La bicicletta è un mezzo di trasporto molto diffuso: figlia dei velocipedi dell’Ottocento, ha subito nel tempo molteplici evoluzioni fino ad arrivare
all’aggiunta, negli anni Duemila, di un motore a supporto dell’azione umana per alcuni modelli.
Qual è la velocità massima che può raggiungere una bicicletta “a pedalata assistita”?
7
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La veLocità
1
iL punto materiaLe in movimento
Una nave da crociera, con le migliaia di persone che trasporta, è un sistema complesso in cui non tutto si muove nello stesso modo.
■
La Celebrity Equinox è lunga 317 m;ha 19 ponti e 4 motori. La nave occupa spazio e all’interno ha molto movi- mento, di persone e parti meccaniche.
■
In certi casi, però, non ci interessa ciò che si muove a bordo: per monito- rare la rotta basta rappresentare la nave come un punto che si sposta su una mappa.La nave è lunga, ma le distanze attraverso cui si sposta durante i suoi viaggi sono molto più lunghe: in base a ciò, per descrivere il suo moto d’insieme e trascurare i movimenti delle sue parti, la sostituiamo con un punto. Questo modello prende il nome di punto materiale.
Il moto di un oggetto può essere studiato mediante il modello del punto materiale quando l’oggetto è sufficientemente piccolo rispetto alla distanza che percorre e all’ambiente in cui è inserito.
Così, un treno di 500 m può essere rappresentato come un punto materiale, perché la sua lunghezza è molto minore della distanza tra due stazioni misurata lungo i binari (92 km tra Bologna e Firenze, per esempio). Allo stesso modo, in astronomia, la Terra e il Sole possono essere considerati punti materiali, perché i loro diametri (rispettivamente
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La Giudecca
Aeroporto di Venezia Lido Ven ezia -Lussimpiccolo
Venezia - Pirano VeneziaIgou m enitsa
Ven ezia
Igoum en
itsa
Leggi la risposta nelle Risorse digitali
di 1,27 × 107 m e 1,39 × 109 m) sono molto più piccoli della reciproca distanza (1,50 × 1011 m).
Invece il modello del punto materiale non è appropriato per descrivere, per esempio, il battito delle ali di un colibrì che resta sospeso in aria a succhiare nettare. Per quanto picco- le, le ali non possono essere considerate pun- tiformi, perché si muovono su una distanza paragonabile alla loro lunghezza. Inoltre, esse non hanno un moto di insieme: percorrono la distanza maggiore con la punta, distanze via via minori con le parti più vicine al torace e restano ferme all’attaccatura.
La traiettoria
Le tracce degli snowboard sulla neve registrano i punti attraverso cui sono passati gli sciatori, cioè le loro traiettorie. Ogni sciatore percorre una distanza molto lunga in con- fronto alle proprie dimensioni; perciò può essere rappresentato come un punto materia- le e la sua traiettoria può essere descritta da una curva geometrica.
Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un pun- to materiale in movimento.
2
i sistemi di riferimento
Durante una gara di canottaggio due barche procedono, per un certo tempo, appaiate.
Dalle sponde del campo di regata si osserva che le barche si muovono insieme verso il tra- guardo lungo una traiettoria rettilinea. Però ciascuna rematrice, guardando di lato, vede la barca avversaria ferma accanto a sé; inoltre, vede gli spettatori sulla riva muoversi all’in- dietro.
Entrambe le descrizioni del moto sono corrette e nessuna delle due è più «vera».
La descrizione del moto è sempre relativa, cioè dipende dal sistema di riferimento da cui si osserva l’oggetto in movimento.
Per descrivere con precisione il movimento di un corpo è necessario esprimere le sue proprietà sotto forma di numeri.
Nel canottaggio olimpico, per seguire le posizioni delle barche si sfrutta la rete di satel- liti del GPS (Global Positioning System). Un dispositivo di localizzazione montato su ciascuna barca riceve, istante per istante, le coordinate rilevate dai satelliti e le invia ai computer dei giudici di gara. Queste informazioni vengono utilizzate, per esempio, per registrare automaticamente i tempi intermedi e finali, ed elaborare la grafica televisiva
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aL voLo La Terra come punTo maTeriaLe:
Quando sì e Quando no
▶ È opportuno consi- derare la Terra come un punto materiale, se si vuole descrivere la rotazione che ogni giorno essa com- pie attorno all’asse passante per i poli? E se si vuole descrivere la sua rivoluzione annuale attorno al Sole?
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aL voLo iL moTo è
reLaTivo (e Lo è anche La QuieTe)
▶ Mentre leggi questo libro, ti sposti rispet- to alla tua sedia? E rispetto al Sole?
delle trasmissioni in diretta (fIgurA 1).
il sistema di riferimento cartesiano
Per studiare il moto di un punto materiale possiamo servirci di un sistema di riferimento cartesiano (fIgurA 2). In fisica,
un sistema di riferimento cartesiano nel piano è costituito da:
■
due assi cartesiani, cioè due rette orientate (su cui è definito un verso, indicato da una freccia) e perpendicolari tra loro;■
un metro per misurare le distanze;■
un cronometro per misurare il tempo.Il punto O in cui i due assi si intersecano è chiamato origine degli assi.
Dopo che su entrambi gli assi è stata stabilita un’unità di misura, un punto P del piano è individuato da due numeri, detti coordinate del punto (fIgurA 3). La coordinata lungo l’as- se x è detta ascissa e quella lungo l’asse y è detta ordinata: esse si determinano misurando le distanze tra l’origine O e i punti Px e Py, proiezioni di P sui due assi.
y
x 1 metro
Q (–4 m; 3 m)
P (4 m; 5 m)
3 m 5 m Py
Qy
Qx Px
1 m 4 m
–4 m
1 m O
Per studiare un moto nello spazio una coppia di assi non basta più: in tal caso, bisogna utilizzare una terna di assi cartesiani perpendicolari, su cui un punto P è individuato da tre coordinate.
3
iL moto rettiLineo
Iniziamo lo studio dei moti esaminando la traiettoria più semplice: quella contenuta in una retta.
