1) per due punti distinti passa una sola retta

Matematica Discreta

Lezione del giorno 29 marzo 2010 La teoria dei piani proiettivi.

Diamo qualche cenno alla teoria della cosiddetta geometria proiettiva nel piano.

Nel piano “ordinario” (detto anche piano affine) le rette e i punti soddisfano (fra le altre) le seguenti proprietà:

1) per due punti distinti passa una sola retta

2) due rette distinte si intersecano in un solo punto se non sono parallele.

Per rendere più omogenea la seconda proprietà, ed evitare l’eccezione rappresentata dalle rette parallele, si può creare una nuova struttura di piano più “ampio” di quello ordinario (detto piano proiettivo). Si aggiungono in pratica ai punti “ordinari” dei punti “ideali” (detti punti all’infinito):

ne esiste uno per ogni fascio di rette parallele, ed ogni retta contiene, oltre ai punti “ordinari”, anche un punto all’infinito (che ha in comune con tutte le rette ad essa parallele); inoltre oltre alle rette

“ordinarie” si considera una retta “particolare” (detta retta all’infinito) i cui punti sono tutti i punti all’infinito delle diverse rette “ordinarie”.

In tale piano proiettivo sono allora verificate le seguenti proprietà:

1) per due punti distinti passa una sola retta

2) due rette distinte si intersecano in un solo punto (senza eccezioni).

Torniamo alla teoria dei 2-disegni.

Studieremo un particolare tipo di 2-disegni di parametri (v,k,r

), precisamente quelli in cui:

1) r

=1 (quindi ogni coppia di elementi è contenuta in 1 solo blocco) 2) l’intersezione di 2 qualunque blocchi distinti contiene un solo elemento.

Poiché in un tale 2-disegno i blocchi si comportano come le rette del piano proiettivo, e gli elementi come i punti del piano proiettivo (per 2 elementi “passa” un solo blocco e due blocchi distinti si intersecano in un solo elemento) si è deciso di chiamare piano proiettivo di parametri (v,k,1) un qualunque 2-disegno che soddisfi le proprietà 1),2) suddette, ed inoltre di chiamare rette i blocchi di tale 2-disegno, e punti gli elementi.

Nell’ultima lezione abbiamo visto 3 proprietà che un 2-disegno di parametri (v,k,r

) deve soddisfare. Nel caso di un piano proiettivo di parametri (v,k,1) esse diventano le seguenti:

(*) (k-1) è divisore di (v-1)

(**) k è divisore di v(v-1)/(k-1) (perché k è divisore del prodotto vr) (***) x = v(v-1)/k(k-1) 



 



 k v

ed inoltre x = v(v-1)/k(k-1) rappresenta il numero dei blocchi (cioè delle rette) del piano proiettivo..

Dunque se un piano proiettivo di parametri (v,k,1) si può costruire, le 3 proprietà suddette sono certamente verificate (anche se il verificarsi delle 3 proprietà non garantisce l’esistenza del piano proiettivo).

Esempio. Vediamo se è possibile costruire un piano proiettivo di parametri (7,3,1) (quindi vi sono 7 punti nel piano; ogni retta contiene 3 punti; per 2 punti passa una sola retta; due rette distinte si incontrano in un solo punto).

Le 3 proprietà (*),(**),(***) sono verificate ed x=v(v-1)/k(k-1)=7 sarà il numero dei blocchi, cioè

delle rette del piano proiettivo.

Un modo per costruirlo potrebbe essere il seguente: numeriamo i 7 punti con 0,1,2,3,4,5,6 e costruiamo i seguenti blocchi (rette)

{1,2,4}, {0,4,5}, {1,5,6}, {2,3,5}, {3,4,6}, {0,1,3}, {0,2,6}.

Una rappresentazione grafica di tale piano proiettivo é la seguente:

In tale rappresentazione i 7 punti sono i 3 vertici del triangolo, i 3 punti medi dei lati e il centro;

invece le 7 rette sono le terne di punti sui 3 lati del triangolo, sulle 3 mediane e sulla circonferenza inscritta.

Anche graficamente si può verificare facilmente che per 2 punti passa una sola retta e che due rette distinte si incontrano in un solo punto.

Dimostreremo ora una importante proprietà dei piani proiettivi.

Ricordiamo che, per un risultato già dimostrato, un piano proiettivo, essendo un 2-disegno di parametri (v,k,r

=1), é in particolare anche un disegno di parametri (v,k,r) dove

r = r

(v-1)/(k-1) = (v-1)/(k-1)

Dunque, in un piano proiettivo di parametri (v,k,1), ogni punto appartiene ad r=(v-1)/(k-1) rette (dunque per ogni punto passano (v-1)/(k-1) rette).

Per esempio nel piano proiettivo di parametri (7,3,1) esaminato sopra si può notare che per ognuno dei 7 punti passa un numero di rette uguale a (v-1)/(k-1)=6/2=3, come previsto teoricamente.

Ma in questo esempio notiamo anche che il numero r=3 (numero delle rette che passano per ogni punto) coincide con il numero k (numero di punti su ogni retta).

Ciò non é casuale:

Teorema. In un piano proiettivo di parametri (v,k,1), considerato anche come disegno di parametri (v,k, r=(v-1)/(k-1)), si ha necessariamente r=k.

(in pratica tale Teorema afferma appunto che il numero k di punti di ogni retta coincide con il numero r di rette che passano per ogni punto)

Dimostrazione.

Abbiamo già notato che ogni punto appartiene esattamente ad r rette, ed ogni retta contiene esattamente k punti.

