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1 p f p B qq“ B X f p X q . Ă f p f p A qq ,f f p B q “ f p B q ,A `ć ˘ ` ˘ ć Sia f : X Ñ Y un’applicazione, A Ă X , B Ă Y . A Ă f p A q . č ´č ¯ A “ f p A q ,f ď ´ď ¯ B “ f p B q ,f č ´č ¯ f B “ f p B q ,f ď ´ď ¯ t B | j P J u unafamigliadisottinsiemidi

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Academic year: 2021

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(1)

1 Insiemi

Siano tA i | i P Iu e tB j | j P J u due famiglie di sottinsiemi di un insieme X.

- Se I “ ď

kPK

I k allora vale la propriet` a associativa ď

iPI

A i “ ď

kPK

ď

iPI

k

A i , č

iPI

A i “ č

jPJ

č

iPI

j

A i .

- Vale la propriet` a distributiva

´ď

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A i ¯ č´ď

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B j

¯

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pA i X B j q,

´č

iPI

A i ¯ ď´č

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B j

¯

“ č

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pA i Y B j q.

- Se A Ă X e Š

X pAq ` e il complementare di A in X allora ć

X

´ď

iPI

A i

¯

“ č

iPI

ć

X pA i q, ć

X

´č

iPI

A i

¯

“ ď

iPI

ć

X pA i q.

Sia f : X Ñ Y un’applicazione, tA i | i P Iu una famiglia di sottinsiemi di X, tB j | j P J u una famiglia di sottinsiemi di Y .

f ´1 ´ď

jPJ

B j

¯

“ ď

jPJ

f ´1 pB j q, f ´1 ´č

jPJ

B j

¯

“ č

jPJ

f ´1 pB j q, f ´ď

iPI

A i

¯

“ ď

iPI

f pA i q, f ´č

iPI

A i

¯

Ă č

iPI

f pA i q.

Sia f : X Ñ Y un’applicazione, A Ă X, B Ă Y . f ´1 `ć

Y pBq ˘

“ ć

X `f ´1 pBq˘, A Ă f ´1 pf pAqq, f pf ´1 pBqq “ B X f pXq.

1

(2)

Definizione 1.1 (Prodotto cartesiano). Sia tX i | i P Iu una famiglia di in- siemi. Il prodotto cartesiano degli insiemi X i ` e l’insieme

ź

iPI

X i “ tf : I Ñ ď

iPI

X i : f piq P X i , @ i P Iu.

Se I “ t1, 2, . . . , nu allora questa definizione si riduce all’usuale definizione X 1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ X n “ tpx 1 , . . . , x n q : x i P X i , i “ 1, . . . , nu.

Sia tA i | i P Iu una famiglia di sottinsiemi di un insieme X, tB j | j P J u una famiglia di sottinsiemi di un insieme Y .

´ď

iPI

A i

¯ ˆ

´ď

jPJ

B j

¯

“

ď

pi,jqPIˆJ

A i ˆ B j .

´č

iPI

A i

¯

ˆ ´č

jPJ

B j

¯

“ č

pi,jqPIˆJ

A i ˆ B j .

Sia tX i | i P Iu una famiglia di insiemi, A i e B i sottinsiemi di X i , per ogni i P I.

ź

iPI

A i X ź

iPI

B i “ ź

iPI

pA i X B i q.

ź

iPI

A i Y ź

iPI

B i Ă ź

iPI

pA i Y B i q.

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