Si chiama moto rettilineo il moto di un punto materiale la cui traiettoria è un seg- mento di retta.
Nel moto rettilineo il sistema di riferimento è costituito da un solo asse cartesiano s, che
fIgurA 1 La grafica televisiva mostra
i rilievi cronometrici intermedi specificando la posizione e il tempo.
L’immagine ci dice dove si trovano le imbarcazioni e quando.
y
O x fIgurA 2
In un sistema di riferimento cartesiano nel piano vi sono due assi, x e y, e gli strumenti per misurare le distanze e il tempo.
fIgurA 3 Le coordinate di P sono x = 4 m e y = 5 m; quelle di Q sono x = –4 m e y = 3 m.
La coordinata x del punto Q è negativa perché la proiezione Qx di questo punto cade a sinistra dell’origine O, cioè nel semiasse x negativo.
coincide con la traiettoria. Su tale asse scegliamo un punto origine, un’unità di misura e un verso. In questo modo, a ogni punto della traiettoria corrisponde un’ascissa (fIgurA 4).
La posizione e l’istante di tempo
Esaminiamo, per esempio, il moto di un’automobile lungo una pista rettilinea. L’au- tomobile è molto più piccola della lunghezza della pista: per questa ragione possiamo trattarla come un punto materiale.
La posizione dell’automobile è data dalla sua ascissa s; l’istante di tempo t è il valore indicato dall’orologio quando l’automobile è nella posizione di ascissa s (fIgurA 5). Per descrivere il moto rettilineo occorre fissare una «posizione zero», cioè l’origine O dell’asse s, e un «istante zero», a partire dal quale si inizia a misurare il tempo.
La scelta della posizione zero e quella dell’istante zero sono arbitrarie e indipendenti tra loro. Tuttavia, se si descrive il movimento di un solo punto materiale, spesso conviene porre lo zero del tempo nell’istante in cui il punto materiale si trova in O. Per esempio, se un’automobile percorre un’autostrada, si può porre O in corrispondenza del casello di ingresso e misurare il tempo dall’istante in cui l’automobile varca il casello.
L’intervallo di tempo e lo spostamento
Dati un istante t1 e un istante t2 successivo, si dice intervallo di tempo ∆t («delta ti»), o durata, la differenza tra i due istanti:
. t t t
∆ = 2–1 [1]
La lettera greca Δ («delta» maiuscola), posta davanti a qualunque grandezza fisica (in questo caso davanti al tempo t), si usa sempre per indicare la variazione della grandezza tra due stati fissati, cioè la differenza tra il suo valore nello stato finale e il suo valore nello stato iniziale.
Se all’istante t1 l’automobile è in una posizione di ascissa s1 e all’istante t2 è in una posizione di ascissa s2, il suo spostamento ∆s («delta esse») nell’intervallo di tempo
∆t è definito come la differenza tra le due ascisse:
.
s s s
∆ = 2–1 [2]
fIgurA 4
L’ascissa del punto P è s = 3 m; quella del punto Q è s = –2 m.
1 metro 3 m Qy
Q P
–2 m O 1 m s
fIgurA 5 All’istante t = 2 s l’automobile è nella posizione di ascissa s = 30 m.
0
t = 2 s
s= 30 m
aL voLo
secondi passaTi a scuoLa
▶ Quanti secondi è durato l’intervallo di tempo tra il suono della campanella di inizio lezioni e quello della campanella di uscita, lo scor- so lunedì nella tua classe?
intervallo di tempo (s)
secondo istante (s)
primo istante (s)
spostamento (m) prima ascissa (m)
seconda ascissa (m)
Nell’esempio della fIgurA 6 lo spostamento coincide con la distanza percorsa dall’automo- bile dall’istante t1 all’istante t2 .
0
t1= 2 s
s1= 30 m s2= 90 m
t2 = 5 s t = t2 – t1 = 3 s
s = s2 – s1 = 60 m
Se a un certo istante l’automobile fa inversione di marcia, da allora comincia a muo- versi nel verso opposto a quello fissato lungo l’asse s. Si osserva, in tal caso, che l’ascissa dell’automobile diminuisce nel tempo e passa da un valore s3 maggiore, in corrispon- denza di un istante t3, a un valore s4 minore, in corrispondenza di un istante successivo t4. Pertanto, lo spostamento ∆s = s4 – s3 è negativo e la distanza percorsa dall’automobile tra gli istanti t3 e t4 è uguale al valore assoluto di ∆s (fIgurA 7).
Δt = t4 – t3 = 2 s
Δs = s4 – s3 = –40 m
|Δs| = 40 m s4= 50 m
t4= 8 s t3= 6 s
s3= 90 m
4
La veLocità media
La maratona non si corre su un rettilineo, ma su strade che curvano. Ciò nonostante, poiché il percorso è fissato, per descrivere come varia la posizione di un atleta al passa- re del tempo è sufficiente fissare un’origine (la linea di partenza) e misurare la distan- za lungo il percorso fino all’arrivo; in altri termini, per dire quanta strada ha fatto un corridore e quanta gliene resta da fare basta un’ascissa.
In questo caso (e nei casi simili in cui il moto si svolge su una traiettoria obbligata, come una strada, una ferrovia ecc.) si può usare una descrizione unidimensionale, cioè rappre- sentare la posizione del punto materiale in movimento servendosi di un solo asse, come se il moto fosse rettilineo.
fIgurA 6 Nell’intervallo di tempo
∆t = t2 – t1 = 5 s – 2 s = 3 s l’automobile compie lo spostamento
∆s = s2 – s1 =90 m – 30 m = 60 m.
Anche la distanza percorsa è uguale a 60 m.
fIgurA 7 Tra gli istanti t3 e t4
l’automobile compie lo spostamento negativo
∆s = s4 – s3 =
= 50 m – 90 m = –40 m.
La distanza percorsa è uguale a 40 m.
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AnimAzione La velocità nel moto rettilineo uniforme
Tra i partecipanti alla maratona di New York, tutti gli atleti che completano la corsa percorrono la stessa distanza di 42,2 km.
