, negativo o nullo

•  Se sulla particella agisce più di una forza, il lavoro di ciascuna forza dovrà essere calcolato separatamente

•  Il lavoro totale compiuto sarà la somma dei lavori compiuti da tutte le forze siano essi positivi, negativi o nulli.

•  Il sollevatore di pesi compie lavoro per sollevare il peso da terra mentre non compie lavoro per tenerlo sollevato (spostamento nullo) benché applichi una grande forza.

nessuno spostamento nessun lavoro

L = F cos ( ϕ ) ^s

(6)

LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

grande forza, lavoro nullo

la forza d’attrito radente compie lavoro

mg e N non

compiono lavoro

la tensione della fune non compie lavoro

(7)

LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE TRAMITE PRODOTTO SCALARE

L = F cos ( ϕ ) ^s

componente della forza in direzione dello spostamento

L = F s cos ( ϕ )

componente dello spostamento in direzione della forza

•  Utilizzando la definizione di prodotto scalare

L =  F ⋅ 

s

combinazione di due vettori quantità scalare

Lavoro e sistemi di riferimento

•  Il modulo e la direzione della forza agente non dipende dal sistema di riferimento dal quale si osserva il moto.

•  Lo spostamento s invece dipende dal sistema di riferimento

•  Due osservatori su sistemi di riferimento diversi concordano quindi sul valore della forza (allungamento di un dinamometro), ma non sul lavoro compiuto dalla forza stessa che può anche avere segni diversi.

(8)

LAVORO IN FISICA E LAVORO FISIOLOGICO

Lavoro positivo

Lavoro nullo

Lavoro negativo

•  La definizione di lavoro in fisica non corrisponde alla nozione fisiologica e sociale di lavoro

•  Una persona che tiene un grosso peso in mano dal punto di vista fisiologico compie un grosso lavoro

•  Da quello fisico non compie nessun lavoro, poiché la forza applicata al peso non produce nessuno spostamento

•  La spiegazione è che da un punto di vista microscopico il muscolo striato non è un supporto solido e non sostiene il peso staticamente

•  Piuttosto le sue fibre si contraggono e rilasciano a gruppi continuamente e ad ogni contrazione viene fatto del lavoro.

•  Perciò quando il sollevatore sostiene il peso la sua stanchezza aumenta perché produce del lavoro interno ai muscoli.

•  Un tavolo è invece un supporto statico che non si stanca e non ha bisogno né di alimenti né di riposo per poter sostenere a lungo un peso.

Unità di misura del lavoro L =  F ⋅

s →

[ ]

L ^{= F}

[ ] [ ]

^s ⁼ ^ML

2

T² = kg m²

s² = J joule

( )

(9)

ESEMPIO

Un blocco di massa m=11,7 kg è spinto lungo un piano inclinato e percorre una distanza s=4,65 m raggiungendo una altezza di 2,86 m. Supponendo l’attrito nullo, calcolare il lavoro necessario per spostare il corpo, se la forza applicata è parallela al piano e il blocco viene spinto a velocità costante.

Equazione di moto del blocco

F + m   g + 

N = m  a = 0

F − mgsin θ = 0 → F = mgsin θ

F = 11, 7kg

( ) ( ^{9,80 ms}

⁻²

) ^" ^{2,86 m} _{4, 65m}

# $ %

&

' = 70, 5N

L =  F ⋅ 

s = Fs cos0° = 70, 5N ( ) ( ^{4, 65m} ) ^{= 328J}

Se il blocco fosse sollevato verticalmente

L = m  g ⋅ 

h = mg h = 11, 7kg ( ) ( ^{9,80 ms}

⁻²

) ⁽ ^{2,86 m} ⁾ = (114.66 N)(2,86 m)328J

il piano inclinato permette di usare una forza minore su un

percorso maggiore

(10)

ESEMPIO

T!

g

m! F!

F!

Una corda, che scorre su una puleggia priva di massa e di attrito, sostiene un blocco di massa m. La carrucola è fissata al soffitto e si tira verso il basso il capo libero della corda. a) Qual è intensità della forza F che si deve applicare al capo libero della corda per sollevare il blocco?

