2) Calcolare, se esiste,

A.A. 2008/2009 – 17 dicembre 2008

1) Trovare il dominio e gli insiemi di continuit`a e derivabilit`a della funzione

f (x) = ln |x + 2|

x .

2) Calcolare, se esiste,

x→0 lim

1 + sin x − cos x − x x − ln(1 + x) .

3) Calcolare, se esistono, Z ₁

0

x ³ + 1 x ² + 1 dx e

Z ₀

−∞

x ² e ^x dx.

4) Dire se convergono le serie

X ∞

n=1

π ⁿ + sin n 4 ⁿ − e ⁻ⁿ e

X ∞

n=1

cos n 3 − n ln ² n

5) Commentare le affermazioni seguenti:

• ogni insieme illimitato ha almeno un punto di accumulazione;

• se f : A → R `e continua, allora f `e integrabile secondo Riemann in A;

• se una funzione f definita in un compatto K non `e l`ı integrabile secondo Riemann, allora f `e illimitata in K.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

A.A. 2008/2009 – 3 febbraio 2009

1) Trovare il dominio e gli insiemi di continuit`a e derivabilit`a della funzione f (x) = e

.

2) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 della funzione

f (x) = e ^x

− cos x − sin x + x.

3) Calcolare, se esistono, Z _π

0

x cos(x ² ) dx e Z _∞

1

arctan x x ² dx.

4) Dire se convergono le serie

X ∞ n=1

sin n n ² + (−1) ⁿ e

X ∞ n=1

cos n + n!

3 − n ⁿ

5) Commentare le affermazioni seguenti:

• se x `e un punto di accumulazione di A, allora x ∈ A; ^◦

• se a n ≤ b n definitivamente e P

b n converge, allora P

a n converge;

• ogni successione illimitata tende a +∞ o a −∞.

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2008/2009 – 24 febbraio 2009

1) Calcolare dominio, insieme di continuit`a, insieme di derivabilit`a e derivata prima della funzione

f (x) = ln µ

arctan x x ² + 1

¶ .

2) Studiare la convergenza delle serie seguenti:

X ∞ n=1

√ n sin n ² n ² + cos n e

X ∞ n=1

sin n!

n! − sin n .

3) Calcolare, se possibile, i seguenti integrali:

Z ₂

1

x ³ + 2 x ³ + x dx e

Z _∞

1

cos(1/x) x ² dx.

4) Commentare le affermazioni seguenti:

• Se (a n ) n `e una successione limitata, allora a n sin 1 n → 0;

• se f : R → R `e convessa, allora ha minimo;

• se A ⊂ R `e tale che sup A = ∞, allora inf A = −∞;

• se x 0 ∈ ¯ A, allora x 0 `e di accumulazione per A.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2008/2009 – 16 giugno 2009

1) Calcolare dominio, insieme di continuit`a, insieme di derivabilit`a e derivata prima della funzione f (x) = √

ln x + 1.

2) Studiare la convergenza delle serie seguenti:

X ∞ n=1

3 ⁿ⁺² − √ n 6 ⁿ − cos n e

X ∞ n=1

n ⁵ − ln n n! − ln ² n .

3) Calcolare, se possibile, i seguenti integrali:

Z ₁

0

x ³ − x x ² + 1 dx e

Z _π

0

x sin x dx.

4) Calcolare l’ordine di infinitesimo della funzione

f (x) = arctan sin(x ² ) − cos x + 1.

5) Commentare le affermazioni seguenti:

• Se a n → L ∈ R, allora L `e di accumulazione per l’insieme {a n , n ∈ N};

• se f : R → R `e C <sup>1</sup> in R \ {x 0 }, allora f non `e continua in in x 0 ;

• se A ⊂ R `e illimitato, allora R \ A `e limitato;

• f `e integrabile in [1, 3], allora f `e continua nel punto 2.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2008/2009 – 3 luglio 2009

1) Calcolare dominio, insieme di continuit`a, insieme di derivabilit`a e derivata prima della funzione f (x) = ln( √

x + 1).

2) Studiare la convergenza delle serie seguenti:

X ∞ n=1

cos √ n n ² − sin n e

X ∞ n=1

n ⁵ − ln n n ² + n .

3) Calcolare, se possibile, i seguenti integrali:

Z ₁

0

x

(x + 1)(x + 2) ² dx e Z ₁

0

√ 1 x( √

x + 1) dx.

4) Calcolare, se esiste,

x→0 lim

2 + sin x ² − 2 cos x

x ³ .

5) Commentare le affermazioni seguenti:

• se A ⊂ R non `e chiuso, allora `e aperto;

• se f : R → R `e convessa, allora f `e integrabile secondo Riemann in [0, 1];

• se |a n | → |L|, allora a n → L.

N.B. Giustificare tutte le risposte!