■
Il vincitore dell’edizione 2013 ha concluso la gara in 2 h, 8 min e 23 s (2,14 h), cioè ha percorso, in media, quasi venti kilometri ogni ora. Infatti,2, 14 h 42, 2 km
= 19,7 km/h.
■
In molti, poi, sono arrivati al tra- guardo allo scadere della quarta ora.Questi corridori hanno percorso una media di circa dieci kilometri all’ora:
4 h 42, 2 km
≈ 10 km/h.
aL voLo iL
conTachiLomeTri
▶ Se all’inizio di un viaggio il contachi- lometri della tua automobile segna 40 075 km e dopo mezz’ora ne segna 40 120, a quanti kilometri all’ora hai viaggiato?
[90 km/h]
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Le persone che hanno corso la maratona in quattro ore hanno avuto, durante la gara, una velocità circa uguale alla metà di quella del vincitore, che ha impiegato la metà del tempo per spostarsi della stessa distanza: la velocità è una grandezza che mette in rela- zione lo spostamento e l’intervallo di tempo.
Si definisce la velocitˆ media di un punto materiale come il rapporto tra lo sposta- mento compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:
.
v t
s
m= DD
[3]
Le dimensioni fisiche e l’unità di misura della velocità
Poiché ∆s ha le dimensioni fisiche della lunghezza, [l], e ∆t ha le dimensioni fisiche del tempo, [t], dalla definizione [3] si vede che le dimensioni della velocità sono il rapporto tra quelle della lunghezza e quelle del tempo. In simboli,
[v] = t 1 66
@@
= [l t–1].
Nel Sistema Internazionale l’unità di lunghezza è il metro e l’unità di tempo è il secondo:
di conseguenza,
la velocità si misura in metri al secondo (m/s).
aL voLo La veLociTà media è maggiore se…
▶ A parità di distanza percorsa e di orario di arrivo, ha tenuto la velocità media maggiore un viag- giatore che è partito prima e ha fatto una sosta, o uno che è partito dopo e non si è mai fermato? La tua risposta dipende dalla durata della sosta del primo viag- giatore?
velocità media (m/s) spostamento (m)
intervallo di tempo (s)
L’equivalenza tra km/h e m/s
Nella vita quotidiana, più che l’unità del SI (m/s), per misurare la velocità si utilizza il kilometro all’ora (km/h). Per passare da una di queste unità all’altra, basta osservare che 1 km = 1000 m e che 1 h = 3600 s. Così, si trova
1 hkm
1 h 1 km
3600 s 100 m
3, 6 1
s m.
= = =
Quindi:
■
per esprimere in m/s una velocità data in km/h bisogna dividere il valore della velocità per 3,6, poiché1 hkm ; 3, 61
s
= m
[4]
■
per esprimere in km/h una velocità data in m/s bisogna moltiplicare il valore della ve- locità per 3,6, poiché1 sm .
3, 6 hkm
= [5]
velocità media e verso del moto
Sostituendo a Δs e Δt le loro espressioni (formule [1] e [2]), si può esprimere la velocità media anche come
vm = t t
s s
2 1
2 1
--
. [6]
Da questa equazione si vede che la velocità media fornisce informazioni non solo sulla rapidità con cui un punto materiale si muove rispetto all’asse di riferimento, ma anche sul verso del suo moto. Infatti:
■
se un’automobile viaggia nello stes- so verso che è stato fissato sull’asse, il suo spostamento è positivo, cioè s2 – s1 > 0, e dunque, poiché t2 – t1 > 0, si ha vm > 0;■
però, dopo che il conducente ha in- vertito la marcia, lo spostamento espresso in relazione allo stesso asse diventa negativo (s2 – s1 < 0) e dunque vm < 0.La velocità media è positiva se lo spostamento del punto materiale è positivo, nega- tiva se lo spostamento è negativo.
aL voLo correnTi a geTTo
▶ Le correnti a getto sono venti che spi- rano ad alta quota, sfruttati dagli aerei nei voli interconti- nentali per aumen- tare la velocità e risparmiare carbu- rante. Esse raggiun- gono ordinariamente velocità superiori ai 44 m/s. Esprimi que- sto valore in km/h.
aL voLo andaTa e riTorno
▶ Un treno parte da Fiumicino Aeroporto alle 12:08 e arriva a Roma Termini in 32 min, percorren- do 31 km. Qual è la sua velocità media durante il viaggio?
[16 m/s]
▶ Lo stesso treno riparte da Roma Ter- mini dopo una sosta e torna a Fiumicino Aeroporto alle 13:22.
Qual è la sua velocità media nell’intervallo di tempo compre- so tra le 12:08 e le 13:22?
s1 s2
s = 0 o
s1 s2
s = 0 o
velocità su un percorso chiuso
Quando il punto iniziale del moto coincide con il punto finale, lo spostamento effettua- to è nullo e quindi la velocità media sul percorso è uguale a 0 m/s.
Così, una nuotatrice che gareggia sui 100 metri stile libero, in una vasca che è lunga 50 m, può uscire dall’acqua e trovare lì l’asciugamano che aveva lasciato prima della gara, perché è ritornata al punto di partenza.
Nella logica sportiva, però, si considera la vasca di ritorno come un prolungamento di quella di andata. A parte la necessità di una virata, è come se la vasca fosse lunga 100 me- tri. Oppure è come se l’atleta portasse con sé un contakilometri che segnala una distanza percorsa di 100 m. E così, in questo caso, si ottiene una velocità media «sportiva» che si calcola come la distanza totale percorsa divisa per il tempo impiegato; è la stessa «velo- cità sportiva» che si considera nelle altre gare, per esempio nella maratona di New York.
Entrambi i calcoli sono logici e corretti, si tratta solo di avere chiaro qual è la grandezza che si vuole calcolare. Però, in un moto su un percorso chiuso, il valore 0 m/s esprime la velocità media della nuotatrice secondo la definizione che si usa in fisica.