Il blocco sale con velocità costante: a=0 T!+mg! =ma! =0 → T =mg

La corda devia solamente la direzione della forza F =mg

b) Quanto lavoro è fornito al blocco dalla corda nel sollevamento?

mgd Td

d T

L= !⋅ ! = =

dalla corda sul blocco

( )

^d ^Fd ^mgd

F

L= !⋅ − ! = =

dalla mano sulla corda

c) Un’altra sistemazione della carrucola è mostrata in figura. La carrucola mobile è tirata verso l’alto con una forza doppia della tensione T_L della corda. Qual è ora l’intensità della forza F?

La puleggia mobile sale con velocità costante ed ha massa trascurabile

L S

S S

L

L T T m a T T

T! + ! + ! = ! = 0 → = 2

La corda devia solamente la direzione della forza

2 2

mg

F =T^S = metà della forza precedente d) Di quando deve spostarsi verso il basso la mano per sollevare il blocco?

d

s 2= il doppio dello spostamento precedente e) Quanto lavoro è fornito al blocco dalla corda nel sollevamento?

mgd Td

d T

L= !⋅ ! = =

dalla corda sul blocco dalla mano sulla corda ^L⁼ ^m₂^g^! ^⋅

(

⁻²^d^!

)

⁼^mgd

(11)

LAVORO DI UNA FORZA VARIABILE: CASO UNIDIMENSIONALE

spostamento diviso in molti intervalli dx Forza considerata

costante in dx

migliore approssimazione al diminuire di dx

Valore esatto del lavoro area sotto la curva

•  Si suppone che la forza agisca in una sola dimensione (asse x) e che dipenda da x come F(x)

•  Calcolo del lavoro di F(x) nello spostamento del punto di applicazione della forza da x_i a x_f

Lavoro compiuto dalla forza (approssimato)

x_i → x_i +

δ

x

δ

L₁ ≅ F₁

δ

x x_i +

δ

x → x_i + 2

δ

x

δ

L₂ ≅ F₂

δ

x x_i + 2

δ

x → x_i + 3

δ

x

δ

L₃ ≅ F₃

δ

x

Lavoro totale da x_i ad x_f

L ≅ δ L

₁

+ δ L

₂

+ δ L

₃

+... =

= F

₁

δ x + F

₂

δ x + F

₃

δ x +...

L ≅ F_n

δ

x

n=1 N

∑

approssimato

•  L’approssimazione migliora all’aumentare del numero di intervalli e al diminuire di dx

•  Quando dx diventa infinitesimo “dx”, la sommatoria diventa un integrale

L = lim

δx→0 F_nδx = F x

( )

^dx

x₁ x₂

∫

n=1 N

∑

Somma

Integrale definito

area sottostante la curva definita da F(x)

(12)

LAVORO DI UNA FORZA ELASTICA

Forza F_s esercitata dalla molla Forza F_ext esterna

F_s= F_ext moto con a=0 posizione di

equilibrio F_s=0

FORZA ESERCITATA DALLA MOLLA

F _s = −k x

Legge di Hooke piccole deformazioni

k [N/m] costante elastica della

molla

Forza di richiamo x>0 allungamento F_s<0 x<0 compressione F_s>0

Supponiamo lenti i movimenti che deformano la molla

(13)

LAVORO DI UNA FORZA ELASTICA

Lavoro effettuato dalla molla nello spostamento da x_i a x_f

L

_s

= F

_s

( ) x ^{dx =}

x_i x_f

∫ ⁽ ^−kx ⁾ ^{dx =}

x_i x_f

∫ ⁺ ¹ ₂ ^kx

ⁱ²

⁻ ¹ ₂ ^kx

²^f

x

_i

> x

_f

→ L > 0 x

_f

> x

_i

→ L < 0

la molla fa lavoro positivo quando avvicina la particella all’equilibrio Lavoro effettuato dalla molla nello spostamento da x_i= 0 a x_f

L_s = F_s

( )

x ^{dx =}

x_i x_f

∫ ⁽

^−kx

⁾

^{dx =}

x_i x_f

∫

⁻ ¹₂^kx²^f lavoro negativo sia in

compressione che in estensione

Lavoro effettuato dall’agente esterno, spostamento da x_i= 0 a x_f

L

_ext

= + 1

2 kx

²_f

^F

^s

^{= −k x} F

_ext

= +k x

Il lavoro è dato dall’area sotto le rette

(14)

LAVORO DI UNA FORZA VARIABILE: CASO BIDIMENSIONALE

Forza variabile lungo la traiettoria

traiettoria nel piano piccoli spostamenti

posizione iniziale

posizione finale

Lavoro fatto dalla forza F lungo il trattino generico ds

δ L = 

F ⋅ δ s = F cos ^ ϕ δ ^s

Lavoro totale fatto dalla forza F lungo la traiettoria da “i” ad “f”

