© 2012 Cristian Lucisano Editore • LE BASI DI FISICA - Aldo Marinoni
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Velocità istantanea
s0
v0Δ t 1
2Δ V(t−t0) v
v0
t0 t
Se consideriamo un’automobile che percorre un determinato tragitto da una città ad un’altra, conoscendo la di- stanza tra le due città e il tempo che l’automobile ha impiegato per raggiungere la destinazione è facile calcolare la velocità media defi nita dal rapporto tra lunghezza del tracciato e tempo impiegato a coprirlo
(spazio percorso
tempo impiegato) .
La misura così ottenuta, però, altro non è che un valore che raramente coincide esattamente con le velocità esatte tenute dall’auto durante il viaggio. Per conoscere cioè la velocità istantanea reale in un determinato momento del viaggio avremo bisogno di un dispositivo cronotachigrafi co in grado di registrare istante per istante la velocità dell’automobile.
La velocità istantanea di un’auto guidata da un essere umano è governata da leggi troppo caotiche per poter essere predetta matematicamente; esistono situazioni, tuttavia, nelle quali la misura della velocità istantanea è calcolabile.
Il caso più semplice è quello del moto rettilineo uniforme , in quanto velocità media e velocità istantanea coincidono.
Nel caso poi del moto uniformemente accelerato cui è sottoposto, ad esempio, un oggetto in caduta libera (senza con- siderare gli attriti dell’aria per basse velocità),come sperimentato da Galileo: lo spazio percorso aumenta in funzione del quadrato del tempo trascorso nella caduta e la velocità in modo lineare rispetto ad esso.
g≈9,81 m s2
g è la misura dell’accelerazione di gravità m lo spazio espresso in metri
s il tempo espresso in secondi
In quest’ultimo caso se misuriamo lo spazio percorso dal grave in caduta libera al trascorrere dei secondi e ci poniamo il problema di calcolarne la velocità istantanea ad un determinato istante, possiamo pensare alla velocità istantanea nel dato istante come alla velocità media tra l’istante t in questione e l’istante t+dt prendendo dt via via sempre più piccolo in modo che la velocità media così calcolata si avvicini sempre di più alla velocità istantanea al tempo t al tendere di dt a 0.
Come mostrato dal grafi co che ha in ascissa il tempo e in ordinata la velocità del corpo soggetto al moto
accelerato, l’area sottesa dalla linea retta che descrive la velocità nell’intervallo di tempo è la misura dello spazio percorso dall’oggetto in moto accelerato durante il tempo.
La posizione dell’oggetto è data dalla posizione iniziale x0 più la velocità iniziale v0 per l’intervallo di tempo trascorso più ½ della velocità fi nale V per l’intervallo di tempo stesso:
s
=s
0+ v
0(t−t
0)+ 1
2 (v−v
0)(t−t
0)
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Velocità istantanea
v0t 1 2ΔV(t) v
v0
t
consideriamo per semplicità che la posizione iniziale coincida con 0 al tempo 0, avremo:
s s
it
i tp
1p
2dt ds
s
= v
0t+1
2
vt (area del triangolo rettangolo che ha per cateti (v−v0) con v0=0 e (t−t0) . Si consideri che l’accelerazione è descritta:a=v
t quindi v= at
e sostituiamo la velocità nell’equazione dello spazio con l’equivalente at di v per s0=0
s
= v
0t+ 1 2
at2si ottiene in questo modo lo spazio percorso in funzione del tempo e dell’accelerazione conosciuta.
A questo punto conosciuto il valore della posizione in funzione dell’accelerazione nota, è possibile considerare due punti della traiettoria dell’oggetto separati da un intervallo di tempo breve dt e calcolare la velocità media dell’oggetto nel tratto di spazio tra i due punti in questione.
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Velocità istantanea
Se calcoliamo la velocità media tra due punti ad intervalli di tempo via via sempre più vicini, al tendere di dt a zero otterremo una velocità che potrà essere considerata la velocità istantanea in quel punto.
Questa velocità, a ben vedere, rappresenta il coeffi ciente angolare della retta che descrive la variazione dello spazio rispetto al tempo passante per il punto avente per ascissa il valore di ti .
L’equazione della velocità istantanea nel moto di un corpo in caduta libera che ne deriva considerando la velocità iniziale diversa da 0 si esprime in valore assoluto come:
v
= v
0+ g t
s si
ti t
p1 p2
dt ds