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L’aLLenamento di atLetica
Carlo si sta allenando per i campionati provinciali di atletica ed esegue uno scatto di 30,0 m in 6,00 secondi, poi si ferma e torna indietro camminando fno alla partenza in 40,0 secondi. Prendiamo come verso positivo quello in cui avviene lo scatto.
▶ Qual è la velocità media dello scatto?
▶ Qual è la velocità media della camminata di ritorno?
▶ Qual è la velocità media sul percorso chiuso?
▶ Qual è la velocità media «sportiva» (cioè sull’intero percorso di andata e ritorno)?
■ dati
Posizione iniziale: s1= 0 m
Posizione alla fne dello scatto: s2 =30,0 m Durata dello scatto: ∆ts= 6,00 s
Durata del ritorno: ∆tr= 40,0 s
■ incognite
Velocità media durante lo scatto: vm,s=?
Velocità media durante il ritorno: vm,r=?
Velocità media nel percorso chiuso: vm,p=?
Velocità media sportiva: vm,sport=?
L’idea
■
Noti le posizioni e gli istanti di tempo, la velocità si calcola come v t ts s
m f i
f i
= --
;
La soLuzione
calcolo le velocità all’andata e al ritorno con la formula della velocità media.
Durante lo scatto si ha si=0 m, sf=30,0 m, ti=0 s, tf = +ti Dts=6, 00 s quindi 6, 00 s
30, 0 m 0 m
5, 00 m/s
v t
s
t t
s s
,
m s s
s
f i
f i
DD
= = --
= - = .
Durante il ritorno si ha si=30,0 m, sf=0 m; il tempo impiegato al ritorno è ∆tr= 40,0 s quindi 40, 00 s
0 m 30, 0 m
0, 750 m/s
v t
s
t
s s
,
m r r
r
r
f i
DD
= = D-
= - =- .
proBLema modeLLo 1
5
iL caLcoLo deLLa distanza e deL tempo
La formula [3] contiene tre grandezze: la velocità media vm, lo spostamento ∆s e l’inter- vallo di tempo ∆t. Se conosciamo due di esse, possiamo ricavare la terza. Per esempio, se conosciamo lo spostamento e il tempo otteniamo la velocità media mediante una divisione.
calcolo della distanza
La 24 Ore di Le Mans si disputa su un traccia- to prestabilito e assegna la vittoria alla squadra di piloti che in 24 h consecutive di gara copre la maggiore distanza. I vincitori della corsa del 2014 hanno tenuto una velocità media di 67,3 m/s:
quale distanza hanno percorso?
Nell’equazione [3],
vm = t Ds D ,
conosciamo Δt (24 h = 24 × 3600 s = 86 400 s) e vm (67,3 m/s). L’incognita da determi- nare è Δs.
Per isolare Δs moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per Δt:
vm ∆t = t Ds D tD . Semplificando come indicato, otteniamo
∆s=vm∆ .t [7]
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aL voLo
record deLL’ora
▶ Il record dell’ora è una prova di ciclismo su pista e consiste nel percorrere la massima distanza in 1 h di tempo. L’at- tuale detentore del primato ha viaggiato con una velocità media di 14,2 m/s:
quanti kilometri ha percorso?
[51,1 km]
calcolo la velocità media sul percorso chiuso.
Per il percorso chiuso si ha si= sf=0 m, ti=0 s, tf =Dts+Dtr=46, 00 s quindi 46, 00 s0 m 0 m0 s
0 m/s
v t
s
t t
s s
,
m p f i
f i
DD
= = --
= -- = .
Quella appena calcolata è la velocità media secondo la defnizione fsica: lungo un percorso chiuso lo spostamen- to è zero, dato che la posizione iniziale e quella fnale del moto coincidono.
calcolo la velocità media «sportiva».
La velocità media che abbiamo defnito «sportiva» va calcolata considerando l’intero percorso di andata e ritor- no; vale quindi:
6, 00 s 40, 00 s 30, 0 m 30, 0 m
46, 00 s 60, 0 m
1, 30 m/s
v t
s
t t
s s
, m sport
tot tot
s r
s r
DD
D D
D D
= = ++ = ++ = = .
per non sBagLiare
Il segno della velocità nelle prime due domande dà informazioni sul verso in cui Carlo si sta muovendo, positivo verso destra e negativo verso sinistra. Nella terza domanda lo spostamento complessivo è zero, quindi anche la velocità media calcolata sull’intero percorso è zero.
Quindi, nel circuito di Le Mans, la squadra vincente ha percorso una distanza
∆s = vm ∆t = (67,3 m/s) (86 400 s) = 5,81 × 106 m.
calcolo del tempo
Nella corsa lo struzzo è il bipede più veloce e anche il più resistente: per esempio, può spo- starsi per lunghi tratti con una velocità media di 50 km/h. Viaggiando con questa velocità media, quanto tempo impiega uno struzzo per percorre- re una distanza di 10 km?
Conosciamo Δs (10 km) e vm (50 km/h). L’incognita che vogliamo determinare è Δt.
Partendo dalla formula [7] e dividendo entrambi i membri per vm, otteniamo
vs v v t
m m
D = mD .
Pertanto,
∆t vs
m
= D . [8]
Lo struzzo impiega un tempo
∆t = vs
m
D = 50 km/h10 km
= 0,20 h = 12 min.
proBLema modeLLo 2
Viaggio in autostrada
p su amaldipiu.zanichelli.it a pag. 4 pdF p nelle Risorse digitali
Corbis
aL voLo animaLi veLoci
▶ Quanto tempo im- piega un ghepardo a percorrere 80 m con una velocità media di 110 km/h?
[2,6 s]
▶ E un delfino a percorrere 800 m a 40 km/h?
[72 s]
il tutor in autostrada: un sistema per misurare la veloci- tà media
Sul 40% della rete autostradale italiana gli eccessi di velocità sono rilevati per mezzo del Tutor. Questo sistema ha due «sensi» e un «cervello»:
▶ il primo senso è la «vista», i cui «organi» sono telecamere installate su due portali, posizionati a cavallo della carreggiata a diversi kilometri di distanza l’uno dall’al- tro;
▶ il secondo (diciamo il «tatto») è dovuto a sensori posti sotto l’asfalto, che rilevano le variazioni di campo magnetico prodotte dal passaggio dei veicoli traducendole in segnali elettrici;
▶ il cervello, infine, è un computer centrale che elabora in tempo reale i dati acquisiti dalle telecamere e dai sensori.