L =  F_n

n=1 N

∑

^⋅

^δ

^^sⁿ ⁼ ^Fⁿ

n=1 N

∑

^cos

^ϕ

ⁿ

^δ

^sⁿ

Quando l’intervallo ds diventa infinitesimo, N diviene infinito

L =  F ⋅ d 

s

i f

∫ ⁼ ^{F cos} ^ϕ ^ds

i f

∫

integrale di linea bisogna conoscere F e φ lungo la traiettoria

lungo la traiettoria

Espressione equivalente

L =  F ⋅ d 

s

f

∫ ⁼ ( ^F

^x

^{dx + F}

^y

^dy )

f

∫

si estende a tre dimensioni

F indica la forza esercitata in ciascuna posizione individuata dallo spostamento ds

(15)

ESEMPIO

Un oggetto di massa m è appeso ad un filo di lunghezza D. L’oggetto è spinto lateralmente da una forza F sempre orizzontale finché il filo non forma un angolo φ_m con la verticale. Lo spostamento è lento. Che lavoro fanno le forze?

Condizione di equilibrio

T +  

F + m 

g = 0

^{F − T sin}

^ϕ

^{= 0} T cos

ϕ

− mg = 0

"

#$

F = mg tan ϕ

Calcolo del lavoro effettuato dalla forza F L_P =

(

F_xdx + F_ydy

)

i f

∫

⁼ ^F^x^dx

i f

∫

⁼ ^{mg tanϕ dx}

0 ϕ_m

∫

Si esprime x in

funzione di φ x = Dsin

ϕ → dx = D cos ϕ

d

ϕ

L = mg tanϕ D cosϕdϕ

[ ]

0 ϕ_m

∫

= mgD sinϕ dϕ

0 ϕ_m

∫

⁼

= mgD −cosϕ

( )

^ϕ₀^m = mgD 1− cosϕ

(

_m

)

dalla figura si vede ^h=^D

(

¹−^cos

φ

m

)

→ ^LP =^mgh Calcolo del lavoro effettuato dalla forza peso mg L_g = m

g ⋅ d s =

i f

∫ (

^F^x^{dx + F}^y^dy

)

i f

∫

⁼ ⁽^−mg⁾^dy

0 h

∫

^{= −mg dy}

0 h

∫

^{= −mgh}

Il lavoro fatto dalla tensione del filo è nullo perché la

forza T è sempre ortogonale allo spostamento

L

_ris

= L

_P

+ L

_g

+ L

_T

= mgh − mgh = 0

L_P cancella L_g il lavoro è scalare

(16)

ESEMPIO

Il punto di applicazione della forza F=(ax²y)i+(2byx)j si muove lungo un arco di parabola di equazione y=3x². Calcolare il lavoro fatto dalla forza per andare dall’origine al punto sulla parabola di coordinata x=1.

L =

(

ax²3x²

)

0 1

∫

^{dx + 2bx3x}

(

²

) ^{( )}

^6x ^{dx =}

(

^3ax⁴ ^{+ 36bx}⁴

)

^dx

0 1

∫

Si introduce la traiettoria e si riconduce l’integrale alla sola variabile x

y = 3x

²

→ dy = 6x ( ) ^dx

L =

( 3a + 36b )

^x⁴^dx

0 1

∫ ^{= 3a + 36b} ⁽ ⁾

^x

5

5 "

# $ %

&

'

0 1

= ( 3a + 36b )

5

L = 

F ⋅ d s

i f

∫

⁼

(

^F^x^{dx + F}^y^dy

)

i f

∫

⁼

(

^ax²^y

)

^{dx + 2bxy}

⁽ ⁾

^dy

i f

∫

Integrale di linea lungo la traiettoria parabolica

(17)

ENERGIA CINETICA E TEOREMA LAVORO-ENERGIA

Una forza applicata ad una particella può, allo stesso tempo, compiere lavoro e modificare il moto della particella stessa

Esiste una relazione fra il lavoro effettuato da una o più forze applicate ad una particella e la variazione conseguente del suo moto

Questa analisi della relazione fra lavoro eseguito e moto porta a tre importanti conseguenze:

(1) Introduzione di una nuova grandezza detta Energia Cinetica (o di movimento);

(2) Dimostrazione dell’esistenza di un importante ed utile Teorema che collega la variazione di energia cinetica di una particella al lavoro eseguito su di essa dalla forze applicate;

(3) Introduzione dei presupposti di una fondamentale Legge di Conservazione, la Legge di Conservazione dell’Energia.

