Distribuzione delle velocità
La formula barometrica
a) Senza campi esterni b) Campo di gravità
• Campo di gravità (con T e g costanti)
p , ρ u ni f o r m i
g z
p , ρ f unz i o ni d i z
g z
d z
p + d p p
dp = − ρgdz = − p mg kBT dz
dp
dz = − mg kBT p
p(z) = p(0) exp − mgz kBT
ρ(z) = ρ(0) exp − mgz kBT
Distribuzione spaziale
Esempio N atomi
h = 10 000 metri T = costante g = costante m = 32 amu
• In funzione della posizione
φ(z) = C exp − mgz kBT
• In funzione
dell’energia potenziale
(Distrib. di Boltzmann)
h
d z
d N z z
0.0000 0.0001 0.0002
0 2000 4000 6000 8000 10000
φ(z) [m-1]
z [m]
T = 200 K
T = 800 K
φ(z) dz = dNz N
0 20 40 60
0 0.01 0.02 0.03
φ(Ep) [eV-1]
Ep = mgz [eV]
T = 200 K; (kBT = 0.017 eV)
T = 800 K (kBT = 0.069 eV)
φ(Ep) = C exp − Ep kBT
Distribuzione di vz
Distrib. velocità + campo g = formula barometrica
z
v1 > v2
f (vz ) dvz = dNv
z
f (vz) = m N
2πkBT exp − mvz2 2kBT
0 0.0004 0.0008 0.0012
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 f(vz) [s/m]
vz [m/s]
273 K
500 K Azoto N
2
Distribuzione di Maxwell
Dipendenza da: massa
temperatura
Distribuzione e temperatura: posizione
dispersione
vx vy
v2 = vx2 + vy2 + vz2 v
f (v) = 4π m 2πkBT
3 / 2
v2 exp − mv2 2kBT
0 0.001 0.002
0 1000 2000 3000
f(v) [s/m]
v [m/s]
N2 273 K
N2 500 K
He 273 K
Distribuzione in energia
1 eV = 1.6x10-19 J kB = 8.61x10-5 eV/K
E = 1
2 mv2
f (E) =
(
2π E)
expπk[
−E / kBT]
BT
( )
3 / 20 5 10 15 20
0 0.1 0.2 0.3
f(E) [eV-1]
E [eV]
E1/2 exp(-E/kT)
E1/2 exp(-E/kT)
densità degli stati
fattore di Boltzmann
[f(E) dipende solo da T, non da m.]
T kBT <E> = 3kBT/2
273 K 0.023 eV 0.034 eV
500 K 0.043 eV 0.064 eV
f (E) = 2π πkBT
( )
3 / 2 E exp − kEBT
f (E) dE = dNE N
0 5 10 15 20
0 0.1 0.2 0.3
f(E) [eV-1]
E [eV]
T = 273 K
T = 500 K