Fissiamo una retta X (dunque di cardinalità k) ed un punto x non appartenente ad essa.

Sia poi Y={X

, X

,….,X

} l’insieme delle r rette distinte che passano per x. Definiamo la funzione f:

X  Y associando al generico punto zX la retta X

passante per i punti x,z (sappiamo che essa è unica perché per due punti passa una sola retta, dunque quella definita è effettivamente una funzione).

Tale funzione è iniettiva: infatti se per assurdo fosse f(z)=f(w)=X

, con z,w punti distinti della retta

X, per costruzione XX

conterrebbe i punti distinti z,w, contraddizione (2 rette si intersecano solo

in un punto). La funzione f è anche surgettiva: infatti qualunque sia la retta X

Y (cioé passante per

il punto x), l’intersezione XX

contiene un singolo punto z, ed è ovvio che f(z)=X

(perché X

è appunto la retta passante per x,z). Essendo f biunivoca, si ha X= k = Y = r.

Dunque, in un piano proiettivo coincidono: il numero k di punti in ogni retta, e il numero r di rette passanti per ogni punto.

Dalla teoria dei disegni sappiamo però che il numero delle rette (blocchi) in un piano proiettivo è:

x = (vr)/k = v

(dunque il numero x di rette è uguale al numero totale v di punti del piano).

Tutte queste considerazioni ci portano ad affermare che in un piano proiettivo i punti e le rette hanno proprietà speculari (é il cosiddetto principio di dualità):

1) il numero di punti v nel piano é uguale al numero delle rette nel piano

2) il numero k di punti su ogni retta coincide con il numero r di rette passanti per un punto 3) per 2 punti distinti passa 1 sola retta e 2 rette distinte si intersecano in 1 solo punto

Cercheremo ora di esprimere i parametri di un piano proiettivo in funzione di 1 singolo parametro.

Sia dato un piano proiettivo di parametri (v,k,1). Abbiamo già notato che k = r = (v-1)/(k-1), da cui k(k-1) = v-1 v = k(k-1)+1

Se poniamo allora n = k-1 possiamo esprimere tutti i parametri in funzione di n:

k = n+1 , v = k(k-1)+1 = n(n+1)+1 = n

+n+1

Il numero naturale n così definito è detto ordine del piano proiettivo: dunque un piano proiettivo di ordine n è un 2-disegno di parametri (v=n

+n+1, k=n+1, r

=1) ed è anche un disegno di parametri (v=n

+n+1, k=n+1, r=n+1).

Riassumendo:

in un piano proiettivo di ordine n: il numero di punti (e anche il numero di rette) in totale è n

+n+1;

ogni retta contiene n+1 punti; per ogni punto passano n+1 rette; due rette distinte si incontrano esattamente in un punto; per due punti distinti passa una e una sola retta.

L’esempio (citato sopra) di piano proiettivo di parametri (7,3,1) é dunque un esempio di piano proiettivo di ordine n=2 (perché n=k-1=3-1=2).

Il problema che si posero i matematici (fin dall’inizio del ‘900) fu allora il seguente: per quali valori di n esiste un piano proiettivo di ordine n ?

E’ facile costruire un piano proiettivo di ordine n=1; la sua rappresentazione grafica é un triangolo in cui i 3 punti sono i vertici del triangolo e le 3 rette sono le 3 coppie di punti sui 3 lati:

Per n=2 abbiamo visto sopra un esempio di piano proiettivo.

Anche per n=3,4,5 si può costruire un piano proiettivo di ordine n e di alcuni di questi piani proiettivi si possono dare delle suggestive rappresentazioni grafiche.

Per esempio per un piano proiettivo di ordine n=3 (quindi nel quale il numero dei punti ed il

numero di rette è v=3

+3+1=13, il numero di punti su ogni retta è k=3+1=4) esiste la seguente

rappresentazione grafica (in cui è facile individuare opportunamente le “rette”):

Per lo stesso piano proiettivo esiste una rappresentazione più “simmetrica”:

(in questa però gli 8 punti sulla circonferenza esterna devono essere identificati a coppie

“fondendo” insieme i punti simmetrici rispetto al centro)

Ecco una rappresentazione grafica per un piano proiettivo ordine 4 (anche in questa in cui si devono

individuare opportunamente le “rette”):

Ma dopo avere risolto positivamente i casi di ordine n5, fu posto il problema:

esiste un piano proiettivo di ordine n=6 ?

Si trattava (se possibile) di costruire un piano con n

+n+1=6

+6+1=43 punti, e con 43 rette (ognuna contenente n+1=6+1=7 punti), in modo che per ogni coppia di punti passasse 1 sola retta e 2 rette si intersecassero in 1 solo punto.

Nessuno però, nella prima parte del ‘900, riusciva a costruire un tale piano proiettivo, ma neanche a dimostrare che fosse impossibile tale costruzione..

Un impulso essenziale alle ricerche si ebbe nel 1938, quando Bose scoprì una strana relazione fra la teoria dei piani proiettivi ed una vecchia teoria nata da un problema noto già di tempi di Eulero (alla fine del ‘700): “il problema dei 36 ufficiali”.

In un articolo del 1792 Eulero affermò di essersi imbattuto nel seguente problema che lo aveva molto interessato:

vi sono 36 ufficiali di 6 gradi e 6 reggimenti differenti (sono presenti tutte le possibili coppie grado-

reggimento); se essi devono sfilare in parata disponendosi in un quadrato con 6 righe e 6 colonne, è

possibile fare in modo che in nessuna riga (e in nessuna colonna) vi siano ufficiali dello stesso

grado o dello stesso reggimento ?