(18)

ENERGIA CINETICA E TEOREMA LAVORO-ENERGIA

Calcolo del lavoro fatto da una sistema di forze su una particella

F!1

F!2

F!3

F



_ris

= 

F₁

+ 

F₂

+ 

F₃

+....

L₁ =  F₁⋅ d

s

i f

∫

^{; L}² ⁼ ^F^² ^{⋅ d}^s^

i f

∫

^{; L}³ ⁼ ^F^³^{⋅ d}^s^

i f

∫

L

_ris

= L

₁

+ L

₂

+ L

₃

+....

Oppure in modo equivalente per una particella L_ris = 

F₁⋅ d s

i f

∫

⁺ ^F^²^{⋅ d}^s^

i f

∫

⁺ ^F^³^{⋅ d}^s^

i f

∫

^{+.... =}

(

^F^¹⁺^F^² ⁺^F^³ ^+...

)

^{⋅ d}^^{s =}

i f

∫

^F^^ris ^{⋅ d}^s^

i f

∫

vi v_f

xi x_f

F!ris

Calcolo dell’effetto sul moto per un moto rettilineo e una forza risultante costante L_ris

= F

_ris

(

x_f

− x

_i

) ^{= ma x} (

^f

^{− x}

ⁱ

)

v²_f

= v

_i²

+ 2a x (

_f

− x

_i

) ^{⇒ x} (

^f

^{− x}

ⁱ

) ⁼

^v^f

2

− v

_i²

2a L

_ris

= 1

2 mv

²_f

− 1

2 mv

_i²

; K = 1

2 mv

²

→ L

_ris

= K

_f

− K

_i

= ΔK

Energia Cinetica Teorema Lavoro-Energia

Il Lavoro fatto dalla risultante delle forze applicate ad una particella è uguale alla

variazione della sua Energia Cinetica

(19)

ENERGIA CINETICA

L’Energia Cinetica è una grandezza scalare non negativa

L’Energia Cinetica di una particella dipende dal sistema di riferimento dal quale il moto della particella viene osservato

Due osservatori in due diversi sistemi di riferimento osserveranno diversi valori del lavoro e diversi valori della Energia Cinetica. Tuttavia verificheranno entrambi la validità del Teorema Lavoro-Energia Se il modulo della velocità non cambia, l’Energia Cinetica non cambia e quindi la forza non fa lavoro. Una forza centripeta non fa lavoro.

L’Energia Cinetica è espressa in joule come il Lavoro e rappresenta la quantità di lavoro che il corpo può fornire in virtù del suo moto (o che bisogna fornire per arrestarlo).

Il Teorema Lavoro-Energia viene ottenuto grazie alla Seconda Legge del moto; non costituisce quindi una nuova legge indipendente della meccanica

Il Teorema risulta utile quando necessita una relazione diretta fra la forza agente, lo spostamento (oppure il lavoro compiuto) ed il modulo della velocità della particella.

Non fornisce invece informazioni circa la direzione della velocità ed il tempo nel quale avviene il fenomeno.

E’ il punto di partenza per la generalizzazione del concetto di energia e l’ottenimento prima del Teorema e poi della Legge generale di Conservazione dell’Energia

TEOREMA LAVORO-ENERGIA

(20)

DIMOSTRAZIONE GENERALE

DEL TEOREMA LAVORO-ENERGIA

Caso unidimensionale, forza variabile

F

_ris

= ma = m dv

dt = m dv dx

dx

dt = m dv dx v

Funzione di funzione v=v(x(t))

L

_ris

= F

_ris

x_i x_f

∫ ^{dx = mv} _dx ^dv

x_i x_f

∫ ^{dx = mv dv}

v_i v_f

∫

cambio di variabile

si integra in dv

L

_ris

= mv dv

v_i v_f

∫ ^{= m v dv}

v_i v_f

∫ ⁼ ¹ ₂ ^{m v} (

²^f

^{− v}

ⁱ²

)

L

_ris

= 1

2 mv

²_f

− 1

2 mv

_i²

= K

_f

− K

_i

= ΔK

Teorema Lavoro-Energia

http://www.animations.physics.unsw.edu.au/mechanics/chapter7_energyandpower.html

(21)

ESEMPI

Un corpo di massa m=4,5 kg viene lasciato cadere da fermo da un’altezza h=10,5 m rispetto alla superficie terrestre. Quanto vale il modulo della sua velocità prima di toccare il suolo?

mgh =

1

2

mv²

→ v = 2gh = 2 9,80 ms (

⁻²

) ⁽ ^{10, 5m} ⁾ ^{= 14, 3ms}

⁻¹

Un blocco di massa m=3,63 kg scivola su una tavola orizzontale priva di attrito con una velocità in modulo uguale a 1,22 ms^-1. Urta contro una molla che si comprime mentre il blocco si ferma. Se la costante elastica è k=135 N/m, di quanto viene compressa la molla?

