s si im mm me et tr ri ia a

G

Ge eo om me et tr ri ia a m me et tr ri ic ca a i in n R R

³³

or o rt to og go on na al li it tà à p

pr ro oi ie ez zi io on ni i o or rt to og go on na al li i s su u r re et tt te e , , p pi ia an ni i di d is st ta an nz za a p pt to o- -p pt to o , , p pt to o- -r re et tt ta a, , p pt t o- o -p pi ia an no o

s si im mm me et tr ri ia a

re r et tt t e e s sg gh he em mb be e : : c co om mu un ne e p pe er rp pe e nd n di ic co ol la ar re e d di is st ta an nz za a

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.9 14 maggio 2009

ESERCIZIO 1.

Proiezione ortogonale di un pto su una retta etc.

Data la retta r:

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

− 0

0 1 z x

y

x e il punto P(1,0,-1), determinare:

a) la proiezione ortogonale di P su r b) la distanza di P da r.

c) la retta passante per P, ortogonale ed incidente r d) due rette passanti per P,ortogonali ad r, non incidenti r a)

r :

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

− 0

0 1 z x

y

x ⇒

⎩ ⎨

⎧

−

= +

= x z

x

y 1

⇒ ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

=

=

t z

t y

t x

1 rappr. param. di r v

r

=(1,1,-1) // N

_π

π: 1(x-1)+1(y-0)-1(z+1)=0 => π: x+y-z-2=0

Q= r ∩ π :

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

=

−

− +

−

= +

=

=

0 2 1

z y x

t z

t y

t x

⇒ t=

₃¹

⇒ Q ^{( 1} ₃ ^, ₃ ^{4 , − 1} ₃ ⁾ . per def. la P.O. di P

su r è il pto Q∈r t.c.

Q= r ∩ π, con π

piano per P, π⊥ r π P Q

r u

r

N

b) la distanza di P da r=la distanza di P da Q, Q P.O. di P su r d(P,Q)=lunghezza di Q-P=

2 3²

2 2

1

a a

a + + con Q-P=(a

1

,a

2

,a

3

)

Q ⁾

3 , 1 3 , 4 3

( 1 − , P(1,0,-1) ⇒ Q-P= ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

3 , 2 3 , 4 3 2

⇒ d (P,Q) = ₉ ^{4 + 16} ₉ ⁺ ₉ ^{4 = 2} ₃ ⁶ .

c) la retta passante per P, perpendicolare ed incidente r:

è la retta s passante per P e Q P(1,0,-1), Q ⁽ ₃ ^{1 ,} ₃ ^{4 , −} ₃ ^{1 )} (vedi a)) S: P+<(Q-P)>

S: (1,0,-1)+< ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

3 , 2 3 , 4 3

2 > ( vedi b))

S : (1,0,-1)+<(-2,4,2)>

[ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

3 , 2 3 , 4 3

2 //(-2,4,2) ⇒ D ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

3 , 2 3 , 4 3

2 = D((-2,4,2))]

s:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

=

−

=

t z

t y

t x

2 1 4

2 1

rappresentazione parametrica

d) due rette passanti per P (1,0,-1) , ortogonali ad r, non inci- denti r

Il luogo geometrico di tutte le perpendicolari alla retta r, passanti per P è il piano passante per P e ⊥ ad r.

Tra queste rette solo una incide r (la retta PQ )

Q P

r

Per determinare 2 rette ortogonali ad r, non incidenti r e passanti per P (1,0,-1) basta scegliere ad esempio due pti R, S distinti da Q, giacenti sul piano α : x+y-z-2=0 , R.

Retta per P (1,0,-1), R(2,0,0)

s: ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

= +

=

t z

y t x

1 0 1

Retta per P (1,0,-1), S(1,1,0)

q: ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

=

=

t z

t y x

1

1

ESERCIZIO 2.

Rette - piani nello spazio – ortogonalità

Dato il piano π: x-y+2z-1=0 e il punto P(1,0,-1), determinare:

a) due piani passanti per P e perpendicolari a π b) la retta passante per P e perpendicolare a π c) il punto Q proiezione ortogonale di P su π.

a) Controlliamo se P∈ π sostituendo in π le cooordinate di P:NO

!