Il computer calcola, in base ai tempi di percorrenza e alla distanza tra il primo e il secondo portale, la velocità media di ciascun veicolo; inoltre, registra i dati relativi ai
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LE NUOVE TECNOLOGIE
6
iL grafico spazio-tempo
Nei 100 metri in stile libero la vasca di 50 m viene percorsa due volte, avanti e indietro.
La tabella sotto mostra i tempi intermedi realizzati da una nuotatrice nelle varie fasi della competizione e il tempo finale. La terza colonna della tabella indica le ascisse cor- rispondenti ai tempi. Le ascisse sono misurate lungo un asse che ha origine sui blocchi di partenza e corre parallelo alla corsia verso la sponda opposta della piscina.
AnALisi deLLA gARA Fase Partenza Primi
15 m
Prima frazione fino ai 50 m
Virata Seconda frazione fino ai 65 m
Seconda frazione fino agli 85 m
Ultimi 15 m (arrivo) Istante di
tempo t (s) 0 6,3 25 27 35,5 44,6 53,4
Posizione
s (m) 0 15 50 50 35 15 0
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veicoli che hanno superato il limite di velocità ed elimina gli altri.
Il funzionamento di questo sistema è descritto più in dettaglio nel diagramma che segue.
Al portale d’ingresso:
• viene registrato l’istante in cui passa il veicolo;
• le telecamere ad alta risoluzione fotografano la targa;
• un sistema di riconoscimento ottico dei caratteri legge la targa e la acquisisce come successione di lettere e numeri.
Dati memorizzati all’ingresso dell’unità di elaborazione locale:
• targa (AB123CD);
• tipo di veicolo;
• istante di tempo t1.
Il computer centrale:
• verifica che la targa in uscita (AB123CD) coincida con la targa iningresso (AB123CD);
• seleziona il limite di velocità che corrisponde al tipo di veicolo (130 km/h per le automobili);
• calcola la velocità media Vm = ;
• confronta Vm con il limite velocità e registra i casi in cui Vm supera il limite per più del 5%
(margine di tolleranza)
Dati memorizzati all’uscita dell’unità di elaborazione locale:
• targa (AB123CD);
• tipo di veicolo;
• istante di tempo t2. Al portale di uscita, a una distanza Δs nota da quello di ingresso, vengono ripetute le stesse operazioni.
I sensori sotto l’asfalto identificano il tipo di veicolo in transito (automobile, motocicletta, autocarro ecc.)
––––Δs t2–t1
AB123CD) i id l i i
morizzati sso dell’unità di zione locale:
Dati memorizzati all’uscita dell’unità di elaborazione locale:
i
aL voLo Quando scaTTa La conTravven- zione
Due portali del Tutor distano tra loro 15,0 km.
▶ Qual è la velocità media di un’auto- mobile che passa sotto al primo alle ore 13:03:00 e sotto al secondo alle 13:09:48?
[132 km/h]
▶ L’automobile viag- gia al di sopra del limite autostradale di 130 km/h: il condu- cente è sanzionabile?
Rappresentiamo questi dati (as- sieme ad altri, registrati a inter- valli di tempo più brevi e non ri- portati nella tabella) su un piano in cui:
■
un asse orizzontale indica i tempi;■
un asse verticale indica le posi- zioni.L’insieme dei punti che ottenia- mo dai nostri dati è il grafico spa- zio-tempo che descrive il moto
(fIgurA 8).
Un punto del grafico spazio-tempo indica la posizione di un corpo che si muove su una retta (dove si trova?) e l’istante in cui il corpo occupa quella posizione (quan- do?).
Il grafico spazio-tempo non rappresenta la traiettoria: la traiettoria, infatti, è una linea che descrive il moto nello spazio reale (e nell’esempio della nuotatrice è un segmento di retta percorso prima in un verso e poi nell’altro).
La lettura del grafico spazio-tempo
Osservando il grafico spazio-tempo, si notano alcune caratteristiche qualitative del moto.
■
I tratti più ripidi della curva sono quelli in cui la velocità media è maggiore. Per esem- pio, nell’intervallo tra t = 0 s e t = 10 s la nuotatrice percorre 24 m, cioè una distanza maggiore di quella (pari a 15 m) che percorre, in un intervallo di tempo uguale, tra t = 15 s e t = 25 s.■
Nel tratto orizzontale la nuotatrice è ferma: durante la virata, tra t = 25 s e t = 27 s, la sua distanza dalla partenza resta infatti fissa a 50 m.■
Nei tratti inclinati verso il basso la nuotatrice torna indietro: per esempio, tra t = 30 s e t = 40 s si avvicina al punto di partenza.La pendenza del grafico spazio-tempo e il calcolo della velocità media
La fIgurA 9 mostra una retta rappresentata nel pia- no cartesiano, cioè rispetto a un asse orizzontale x e un asse verticale y.
La pendenza o coefficiente angolare m del- la retta è, per definizione, il rapporto tra il dislivello verticale Δy e lo spostamento oriz- zontale Δx.
fIgurA 8
Grafico spazio-tempo del moto della nuotatrice. Per ogni istante della gara i punti della curva indicano a quale distanza dalla posizione di partenza si trova la nuotatrice: per esempio, all’istante t = 10 s è alla distanza s = 24 m.
A
B
O y yB
yA
x
xA xB
x
y
fIgurA 9
Una retta nel piano cartesiano. Quanto maggiore è il rapporto
xy
DD , tanto maggiore è la pendenza della retta.
10
0
0 10 20 30
istante t (s) (quando, dove)
posizione s (m)
40 50 60
20 24 30 40 50
In formula,
m = x y DD
. [9]
La pendenza m può essere positiva (se la retta è inclinata verso l’alto, come nella figura) o negativa (se la retta è inclinata verso il basso); in valore assoluto è tanto più grande quanto più la retta è ripida.