−1

2kd² = −1

2mv₀² → d = v₀ m

k = 1, 22 ms

(

⁻¹

)

_135Nm^{3, 63kg}⁻¹ ^{= 0, 200 m}

L = m  g ⋅ 

s = mgh ^{ΔK =} ¹

2 mv

²

− 1

2 mv

₀²

= 1

2 mv

²

− 0

L = − 1

2 kd

²

^{ΔK =} ¹

2

mv²

− 1

2

mv₀²

= 0 − 1 2

mv₀² Teorema

Lavoro-Energia

(22)

ESEMPI

Una automobile di massa m che viaggia a velocità v=100 km/h frena improvvisamente fino a fermarsi. Se il coefficiente di attrito dei pneumatici con la strada è m=0,60 qual è la minima distanza di arresto?

Una persona di 70 kg, senza cintura di sicurezza, viaggia su una macchina a 50 km/h. La macchina subisce un urto frontale contro un ostacolo fermo. Calcolare la forza che la persona deve esercitare con le braccia per arrestare il corpo prima di collidere contro il parabrezza. Si consideri la flessione delle braccia 0,60 m.

−F

_attr

d = − µ mgd = 0 − 1

2 mv

₀²

→ µ mgd = 1 2 mv

₀²

la distanza aumenta con il quadrato di v d = v₀²

2µ g =

(

100 / 3, 6 ms⁻¹

)

²

2 0, 60

( ) (

^{9,80 ms}⁻²

)

^{= 65, 6 m}

−F

_media

d = 0 − 1

2 mv

₀²

→ F

_media

d = 1

2 mv

₀²

F

_media

= mv

₀²

2d = ( 70 kg ) ( 50 / 3, 6 ms

⁻¹

)

²

2 0, 60 m ( ) ≅ 11250 N = 1148kg

_f

Sistema tecnico Teorema

Lavoro-Energia

(23)

LIMITAZIONI DEL TEOREMA LAVORO-ENERGIA

Il Teorema Lavoro-Energia è stato ricavato tramite la Seconda Legge del Moto di Newton nella forma applicabile a particelle puntiformi.

E’ possibile applicarlo ad oggetti reali o a corpi solo se questi si comportano come particelle e l’unica forma di energia che possiedono è cinetica.

Se un corpo invece è un sistema complesso allora intervengono anche delle forze interne alle sue varie parti, sia macroscopiche che microscopiche, che compiono lavoro

Un’automobile che subisce un urto contro un muro e si accartoccia perde energia cinetica grazie alle forze interne alle sue varie parti e non grazie alle forze esercitate dal muro, che non compiono lavoro (il punto di applicazione di questa forza resta immobile).

Nell’uso del Teorema Lavoro-Energia con i sistemi complessi bisogna tenere conto

anche del lavoro delle forze interne del sistema.

(24)

LA POTENZA

Qualche volta è necessario non solo conoscere quanto lavoro è stato fatto da un sistema, ma anche con quale rapidità il lavoro viene compiuto.

Si definisce POTENZA MEDIA il rapporto fra il lavoro compiuto ed il tempo impiegato per compierlo.

P = L

Δt; "# $%=P

[ ]

L

[ ]

Δt ^{= ML}

2T⁻²T⁻¹ = ML²T⁻³ = J

s = W watt

( )

La POTENZA ISTANTANEA viene definita come:

P = dL dt

James Watt (1736-1819) grande realizzatore di

macchine a vapore Il lavoro può essere espresso in unità di potenza x tempo

L = PΔt; 1kWora = 1000W ( ) ( ^3600s ) ^{= 3, 6 ⋅10}

⁶

^J

La potenza applicata ad un corpo si può esprimere come forza risultante applicata per la velocità del corpo

LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

Introduzione

LAVORO ED ENERGIA