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GIUSTIFICARE LE RISPOSTE.

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Teoria dei giochi applicata alle scienze sociali, esame 23 settembre 2008 foglio A

Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale, Politecnico di MI, 2007/08

Tempo: 2 ore e 1/2; risolvere 3 dei 4 esercizi proposti; le risposte agli esercizi 3 e 4 non possono superare le due pagine; non ` e consentito l’uso di testi, appunti, etc...

GIUSTIFICARE LE RISPOSTE.

Non scrivere la soluzione di esercizi diversi su uno stesso foglio.

Esercizio 1 A

Tre giocatori I , II e III devono scegliere contemporaneamente tra le alternative A e B.

Se i giocatori I e II scelgono alternative differenti pagano un’unit` a ciascuno al giocatore III ; se si coordinano con una scelta differente da quella del giocatore III ricevono da questo un’unit` a ciascuno altrimenti tutti i giocatori hanno un’utilit` a nulla.

a. Scrivere la forma estesa del gioco.

b. Scrivere la forma strategica del gioco.

c. Determinare gli eventuali equilibri di Nash in strategie pure.

Soluzione

a. Una possibile forma estesa ` e la seguente (altre si possono trovare, in particolare, mutando l’ordine con cui i giocatori si susseguono):































 













 A

A

A A

A A

A

 A















III III III III

A B A B A B A B

   

H H H H

   

H H H

 H







II II

A B A B

    

X X X X X X X X

 X



A I B

(0,0,0) (1,1,-2) (-1,-1,2)(-1,-1,2) (-1,-1,2)(-1,-1,2) (1,1,-2) (0,0,0)

b. La forma strategica ` e:

III = A III = B

I/II A B

A 0, 0, 0 −1, −1, 2 B −1, −1, 2 1, 1, −2

I/II A B

A 1, 1, −2 −1, −1, 2 B −1, −1, 2 0, 0, 0

c. Gli equilibri di Nash in strategie pure sono (A, A, A) e (B, B, B).

Esercizio 2 A

Si consideri il seguente gioco in forma strategica:

(2)

I /

II L C R

T 1 1 6 2 7 3

M 2 6 4 4 8 5

B 3 7 5 9 9 8

a. Ci sono strategie dominanti o dominate? Quali sono?

b. Se ne pu` o trovare la soluzione per eliminazione iterata di strategie dominate?

c. Trovarne almeno un equilibrio di Nash, in strategie pure o miste.

Soluzione

a. La strategia M ` e fortemente dominata da B. Altre relazioni di dominanza fra le strategie di I non ce ne sono. Non ci sono relazioni di dominanza fa le strategie di II.

b. Eliminata M , la strategia L risulta essere fortemente dominata da C e da R per II. Dopo aver eliminato M ed L, non sussiste pi` u alcuna relazione di dominanza fa le strategie, n´ e per I, n´ e per II. Quindi, l’eliminazione iterata di strategie dominate non individua univocamente un profilo (una coppia) di strategie.

c. Il gioco dato non ha equilibri in strategie pure, come si vede dalla descrizione della “best reply” evidenziata nella tabella seguente.

I /

II L C R

T 1 1 6 2 7 3

M 2 6 4 4 8 5

B 3 7 5 9 9 8

C’` e un equilibrio in strategie miste, che prevede che I giochi T e B con probabilit` a 1/2 (ed M con probabilit` a 0), e che II giochi C con probabilit` a 2/3 e R con probabilit` a 1/3 (ed L con probabilit` a 1/3).

Per trovarlo, ci si restringe al gioco depurato delle strategie iterativamente dominate. In- dicando con p la probabilit` a assegnata a T e q quella assegnata a C, i payoff attesi sono:

- per I, p(3q − 2) − (4q + 9) - per II, q(1 − 2p) − (5p + 8)

Da qui si deduce facilmente quali siano le migliori risposte per I e per II, che rappresen-

tiamo nel disegno seguente:

(3)

- 6

I II

1

2 3

1 2

1

g

best reply di I

best reply di II

g

equilibrio di Nash

Esercizio 3 A

Dopo aver introdotto uno o due esempi significativi, commentare come il fatto che il nucleo di un gioco TU sia vuoto o meno possa influenzare il comportamento dei giocatori.

Esercizio 4 A

Fornire un esempio di equilibrio perfetto nei sottogiochi che sia inefficiente, ed un esempio di

equilibrio di Nash che sia paretianamente dominato da un altro equilibrio di Nash. Commentare.

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