Conseguenze del Teorema di Lagrange 1)Criterio di monotonia Sia f(x):[a,b]R, continua in [a,b], e derivabile in (a,b). Allora: f è crescente in [a,b]  f’(x) 0 x[a,b] f è decrescente in [a,b]  f’(x) 0 x[a,b] Dimostrazione. Sia e siano con . Per il Te

Conseguenze del Teorema di Lagrange

1) Criterio di monotonia

Sia f(x):[a,b]R, continua in [a,b], e derivabile in (a,b).

Allora:

f è crescente in [a,b]  f’(x) 0  x[a,b]

f è decrescente in [a,b]  f’(x) 0  x[a,b]

Dimostrazione.

Sia e siano con . Per il Teorema di Lagrange

0 )

( 

 x

f x₁,x₂[a,b]

x

x

0 x x

x 



) )(

( ) ( )

(x₂ f x₁ f x₀ x₂ x₁

f    

0

0 ) (

f x₀  e x₂ x₁  ma

) ( )

(x₂ f x₁

f 



Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia

Viceversa.

Sia crescente in . Allora

Facendo il limite per si ha )

(x

f [ ba, ]

ha si b a h x

x,  ( , ),



) 0 ( )

(   

h

x f h x f

0 )

( 

 x f

0 h

Analoga dimostrazione per

f è decrescente in [a,b]  f’(x) 0  x[a,b]

Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia

f è decrescente in [a,b]  f’(x) 0  x[a,b]

Analoga dimostrazione per

Si ha inoltre

strettamente crescente

strettamente decrescente



(x)0 f



(x)0 f

Conseguenze del Teorema di Lagrange, Criterio di monotonia

2) Sia f(x):[a,b]R, derivabile in (a,b).

f è costante  f ’(x) = 0  x(a,b)

3) Sia x₀ (a,b) e

Se esiste un intorno destro (sinistro), in cui

e un intorno sinistro (destro) in cui , allora x₀ è un punto di minimo (massimo) relativo.

Conseguenze del Teorema di Lagrange

0 ) ( ₀ 

 x f

0 )

( 



x f

( 

 x f

- +

x₀ f

f’

+ -

x₀ f

f’

x

minimo relativo x

massimo relativo

Esercizio

Determinare i punti di massimo o di minimo relativo per la funzione f(x)x³12x

Esercizio

Determinare un intervallo in cui è crescente

x x x

f 2 cos

cos ) 2

( 

 

Teorema di Cauchy

Siano

i) f e g sono continue in [a,b];

ii) f e g sono derivabili in (a,b).

Allora se g(x)0, x(a,b),

) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

0 0

a g b g

a f b f x g

x f



 





: ]

, [ :

,g a b R

f 

: ) ,

0 (a b

x 



Teorema di Cauchy Dimostrazione.

Si consideri la funzione ausiliaria

Essendo

), , (

, 0 )

(x x a b

g   



 



 



 ( ( ) ( ))

) ( ) (

) ( ) ) (

( )

( )

(

g x g a

a g b g

a f b a f

f x

f

 x

).

( ) (

g b g a

allora

Teorema di Cauchy

Inoltre

i) è continua in [a,b];

ii) è derivabile in (a,b);

iii) )





) ( )

(

a  b



0 ) ( : ) ,

( ₀

0  



 x a b  x cioè

) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

0 0

a g b g

a f b f x g

x f



 





Teorema di de l’Hopital

Siano f(x), g(x) derivabili in [a,b]-x₀:

0 ) ( )

(

lim

lim

0 0









x g x

f

x x x

x











) ( )

(

lim

lim

0 0

x g x

f

x x x

x

Se esiste il limite

oppure



 '( ) ) (

lim

0 g x

x f

x x

finito o infinito

Allora

) ( '

) ( ' )

( )

(

lim

lim

0

0 g x

x f x

g x f

x x x

x 



Il teorema è valido anche per x x₀⁺ o x x₀^- , e per x  (f e g derivabili in intervalli illimitati )

Esercizio

Calcolare il limite 0 ³

limsin x

x x

x





Esercizio

Calcolare il limite

 