Applichiamo ora questo concetto al grafico spazio-tem- po (anziché al piano cartesiano xy) e consideriamo un ciclista che percorre una strada diritta in pianura (fIgurA 10). Tra gli istanti t1 = 3 min e t2 = 5 min egli percorre la distanza compresa tra le posizioni di ascissa s1 = 1500 m e s2 = 2200 m.
Nei grafici seguenti, il tratto P1P2 corrisponde al moto del ciclista in questo intervallo di tempo.
■
Per definizione (equazione [3]), la velocità media vm tra P1 e P2 è il rappor- to tra la distanza Δs percorsa e il tempo Δt impiegato a percorrerla:vm = t Ds D .
■
D’altra parte, il coefficiente angola- re m della retta che passa per P1 e P2 è, per la [9], il rapporto tra il dislivel- lo verticale Δs e lo spostamento oriz- zontale Δt:m = t Ds D .
Quindi:
la velocità media in un determinato intervallo di tempo è uguale al coefficiente angolare della retta che passa per i punti P1 e P2 del grafico spazio-tempo corrispon- denti agli estremi dell’intervallo.
Per calcolare la velocità media dal grafico spazio-tempo:
■
si segnano i due punti del grafico che corrispondono agli estremi dell’intervallo di tem- po considerato;■
si traccia la retta che passa per entrambi i punti;■
si calcola la pendenza della retta.s (m) 1500
3 min 5 min
2200 fIgurA 10
Il ciclista si sposta di
∆s = (2200 – 1500) m = 700 m nell’intervallo di tempo
∆t = (5 – 3) min = 2 min = 120 s:
la sua velocità media è 120 s
700 m 5,83 m/s
v s
m Dt
= D = = .
AnimAzione La pendenza del grafico spazio-tempo
P1 P2 Δs
Δt
istante (min)
posizione (m)
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
500 1000 1500 2000 2500 2200 3000
P1 P2
Δs Δt
istante (min)
posizione (m)
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
500 1000 1500 2000 2500 2200
3000 3000
una corsa in BicicLetta
Disegna il grafco spazio-tempo del moto di una bicicletta a partire dalla tabella.
▶ In quale tratto la velocità è più grande?
▶ Che cosa succede nel tratto CD?
▶ E nel tratto DE?
▶ Quanto vale la velocità media nel tratto DE?
■ dati
Dati nella tabella del testo
■ incognite
vmax = ?
L’idea
■
Un punto del grafico spazio-tempo dà informazione sulla posizione di un corpo in movimento in un deter- minato istante. Dal grafico posso ricavare la velocità massima, e le informazioni qualitative e quantitative per descrivere il moto nei tratti CD e DE.■
Dalle posizioni e dagli istanti di tempo, la velocità media si calcola come: v t ts s
m 2 1
2 1
= -- . La soLuzione
disegno il grafico dai dati in tabella.
Riportando su un piano cartesiano i dati della tabella otten- go il grafco spazio-tempo.
dal grafico ricavo il valore della velocità massima.
I tratti più ripidi del grafco sono quelli in cui la velocità me- dia è maggiore.
Infatti nel tratto AB:
,
0, 00 km, km
sA= sB=14 00 , tA=0 00, h, ,tB=0 20h
, ,
, ,
h h
km km
h v t km
s
0 20 0 00
14 00 0 00
70
AB AB
& = DD AB = -- =
dal grafico ricavo le informazioni relative al tratto CD e al tratto DE.
■
Nel tratto CD :, km, , km
sC=18 00 sD=18 00 , tC=0 50, h, ,tD=0 70h , ,
, ,
h h
km km
h v t km
s
0 70 0 50
18 00 18 00
0
CD CD
& = DDCD = -- = .
La bicicletta è ferma.
■
Nel tratto DE la pendenza è negativa; questo vuol dire che la bicicletta procede con velocità negativa, cioè sta tornando indietro.calcolo la velocità media nel tratto DE si ricava dai dati in tabella:
Il valore della velocità media nel tratto DE , km, , km
sD=18 00 sE=12 00 , tD=0 70, h, tE=1 00, h, , ,
, ,
h h
km km
h
v t km
s
1 00 0 70
12 00 18 00
20
mDE DE
& = DD DE = -- =- .
per non sBagLiare
Il segno della velocità, nel primo e nell’ultimo tratto, dà informazioni sul verso di percorrenza della bicicletta, positivo in avanti, negativo quando torna indietro.
proBLema modeLLo 3
t (h) s (km)
A 0,00 0,00
B 0,20 14,00
C 0,50 18,00
D 0,70 18,00
E 1,00 12,00
7
iL moto rettiLineo uniforme
Tra tutti i grafici spazio-tempo, il più semplice è quello a forma di retta. Poiché una retta ha sempre la stessa pendenza, un grafico spazio-tempo rettilineo rappresenta un moto che ha sempre la stessa velocità media, qualunque sia l’intervallo in cui essa viene calcolata.
Questa velocità media che non cambia è detta, semplicemente, velocità.
Il movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con velocità co- stante è detto moto rettilineo uniforme.
Il moto si dice rettilineo perché la traiettoria è contenuta in una retta e uniforme perché il valore della velocità non cambia.
Un treno che viaggia a 120 km/h su un binario senza curve si muove di moto rettilineo uniforme: il suo grafico spazio-tempo, mostrato nella fIgurA 11, è una retta che ha coeffi- ciente angolare uguale a 120 km/h.
Si vede che:
■
in ogni intervallo di tempo Δt di 0,25 h, cioè ogni quarto d’ora, il treno percorre 30 km;■
in ogni Δt doppio (2 × 0,25 h = 0,50 h, cioè ogni mezz’ora) il treno percorre una distan- za doppia (2 × 30 km = 60 km);■
in ogni Δt triplo (3 × 0,25 h = 0,75 h) il treno percorre una distanza tripla (3 × 30 km = 90 km) e così via.Quindi:
nel moto rettilineo uniforme le distanze sono direttamente proporzionali agli inter- valli di tempo impiegati a percorrerle.