Occorre sapere che un piano si individua tramite un vettore normale e un suo pto

P Q

N

N= (a,b,c) vettore ortogonale ad ogni vettore di D(π)

Q(x

₀

, y

₀

, z

₀

) pto di π P(x,y,z) pto corrente su π

⇒ P-Q∈ D(π)

⇒ N ⋅ P-Q =0

⇒ (a,b,c)⋅( x- x

₀

, y- y

₀

, z- z

₀

)=0

⇒ a(x- x

0

)+ b(y- y

0

)+c(z- z

0

)=0 equazione cartesiana di π

P

π

π ⊥α ⇔ N

_π

⊥ N

_α

α : a(x-1) +b(y-0) +c(z+1) =0 N

π

= (1,-1,2), N

α

=(a,b,c)

⇒ N

π

⋅ N

α

=0 ⇒ a-b+2c=0

⇒ Infiniti piani , ad esempio

⇒ N

α

=(a,b,c) = (1,1,0) α : (x-1) + (y)=0

α : x+y-1=0

Un altro piano β:2(y)+1(z+1)=0.

π

b) Retta r per P , ⊥ π

da a) è immediato che r= α∩β :

⎩ ⎨

⎧

= + +

=

− +

0 1 2

0 1 z y

y

x

A prescindere dai 2 piani trovati in a) Si può procedere ad esempio così:

Se X(x,y,z) è il pto corrente su r, N

_π

= (1,-1,2), P(1,0,-1) si ha:

X-P = t N

π

⇔ X= P+ t N

π

⇔ r:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

−

= +

=

t z

t y

t x

2 1 1

t∈R

c) Per def. il pto P.O. di P su π è il pto Q di π t.c. Q= r ∩ π, con r passante per P e ortogonale a π .

r ⊥ π ⇔ u

r

⁄⁄ N

π

⇔ D(r)=< N

π

>

P

π

u

_r

N

π

In questo caso r è già determinata (è ortogonale al piano e quindi a tutte le rette del piano):

Q = r∩ π

⇒

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= +

+

−

=

−

= +

=

0 1 - 2z y - x

2t 1 z

t y

t 1 x

⇒ … t=1/3

⇒ Q(4/3, -1/3, -1/3) P

Q

r

ESERCIZIO 3.

Proiezione ortogonale - simmetria

a) Determinare la proiezione ortogonale s della retta r passante per A e B su π.

b) Determinare la retta simmetrica di r rispetto a π.

Poiché una retta è individuata da due suoi pti distinti, è sufficiente determinare le P.O. di due pti distinti di r.

Se un pto sta su π∩r coincide con la sua P.O.

Quindi controlliamo: B∈π , A∉π Determiniamo il pto Q P.O. su π di A:

Q: π ∩ q , con q retta per A con vettore direzionale u

q

⊥π Allora si può prendere u

_q

= N

_π

N

_π

=(2,1,-1) = u

_q

, A(0,1,1)

⇒ q:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

= +

=

t z

t y

t x

1 1

2 0

⇒ Q: π ∩ q :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

−

− +

−

= +

= +

=

0 2 2

1 1

2 0

z y x

t z

t y

t x

La retta s è il luogo dei pti Q proiezioni ortogonali su π dei pti P di r .

Q B s π

A r q

Q:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

− +

− + +

−

= +

=

=

0 2 1 1 4

1 1 2

t t t

t z

t y

t x

⇒

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

−

= +

=

=

3 1 1 1 2

t t z

t y

t x

⇒ Q ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 , 2 3 , 4 3 2

Retta s : retta per Q ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 , 2 3 , 4 3

2 e B(1,1,1)

B-Q = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − −

3 , 1 3 - 1 3 , 1 3 1 2 3 , 1 4 3 ,

1 2 ⇒

per semplificare i calcoli si può scegliere B-Q=(1,-1,1) ((1,-1,1) // ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 , 1 3 - 1 3 ,

1 )

⇒ s:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

= +

=

t z

t y

t x

1 1 1

b)

E si trova la retta r

^*

per R e B(1,1,1): r

^*

:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

= +

=

t z

t y

t x

2 1

2 1

1

.

π s

r

B

r

^* R

A

Q

Per def. la retta simmetrica di r risp. a π è la retta r

^*

, luogo dei pti simmetrici dei pti di r risp. a π.

Se P∈π il pto simmetrico di P è P ! Se A∉π il suo pto simmetrico è R t.c. il pto medio Q del segmento AR è la P.O. di A su π.(v.fig.) Il pto simmetrico di A è R t.c.

Q= 2

R A + .

Noti A(0,1,1), Q ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 , 2 3 , 4 3

2 e posto

R(x,y,z) ⇒… R ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 , 1 3 , 5 3

4 .

ESERCIZIO 4.

Rette sghembe: comune perpendicolare - distanza

Siano r:

⎩ ⎨

⎧

=

= 0 z

1 x ed s:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

t∈R.

a) Verificare che r ed s sono sghembe

b) Determinare tutte le rette incidenti sia r che s

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendicolare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s)

d) Determinare la distanza tra r ed s.

r ed s sghembe ⇔ r, s non complanari

⇔ r non parallela ad s ed r non incidente s

r: ⎩ ⎨ ⎧

=

= 0 z

1

x ed s:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

t∈R.

D(r) =<(0,1,0)>

^(*)

, D(s) =<(1,1,1)>: i vettori generatori di D(r) , D(s) sono L.I. e quindi D (r ) ≠ D(s) ⇒ r non è parallela ad s ( con diversa nomenclatura: u

r

=(0,1,0) vettore direzionale di r, u

s

=(1,1,1) vettore direzionale di s).

Vediamo se r ed s hanno pti a comune :

r: ⎩ ⎨ ⎧

=

= 0 z

1 x ,

S

:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

⇒

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

t z

t y

t x

0 z

1 x

⇒ t=1 & t=0 assurdo:

r, s non incidenti

r ed s non sono né parallele, né incidenti e quindi sono sghembe.

(*) DA RICORDARE !La giacitura di r è lo sp. vett. delle soluzioni del sistema omog. assoc:

⎩⎨

⎧

=

= 0 z

0 x

b) determinare tutte le rette incidenti sia r che s

Rette PQ :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

= +

= +

=

0)λ - (t t z

v)λ - (t t y

1)λ - (t t x

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendicolare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s).

Deve risultare u

PQ

⊥ u

r

e u

PQ

⊥ u

s

, quindi imponiamo l’annullamento dei due prodotti scalari :

⎩ ⎨ ⎧

=

⋅

=

⋅

0 (1,1,1) t)

v, - t 1, - (t

0 (0,1,0) t)

v, - t 1, -

(t ⇒

⎩ ⎨

⎧

=

−

−

=

−

0 1 v 3t

0 v t

⇒ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

2 v 1

2 t 1

Q

P

r r

s

Sono tutte le rette PQ, con P variabile su r, Q variabile su s

S

:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

⇒ Q(t,t,t) r: ⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

= 0 z

v y

1 x

⇒ P(1,v,0)

Q vettore direzionale u

PQ

delle rette PQ, u

PQ

= Q-P t corre su s, v su r e

λ è il parametro delle rette PQ

⇒ per questi valori si trova la retta n:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

= +

= +

=

0)λ - (t t z

v)λ - (t t y

1)λ - (t t x

⇒ n:

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

=

−

=

2 λ 1 2 z 1

2 y 1

2 λ 1 2 x 1

al variare di λ∈R (n in forma param.)

d) I valori trovati t= ₂ ¹ , v = ¹ ₂ ci danno risp. i punti P e Q giacenti sulla comune perpendicolare n , che sono anche i punti di minima distanza tra r ed s.

t= ₂ ¹ su r ⇒ P(1, ₂ ¹ ,0) v= ₂ ¹ su s ⇒ Q( ¹ ₂ , ₂ ¹ , ₂ ¹ )

Quindi d(r,s)= d(P,Q) =

2 P Q ²

Q P 2 Q

P

x ) (y y ) (z z )

(x − + − + −

=

2 ) 1 2 (0 1 2 ) 1 2 ( 1 2 )

(1 − 1

²

+ −

²

+ −

²

= .

O SSERVAZIONE : L A C OMUNE P ERPENDICOLARE A D UE R ETTE S GHEMBE CON TECNICA GEOMETRICA

Il modo seguito nell’esercizio precedente determina la comune perpendicolare tra due rette sghembe e la loro distanza in maniera algebrica.

Vediamo ora una tecnica geometrica.

Lasciato da fare per esercizio.

A B

r

n

s

u

r

non parallelo a u

s

⇒

∃ w=u

r

xu

s

non nullo e ⊥ ad u

r

,u

s

Il piano contenente r e parallelo a w interseca il piano contenente s e parallelo a w in una retta n ⊥ ad r ed s

⇒ n è la comune perpendicolare alle rette sghembe r,s ( w ⁄⁄ u

n

).

I pti A e B intercettati dalla comune

perpendicolare n su r e su s sono i

punti di minima distanza tra r ed s.