) 1 ln(

1

limln ₂

x x

x 







Esercizio

Calcolare il limite x x

x ln

lim

0^



Funzioni convesse e concave

a b

Funzione convessa

epigrafico

O

Definizione

Sia , si chiama epigrafico (o sopragrafico) di f l’insieme





b a x

f( ):[ , ]

epi f:=

f è convessa in [a,b] se il suo epigrafico è un insieme convesso

] 1 , 0 [ ], , [ , ), ( ) ( ) 1 ( ) ) 1

(( t x1tx2  t f x1 tf x2 x1x2ab t f

x₁ x₂

Funzioni convesse e concave

a b

Funzione concava epigrafico

O

Analogamente:

f è concava in [a,b] se il suo epigrafico è un insieme concavo

] 1 , 0 [ ], , [ , ), ( ) ( ) 1 ( ) ) 1

(( t x1tx2  t f x1 tf x2 x1 x2ab t f

x₁ x₂

Funzioni convesse e concave

a b

Funzione convessa

epigrafico

O

Definizione

Sia f(x) derivabile in [a,b],

f è convessa in [a,b] f⁽x⁾ f⁽x0⁾ f⁽x0⁾⁽xx0^), x^,x0^[a^,b^] Cioè ∀x il grafico di f sta al di sopra della retta tangente

Funzioni convesse e concave

a b

Funzione concava

O

Definizione

Sia f(x) derivabile in [a,b],

f è concava in [a,b] f⁽x⁾ f⁽x0⁾ f⁽x0⁾⁽xx0^), x^,x0^[a^,b^] Cioè ∀x₀ il grafico di f sta al di sotto della retta tangente ad f(x) in (x₀,f(x₀))

Derivata seconda

La derivata seconda di una funzione f(x) rappresenta la velocità di variazione della pendenza del grafico di f(x)

. R

R ) 1 0

( 

f  Curvatura del grafico di f(x) in x=0

Criterio di convessità Sia f:[a,b]→R,

a) Se f è derivabile in (a,b) allora

) (

) ( )

(concava f x ècrescente decrescente convessa

è

f  

) , ( ), 0 ) ( ( 0 ) ( )

(concava f x f x x a b

convessa è

f       

b) Se f è derivabile due volte in (a,b) allora

Utilizzando il segno di si può stabilire se x₀ è un punto di massimo o un punto di minimo relativo per f(x)

) (x f 

Sia f(x) derivabile due volte con derivata continua in un intorno di x₀∊(a,b):

se

se

relativo minimo

di punto è

x x

f x

f( ₀)0, ( ₀)0 ₀

relativo o

assim m di punto è

x x

f x

f( ₀)0, ( ₀)0 ₀

Infatti, supponiamo che con

Per il Teorema della permanenza del segno: in è convessa in I:

0 ) ( , 0 )

( ₀   ₀ 

 x f x f

.

)

(x continua f 

0 )

( 

 x

f

I

x



Ma

cioè x₀ è di minimo relativo per f.

) ,

( , ), ( ) ( , 0 )

( ₀    ₀  ₀ ₀  ₀ 

 x f x f x x x x x

f

Criterio per i punti di massimo e di minimo relativo

Sia f:(a,b)→R, derivabile n volte in x₀ ∊ (a,b), n ≥ 2, e tale che in x₀ tutte le derivate tranne l’n-esima siano nulle. Allora:

( ) 0

0 ) (

0 0

(n)

0 0

(n)









relativo massimo

di è x x

f

ativo minimo rel di

è x x

e f pari n

se

Se n è dispari x₀ non è punto di estremo (si dice flesso a tangente orizzontale.

Definizione.

Sia f:(a,b)→R e x₀ ∊ (a,b) un punto di derivabilità per f(x) oppure

x₀ si dice di flesso se esiste un intorno destro di x₀ in cui f è convessa (concava) ed un intorno sinistro in cui f è

concava (convessa) . .

) ( ₀ 

 x f

Se x₀ è di flesso per f , ed esiste allora f (x₀),

0 ) ( ₀ 

 x f

Esercizio

Calcolare i punti di estremo e i punti di flesso della funzione f(x)=x³ + 2x

Studio del grafico di f(x)

1) Dominio di f(x), intersezioni con gli assi cartesiani, 2) Simmetrie;

3) Limiti agli estremi del dominio (eventuali asintoti) 4) Studio della derivata prima (crescenza, decrescenza,

punti di estremo locale)

5) Studio della derivata seconda: Concavità e convessità, flessi

Studio del grafico di f(x), Asintoti

Se esiste una retta di equazione y=mx+q:

Allora y=mx +q si definisce asintoto obliquo per f(x).

Si ha





lim   



 f x mx q

x

); lim (

x x m f

x

 q f x mx

x 

lim ( )

Studio del grafico di f(x), Asintoti

Se si chiama asintoto orizzontale

Se l’asintoto orizzontale non c’è (il limite sopra è infinito) allora potrebbe esserci quello obliquo.

Se si chiama asintoto verticale

con x₀ punto di accumulazione per f l

y l

x

x f  



 ( ) , lim

0

, ) ( lim

0

x x x

x f

x  



Esercizio

Si disegni il grafico della funzione ₂

3

) 1 ( ) 2

( x

x x

f  

Esercizio

Si disegni il grafico della funzione f(x)xe^x