8
La Legge oraria deL moto
Nel moto rettilineo uniforme possiamo calcolare:
■
la posizione, conoscendo la velocità e l’istante di tempo;■
l’istante di tempo, conoscendo la velocità e la posizione.calcolo della posizione
Un motociclista percorre il tratto dell’autostrada A14 da Bologna a Rimini (fIgurA 12) e mantiene una velocità costante di 35,0 m/s (che equivale a 126 km/h).
A1
A14
A14 A14dir
A1
Bologna
A14
Imola
A14dir
Ravenna
Forl“
A14
fIgurA 11 Il grafico spazio-tempo di un treno in moto rettilineo uniforme a 120 km/h.
Questo grafico è una retta (da non confondersi con la traiettoria, anch’essa rettilinea).
posizione (km) 0
60 120 180 240
tempo (h)
0 0,50 1,00 1,50 2,00
aL voLo 60 km/h
▶ Viaggiando alla velocità costante di 60 km/h quanti kilometri si percor- rono in 6 min? Quanti metri in 6 s?
fIgurA 12 Se si misurano le distanze lungo il tracciato dell’autostrada A14 (asse s) da Bologna (origine O) a Rimini (verso assegnato all’asse), allora l’ascissa del casello di Imola è s0 = 2,80 × 104 m, quella del casello di Forlì è s1 = 5,95 × 104 m e quella dell’uscita di Rimini è s2 = 9,52 × 104 m.
Per esempio, dopo 200 s dalla partenza la moto si trova alla distanza di (35,0 m/s) × (200 s) = 7,00 × 103 m da Bologna, cioè nella posizione di ascissa s = 7,00 × 103 m;
dopo un tempo doppio (400 s) si trova nella posizione di ascissa s = 1,40 × 104 m.
Tutti i valori di s indicati nella tabella possono essere ottenuti conoscendo l’istante di tempo t a cui si riferiscono, attraverso la formula
s = 35, 0 sa mk t.
Se il motociclista viaggiasse più lentamente, per esempio alla velocità di 29,0 m/s, la sua posizione s all’istante t sarebbe data dalla formula
s = 29, 0 sa mk t.
Per un punto materiale che compie un moto rettilineo uniforme con velocità v e che nell’istante iniziale (t0 = 0 s) si trova nella posizione zero (s0 = 0 m), la posizione all’i- stante t è:
.
s=v t [10]
Questa formula è un esempio di legge oraria.
Si chiama legge oraria del moto la formula che, per un dato tipo di moto, fornisce la posizione del punto materiale se si conosce il corrispondente istante di tempo.
Il grafico spazio-tempo relativo alla formula [10] è una retta passante per l’origine degli assi (fIgurA 13).
Non sempre, però, il moto rettilineo uniforme è descritto dalla [10]. Se il motocicli- sta imbocca l’autostrada a Imola (nell’istante iniziale t0 = 0 s), la sua distanza iniziale da Bologna, cioè dal punto rispetto al quale abbiamo scelto di misurare le distanze, è s0 = 2,80 × 104 m.
In questo caso non vale la [10], perché alla distanza percorsa tra l’istante iniziale t0 = 0 s e l’istante t occorre aggiungere l’ascissa s0 della posizione iniziale. La legge oraria del moto rettilineo uniforme diventa, quindi:
.
s= +s0 v t [11]
Il grafico spazio-tempo relativo alla formula [11] è una retta che non passa per l’origine degli assi (fIgurA 14).
Dimostrazione della legge del moto rettilineo uniforme
Nel moto rettilineo uniforme la velocità v coincide con la velocità media vm calcolata tra due istanti di tempo t1 e t2 qualsiasi. La definizione di velocità media (nella forma dell’e- quazione [6]) fornisce quindi, per v, l’espressione
v = t t
s s
2 1
2 1
-- . dalla definizione di velocità media…
■
Poni t1 = t0 (istante da cui si inizia a osservare il moto), t2 = t (istante generico). Poni,BoLognA-Rimini A 35 m/s t (s) s (m) 200 7,00 × 103 400 1,40 × 104 600 2,10 × 104 800 2,80 × 104 Imola 1000 3,50 × 104 1700 5,95 × 104
Forlì 2720 9,52 × 104
Rimini
posizione (m) all’istante t velocità (m/s)
istante di tempo (s)
t s
O fIgurA 13
Se un punto materiale in moto rettilineo uniforme si trova nella posizione s0 = 0 m all’istante t0 = 0 s, il suo grafico spazio-tempo è una retta passante per l’origine degli assi.
t s
O s0
fIgurA 14
Se un punto materiale in moto rettilineo uniforme si trova nella posizione s0
per t0 = 0 s, il suo grafico spazio-tempo è una retta che interseca l’asse s a distanza s0 dall’origine.
AnimAzione
• Legge del moto uniforme
• Il grafico s-t che non passa per lÕorigine
inoltre s1 = s0 e s2 = s: le posizioni s0 e s sono quelle che il punto materiale in movimen- to occupa, rispettivamente, all’istante t0 e all’istante t. La formula precedente diventa, allora,
v = t ts s
0
-- 0
. [12]
discende direttamente la legge del moto.
■
Dall’equazione [12] ricavis – s0 = v (t – t0), o anche
s = s0 + v (t – t0), [13]
Questa formula esprime la legge più generale da cui ricavare la posizione nel moto rettilineo uniforme.
■
Ponendo nella [13], come si fa di solito, t0 = 0 s, ottieni la formula [11]: s = s0 + v t.calcolo dell’istante di tempo
Torniamo all’esempio del motociclista che viaggia in autostrada alla velocità costante di 35 m/s: se conosciamo la sua posizione s, come facciamo a ricavare l’istante t, che ci dice quanto tempo è passato dalla partenza?
Usando la formula [10], s = v t , e dividendo entrambi i membri per v, isoliamo l’inco- gnita t:
vs v vt
= .
