Due masse collegate da una carrucola su blocco spinto con una forza esterna
Figure 1:
Un blocco cubico di massa m1 `e appoggiato su un piano senza attrito e spinto da una forza orizzontale ~F . Sul blocco si trova un cubetto di massa m2 collegato, tramite un filo inestensibile senza massa ed una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, ad un altro cubetto m3 appeso lungo la faccia anteriore (rispetto al moto) del blocco (si veda il disegno in figura).
Determinare il modulo di ~F in modo che la massa m2 sia ferma rispetto al blocco.
Soluzione
Scriviamo le forze che agiscono sulle 3 masse, indicando con ~Fij la forza (di contatto) che la massa i esercita sulla massa j e con ~Ti la tensione che il filo esercita sulla massa i.
m1~a1= m1~g + ~R + ~F + ~F21+ ~F31 m2~a2= m2~g + ~T2+ ~F12
m3~a3= m3~g + ~T3+ ~F13
(1)
1
con i vincoli:
F~ij = − ~Fji (terzo principio della dinamica)
| ~T2| = | ~T3| ≡ T (filo senza massa)
~a2 = a2ˆex
~a3 = a3ˆex
a1 = ~a3· ˆex (componente x della accelerazione del corpo 3) a2− a1= −~a3· ˆey (filo inestensibile + verso degli assi)
(2)
Il sistema scritto in eq.1, per`o, non `e corretto!
Infatti, con riferimento alla figura 2 nella quale sono esplicitate le forze, nel sistema non appaiono le forze − ~T2e − ~T3che il filo esercita sulla carrucola Se immaginate la carrucola collegata al blocco con un dinamometro a molla,
`e intuitivo che il dinamometro si contrarr`a proprio a causa della risultante di queste forze di tensione trasmesse dal filo. La carrucola non ha massa, ma
`e collegata rigidamente al blocco e trasmette ad esso questa forza esterna.
Pertanto conviene considerare blocco e carrucola come un sistema unico e riscrivere il sistema 1 come segue:
m1~a1 = m1~g + ~R + ~F + ~F21+ ~F31− ~T2− ~T3 m2~a2 = m2~g + ~T2+ ~F12
m3~a3 = m3~g + ~T3+ ~F13
(3)
Proiettiamo adesso il sistema corretto, eq.3, lungo gli assi cartesiani, includendo i vincoli di eq.2. Consiglio di risolvere anche il sistema di eq.1 e controllare la differenza fra le due soluzioni, cercando di capire perch´e quella derivante dal sistema 1 non `e accettabile.
1x : m1a1 = F − F13− T 1y : 0 = R − m1g − F12− T 2x : m2a2 = T
2y : 0 = F12− m2g 3x : m3a1 = F13
3y : −m3(a2− a1) = −m3g + T
(4)
Abbiamo 7 veriabili, a1, a2, F, F13, T, R, F12 e 6 equazioni, `e quindi suf- ficiente una condizione iniziale per risolvere il problema. In questo caso specifico si chiede di determinare il valore di F per il quale m2 `e ferma rispetto al blocco, che si traduce in a1 = a2 ≡ a. Dalle equazioni 2x e 3y del sistema 4 si ricava:
a = m3
m2 · g (5)
Sostituendo T ottenuta dalla 2x e F13 da equazione 3x in 1x si ha:
F = (m1+ m2+ m3)a = g · m3(m1+ m2+ m3) m2
(6)
2
Figure 2:
3
