E) e di 150 nell’area asiatica (tra 40

(1)

Manutenzione aerea

La Boeing deve costruire 5 centri di manutenzione aerea che servano l’area euro-asiatica. Il costo di costruzione di ogni centro `e di 300 milioni di euro nell’area europea (tra 20

^◦

W e 40

^◦

E) e di 150 nell’area asiatica (tra 40

^◦

E e 160

^◦

E), come nella figura sotto. Ogni centro pu`o servire 60 aviogetti/anno.

I centri dovranno servire gli aeroporti dove si concentrano i maggiori clienti Boeing, come dettagliato nella tabella sotto (nome dell’aeroporto, coordinate geografiche, numero atteso di aviogetti/anno che avranno bisogno di manutenzione).

Aeroporto Coordinate N. aviogetti

London Heathrow 51

^◦

N 0

^◦

W 30

Frankfurt 51

^◦

N 8

^◦

E 35

Lisboa 38

^◦

N 9

^◦

W 12

Z¨ urich 47

^◦

N 8

^◦

E 18

Roma Fiumicino 41

^◦

N 12

^◦

E 13

Abu Dhabi 24

^◦

N 54

^◦

E 8

Moskva Sheremetyevo 55

^◦

N 37

^◦

E 15

Vladivostok 43

^◦

N 132

^◦

E 7

Sydney 33

^◦

S 151

^◦

E 32

Tokyo 35

^◦

N 139

^◦

E 40

Johannesburg 26

^◦

S 28

^◦

E 11

New Dehli 28

^◦

N 77

^◦

E 20

Il costo totale di un centro di manutenzione `e dato dal costo di costruzione sommato al costo atteso di servizio. Il costo di servizio di ogni aviogetto dipende linearmente dalla distanza che questo deve coprire per raggiungere il centro di manutenzione, con una costante di proporzionalit`a di 50 euro/Km. Si assume che la terra sia una sfera perfetta e che la distanza pi` u breve tra due punti di coordinate geografiche (δ

1

, ϕ

1

) e (δ

2

, ϕ

2

) sia data da:

d(δ

1

, ϕ

1

, δ

2

, ϕ

2

) = 2r asin s

sin

²

δ

1

− δ

2

2 + cos δ

1

cos δ

2

sin

²

ϕ

1

− ϕ

2

2 ,

dove r, il raggio terrestre, `e di 6371Km.

Si formuli un modello di PNL per decidere dove localizzare i centri di manutenzione minimizzando i costi dell’operazione.

1

(2)

Soluzione

1. Indici:

• i ≤ n = numero di centri di servizio

• j ≤ m = numero di aeroporti 2. Parametri:

• δ

j

: latitudine dell’aeroporto j

• ϕ

j

: longitudine dell’aeroporto j

• A

j

: numero atteso di aviogetti/anno dall’aeroporto j

• r: raggio terrestre

• P : capienza dei centri (in numero di aviogetti)

• C

1

: costo di costruzione tra 20

^◦

W e 40

^◦

E

• C

2

: costo di costruzione tra 40

^◦

E e 160

^◦

E

• α: costante di proporzionalit`a tra distanza e costo 3. Variabili:

• x

i

: latitudine del centro i (90

^◦

S ≤ x

i

≤ 90

^◦

N)

• y

i

: longitudine del centro i (20

^◦

W ≤ y

i

≤ 160

^◦

E)

• d

ij

: distanza geodesica tra il centro i e l’aeroporto j (d

ij

≥ 0)

• w

ij

: numero di aviogetti destinati al centro i e provenienti dall’aeroporto j (0 ≤ w

ij

≤ A

j

)

• z

i

= 1 se il centro i `e costruito tra 20

^◦

W e 40

^◦

E, 0 altrimenti 4. Funzione obiettivo:

min X

i≤n



C

1

z

i

+ C

2

(1 − z

i

) + α X

j≤m

w

ij

d

ij





5. Vincoli:

• distanze

d

ij

= 2r asin s

sin

²

x

i

− δ

j

2 + cos x

i

cos δ

j

sin

²

y

i

− ϕ

j

2 ∀i ≤ n, j ≤ m;

• manutenzione sugli aviogetti

X

i≤n

w

ij

= A

j

∀j ≤ m;

• capienza dei centri

X

j≤m

w

ij

≤ P ∀i ≤ n;

• definizione di z

y

i

− 40

^◦

≤ 360

^◦

z

i

∀ i ≤ n

• dominˆı delle variabili

x

i

, y

i

, d

ij

∈ R

+

∀ i ≤ n, j ≤ m w

ij

∈ Z

⁺

∀ i ≤ n, j ≤ m

z

i

E) e di 150 nell’area asiatica (tra 40

Manutenzione aerea

La Boeing deve costruire 5 centri di manutenzione aerea che servano l’area euro-asiatica. Il costo di costruzione di ogni centro `e di 300 milioni di euro nell’area europea (tra 20

W e 40

E) e di 150 nell’area asiatica (tra 40

E e 160

E), come nella figura sotto. Ogni centro pu`o servire 60 aviogetti/anno.

I centri dovranno servire gli aeroporti dove si concentrano i maggiori clienti Boeing, come dettagliato nella tabella sotto (nome dell’aeroporto, coordinate geografiche, numero atteso di aviogetti/anno che avranno bisogno di manutenzione).

Aeroporto Coordinate N. aviogetti

London Heathrow 51

N 0

W 30

Frankfurt 51

N 8

E 35

Lisboa 38

N 9

W 12

Z¨ urich 47

N 8

E 18

Roma Fiumicino 41

N 12

E 13

Abu Dhabi 24

N 54

E 8

Moskva Sheremetyevo 55

N 37

E 15

Vladivostok 43

N 132

E 7

Sydney 33

S 151

E 32

Tokyo 35

N 139

E 40

Johannesburg 26

S 28

E 11

New Dehli 28

N 77

E 20

, ϕ

) e (δ

, ϕ

) sia data da:

d(δ

, ϕ

, δ

, ϕ

) = 2r asin s

sin

 δ

− δ

2



+ cos δ

cos δ

sin

 ϕ

− ϕ

2

 ,

dove r, il raggio terrestre, `e di 6371Km.

Si formuli un modello di PNL per decidere dove localizzare i centri di manutenzione minimizzando i costi dell’operazione.

1

Soluzione

1. Indici:

• i ≤ n = numero di centri di servizio

• j ≤ m = numero di aeroporti 2. Parametri:

• δ

: latitudine dell’aeroporto j

• ϕ

: longitudine dell’aeroporto j

• A

: numero atteso di aviogetti/anno dall’aeroporto j

• r: raggio terrestre

δ

ϕ

,

x

y