v(t )
v(t ) v(t )
1
2
3
F ds
lavoro infinitesimo : m
A
B
Lavoro da A a B :
unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio:
lavoro della forza d’attrito dinamico
A B
v
s Fattr
x
“Lavoro” compiuto da una forza :
A
B z
ds
mg
ds mg
lavoro indipendente dal cammino percorso:
(I) (III) (II)
W = W = W
AB AB AB
(I) (II) (III)
la forza peso é un esempio di “forza conservativa”
Lavoro della forza peso:
lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante
Unità di misura (S.I.) :
[P] = [W] / [t] = J / s W (“Watt”)
Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v , la potenza sviluppata dalla forza F è:
Potenza media:
lavoro compiuto in un tempo diviso il tempo impiegato Altre unità di misura di uso pratico:
Lavoro:
“chilowattora”
Potenza: “cavallo di potenza”
Potenza istantanea:
“Campo di forza”:
: è definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore,
ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le
componenti (ad es. cartesiane) di un vettore.
esempio:
campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto;
campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale
è soggetto quando si trova in quel punto
introduzione del concetto di “azione a distanza”
In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione
dei fenomeni fisici associati all’interazione (forza) che esso descrive.
Campo vettoriale
campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo:
per qualsiasi curva chiusa
r
F( r )
ds
o, equivalentemente:
per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi percorso
che li congiunge
1 2
A
B
1
2
Campo di forza conservativo:
“Energia cinetica” di un punto materiale di massa m e velocità v :
Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F
( dimensioni: )
vale il teorema dell’energia cinetica :
A
B vA
vB
F m
Energia cinetica
a a
aT
N
ds
s(t) A
B
Teorema dell’energia cinetica:
dalla legge di Newton:
a
x 0
condizioni iniziali:l
Integrando l’equazione del moto:
utilizzando il teorema dell’energia cinetica:
= 0 lavoro della forza peso
la reazione vincolare non compie lavoro
mg
Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito
Per un campo di forza conservativo, si definisce funzione dei punti dello spazio tale che la sua
differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso)
ossia:
l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria (al valore ad essa convenzionalmente
assegnato in un punto arbitrario)
F( r )
rA r
B
o
l’ “energia potenziale”:
Principio di conservazione dell’energia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forze
conservativo, l’energia meccanica è costante :
per due punti qualsiasi A,B della traiettoria : Infatti:
teorema dell’
energia cinetica
definizione di
energia potenziale
“Energia meccanica” di un corpo:
z
A mg B O
Il punto A può essere scelto nell’origine: A O
Posto :
ossia, per il generico punto P di coordinata z : [ ovvero, considerando il percorso OA:
Energia potenziale della forza peso:
nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso.
z
x v0
mg
v
h
[ dall’equazione del moto:
]
Esempio: conservazione dell’energia meccanica
“costante elastica”: [k] = N / m (il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per
deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo
tipo, detta “legge di Hooke”)
Lavoro:
Energia potenziale:
Scelto x 10. e posto
0.
x
Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica”:
In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , vale
energia potenziale
associata alle forze
conservative presenti lavoro compiuto dalle forze non
conservative
Infatti:
Esempio: moto lungo un piano scabro Fattr
mg z
0 l
l’equazione del “bilancio energetico”:
La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo:
può essere invertita, introducendo il concetto di data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z) ,
si definisce il “gradiente di V” il vettore , indicato con V, tale che per qualsiasi spostamento
infinitesimo dr risulti:
V dr
P
P’
“gradiente” di una funzione scalare:
(limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo
la direzione r ):
é massima (cos = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V
il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di
spostamento) della funzione V( r );
il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione;
il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V
superfici
a egual valori di V
V( r ) = V
V( r ) = V2 1
dr 1
dr 2
V
La “derivata direzionale”
in uno spazio bidimensionale
(per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.) V(x,y)
x y
100 300
y
x
V
V
V
400 200
Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y)
Dalla definizione:
Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) :
“derivate parziali”
Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane :
Per una funzione V( r ) = V(r,) :
Lo spostamento dr ha componenti polari:
=( r,P P’
=( r+dr,+d,+d
dr
r
x
y z
r sin
Dalla definzione di gradiente:
Rappresentazione del gradiente in coordinate polari:
Dalla definizione di energia potenziale:
Esempio:
dall’energia potenziale della forza peso
Forza : gradiente dell’energia potenziale
luogo dei punti dello spazio aventi la stessa
energia potenziale
costante
x
y
z ds Per uno spostamento
ds lungo la superficie, per definizione:
Il vettore è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto.
Esempio:
superfici equipotenziali della forza peso
mg
E = -mg = costante
x z
y
p
“Superficie equipotenziale”:
