P
Pr ro oi ie ez zi io on ni i e e ri r if fl le es ss si io on ni i in i n R R
33Rosalba Barattero
ESERCITAZIONE N.9 30 aprile 2008
1
ESERCIZIO 1.
Proiezione ortogonale di un pto su una retta et…
Data la retta r:
¯ ®
= +
= +
− 0
0 1 z x
y x
e il punto P(1,0,-1), determinare:
a) la proiezione ortogonale di P su r b) la distanza di P da r.
c) la retta passante per P, ortogonale ed incidente r d) il piano passante per P e ortogonale ad r
e) due rette passanti per P, ortogonali ad r, non incidenti r
a) per def. la P.O. di P su r è il pto Q ∈r tale che la retta per P, Q è ⊥ r :
(P-Q) ⋅ u
r=0 ,con Q ∈r, <u
r>=D(r)
Q è il pto corrente su r, quindi cerchiamo la rappprenta- zione parametrica di r:
r :
¯ ®
= +
= +
− 0
0 1 z x
y x
¯ ®
−
= +
= x z
x
y 1
°
¯
° ®
−
= +
=
=
t z
t y
t x
1 rappr. param. di r
- Q(t,t+1,-t) pto corrente su r (al variare di t ∈R) - u
r=(1,1,-1)
- P(1,0,-1) ( dato )
Cerchiamo t ∈R t.c. (P-Q) ⋅ u
r=0
(1-t,-t-1,-1+t) ⋅ (1,1,-1) =0
1-t-t-1+1-t =0
t=
3 1
Q )
3 , 1 3 , 4 3
( 1 − .
Q P
r
2
b) la distanza di P da r=la distanza di P da Q ( Q P.O. di P su r) d(P,Q)=lunghezza di Q-P=
322 2 2
1
a a
a + + con Q-P=(a
1,a
2,a
3)
Q )
3 , 1 3 , 4 3
( 1 − , P(1,0,-1) Q-P= ¸
¹
¨ ·
© § − 3 , 2 3 , 4 3 2
d (P,Q) =
3 6 2 9 4 9 16 9
4 + + = .
c) la retta passante per P, perpendicolare ed incidente r:
è la retta s passante per P e Q P(1,0,-1), Q )
3 , 1 3 , 4 3
( 1 − (vedi a))
S: P+<(Q-P)>
S: (1,0,-1)+< ¸
¹
¨ ·
© § − 3 , 2 3 , 4 3
2 > ( vedi b))
S : (1,0,-1)+<(-2,4,2)>
[ ¸
¹
¨ ·
© § − 3 , 2 3 , 4 3
2 //(-2,4,2) D ¸
¹
¨ ·
© § − 3 , 2 3 , 4 3
2 = D((-2,4,2))]
s: °
¯
° ®
+
−
=
=
−
= t z
t y
t x
2 1 4
2 1
rappresentazione parametrica
d) Il piano α per P(1,0,-1) di vettore N
α=u
r= (1,1,-1) è α :1(x-1)+1(y-0)-1(z+1) =0 α : x+y-z-2=0
Q P
r
3
e) due rette passanti per P (1,0,-1) , ortogonali ad r, non inci- denti r
Per determinare 2 rette ortogonali ad r , non incidenti r e passanti per P (1,0,-1), basta scegliere 2 pti distinti da P, su α : x+y-z-2=0
Retta per P (1,0,-1), R(2,0,0)
s: °
¯
° ®
+
−
=
= +
=
t z
y t x
1 0 1
Retta per P (1,0,-1), R(1,1,0)
q: °
¯
° ®
+
−
=
=
=
t z
t y x
1 1
α
r ⊥ α ⇔ u
r⁄⁄ N
αQ P
r u
rIl luogo geometrico N di tutte le perpen- dicolari alla retta r, passanti per P è il piano passante per P e ⊥ ad r.
Tra queste rette
solo una incide r
(la retta PQ )
4
ESERCIZIO 2.
Proiezione ortogonale e riflessione di una retta su un piano Siano A(0,1,1), B(1,1,1), π:2x+y-z-2=0.
a) Determinare la proiezione ortogonale s della retta r passante per A e B su π.
b) Determinare la retta riflessione di r rispetto a π.
Poiché una retta è individuata da due suoi pti distinti, è sufficiente determinare le P.O. di due pti distinti di r.
Se un pto sta su π∩r coincide con la sua P.O.
Quindi controlliamo: B ∈π , A∉π
Determiniamo il pto Q P.O. su π di A:
Q: π ∩ q , con q retta per A con vettore direzionale u
q⊥π Allora si può prendere u
q= N
πN
π=(2,1,-1) = u
q, A(0,1,1)
q: °
¯
° ®
−
= +
= +
= t z
t y
t x
1 1
2 0
Q: π ∩ q :
° °
¯
° °
®
=
−
− +
−
= +
= +
=
0 2 2
1 1
2 0
z y x
t z
t y
t x
La retta s è il luogo dei pti Q proiezioni ortogonali su π dei pti P di r .
Q B s
π A r
q
5
Q:
° °
¯
° °
®
=
− +
− + +
−
= +
=
=
0 2 1 1 4
1 1 2
t t t
t z
t y
t x
° °
°
¯
°°
°
®
=
−
= +
=
=
3 1 1 1 2
t t z
t y
t x
Q ¸
¹
¨ ·
©
§ 3 , 2 3 , 4 3 2
Retta s : retta per Q ¸
¹
¨ ·
©
§ 3 , 2 3 , 4 3
2 e B(1,1,1)
B-Q = ¸
¹
¨ ·
©
= §
¸ ¹
¨ ·
©
§ − − −
3 , 1 3 - 1 3 , 1 3 1 2 3 , 1 4 3 ,
1 2
per semplificare i calcoli si può scegliere B-Q=(1,-1,1) ((1,-1,1) // ¸
¹
¨ ·
©
§
3 , 1 3 - 1 3 ,
1 )
s:
° ¯
° ®
+
=
−
= +
= t z
t y
t x
1 1 1
b)
E si trova la retta r
*per R e B(1,1,1): r
*:
° ¯
° ®
−
= +
= +
= t z
t y
t x
2 1
2 1
1
.
π s
r
B
r
* RA
Q