Pertanto:
.
t= vs [14]
Per esempio, la motocicletta si trova nella posizione s = 6,30 × 104 m all’istante di tempo t = vs
= 35 m/s
6, 30#10 m4 = 1800 s.
Se la posizione iniziale s0 è diversa da zero, la formula per determinare t diviene:
.
t v
s s0
= -
[15]
proBLema modeLLo 4
L’impatto di un asteroide
p su amaldipiu.zanichelli.it a pag. 5 pdF p nelle Risorse digitali
aL voLo da caseLLo a caseLLo
▶ Un camperista entra nell’autostra- da A12 al kilometro 110 (casello di Car- rara): se viaggia alla velocità costante di 26 m/s, dopo quanto tempo arriva al ki- lometro 136 (casello di Viareggio)?
[1000 s]
istante di tempo (s) posizione (m)
velocità (m/s)
sorpasso in Bici
Un gruppo di cicloamatori sta percorrendo un lungo rettilineo. Il cicloamatore A pedala alla velocità costante di 9,0 m/s e sorpassa il cicloamatore B momentaneamente fermo. Dopo 20 s dal sorpasso, il cicloamatore B riparte all’inseguimento alla velocità costante di 12,0 m/s.
▶ Calcola quando il cicloamatore B raggiunge A.
▶ Quanto vale la distanza percorsa da B per raggiungere A?
▶ La fne del rettilineo dista 1,5 km dalla posizione in cui B raggiunge A. Con quanti secondi di distacco B anticipa A?
■ dati
Velocità cicloamatore A: vA = 9,0 m/s Velocità cicloamatore B: vB = 12,0 m/s
Vantaggio temporale del cicloamatore A: ∆t = 20 s
■ incognite
Istante di tempo dell’incontro dei cicloamatori A e B: t=?
Distacco fra A e B dopo 1,5 km: DtA B- =?
L’idea
■
È importante fissare un verso positivo lungo la direzione del moto:consideriamo come origine s =0 m, t=0 s la posizione e l’istante in cui il cicloamatore B si mette in moto.
■
Trovo l’istante di tempo in cui i due cicloamatori si incontrano uguagliando le rispettive posizioni.■
Trovo i tempi impiegati da A e da B per giungere alla fine del rettili- neo con le formule inverse della velocità. Nel grafico spazio-tempo a fianco il moto del cicloamatore A è descritto dalla retta blu, quel- lo del cicloamatore B è rappresentato dalla retta rossa, la posizione della fine del rettilineo è indicata dalla retta verde, il sorpasso di B su A è indicato dal punto P.La soLuzione
scrivo le leggi orarie dei cicloamatori A e B.
Quando il cicloamatore B si mette in moto, il cicloamatore A ha un vantaggio di 20 s, durante i quali ha percor- so una distanza:
, sm
20 s 1, 8 10 m s0=v tA =9 0 # = # 2 . Le leggi orarie del moto dei cicloamatori dunque sono:
1, 8 10 m (9, 0 m/s) sA= +s0 v tA = # 2 + t;
(12, 0 m/s) sB=v tB = t.
uguaglio le posizioni per ricavare l’istante di tempo in cui A e B si incontrano.
Il cicloamatore B raggiunge il cicloamatore A quando sA=sB quindi:
v tB = +s0 v tA da cui:
( , )ms
1, 8 10 m (9, 0 sm )
t t
12 0 = # 2 + .
proBLema modeLLo 5
9
esempi di grafici spazio-tempo
Studiamo alcuni esempi di moti immaginando che avvengano su una pista di atletica.
Fissiamo un sistema di riferimento parallelo alla pista con la linea di partenza come posizione iniziale (s0 = 0 m).
Oltre alle traiettorie e ai grafici spazio-tempo disegniamo anche i grafici velocità-tempo, che hanno gli istanti di tempo sull’asse orizzontale e i valori della velocità su quello ver- ticale. Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante, per cui il grafico della velocità è un segmento orizzontale.
velocità diverse
■
Due atleti A e B comin- ciano a correre dalla linea di partenza con velocità costanti: l’atleta A percor- re 4 m in 1 s; l’atleta B, più lento, percorre 3 m in 1 s.■
Entrambi i grafici spa- zio-tempo sono rette uscenti dall’origine. Quel- lo di A (che è più veloce) è più inclinato verso l’alto, cioè ha un coefficiente angolare maggiore.■
I due grafici veloci- tà-tempo sono rette oriz- zontali. Le velocità sono positive perché A e B cor- rono nel verso della pista;la velocità di A è maggio- re di quella di B.
A0
A linea di
partenza (s = 0 m)
2
B0
B1
B2 B3 B4 B5
A1
A3
A4 A5
A0 A1
A2 A3
A4 A5
B0 B1
B2 B3
B4 B5
0 1 2 3 4 5
posizione, s (m)
10 5 15 20
istante, t (s)
A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2
A0
B0 B3 B4 B5
0 1 2 3 4 5
velocità, v (m/s) 1 2 3 4
istante, t (s)
Risolvo rispetto all’incognita t:
12, 0 9, 0 sm
1, 8 10 m
t 2
# #
- =
^ h &t = 1 8,3 0, #10m s2 m =60 s. calcolo la distanza percorsa da B dopo 60 s.
(12, 0 sm
) (60 s) 7, 2 10 m
sB=v tB = # = # 2 .
L’istante t = 60 s e la posizione s = 7,2 × 102 m corrispondono alle coordinate del punto P.
calcolo il tempo che impiegano A e B a percorrere 1,5 km.
; . 9, 0 m/s
1, 5 10 m
1, 7 10 s 12, 0 m/s
1, 5 10 m
1, 3 10 s
t vs
t vs
3 2
3
2
A A
B B
# #
# #
D D
D D
= = =
= = =
Il distacco tra i due ciclisti dopo 1,5 km sarà quindi
(1, 7 1, 3) 10 s 4 10 s
tA B tA tB # 2 # 1
D - =D -D = - = .
La distanza temporale di 4 × 101 s è indicata in arancione nel grafco precedente.
