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Giustificare le risposte; consegnare soltanto la bella copia.
Risolvere almeno 4 dei seguenti esercizi.
Tra i punti della forma (t + 2, 3t − 1) determinare quello equidistante dall’origine e dal punto (5, 5).
p((t + 2) − 0)2+ ((3t − 1) − 0)2=p
((t + 2) − 5)2+ ((3t − 1) − 5)2 ⇒ t = 40 40 = 1 . Sostituendo il valore trovato otteniamo il punto (3, 2).
Calcolare l’inversa della matrice
L =
1 0 2
4 −2 6 3 −2 0
.
1 0 2 1 0
4 −2 6 4 −2
3 −2 0 3 −2
,
per poi effettuare il calcolo 0 + 0 − 16 − (−12 − 12 + 0) = 8. Costruiamo ora la trasposta di L,
Lt=
1 4 3
0 −2 −2
2 6 0
. Con l’aiuto di Lte della scacchiera 3 × 3,
+ − +
− + −
+ − +
,
ricaviamo – grazie al metodo ben noto – i 9 numeri che divisi per 8 formeranno la matrice inversa richiesta. Otteniamo:
L−1 = 1 8
12 −4 4
18 −6 2
−2 2 −2
=
3
2 −12 12
9
4 −34 14
−14 14 −14
.
Calcolare le coordinate del vettore 6−→ i + 8−→
j rispetto alla base {−→ i +−→
j ,−→ i −−→
j }.
h + k = 6 h − k = 8 .
1
La soluzione, h = 7 e k = −1, d`a le due coordinate richieste.
Verificare il teorema di Binet per il prodotto
1 4 0 −4
7 1 6 2
.
24 4 6 −26
il cui determinante `e uguale a −624 − 24 = 648. D’altra parte, moltiplicando i due singoli determi- nanti otteniamo −27 · 24 = −648.
Calcolare la proiezione ortogonale del punto P = (6, 2) sulla retta r di equazione y = 4x.
−t + 2 = 4(4t + 6) ⇒ 17t = −22 ⇒ t = −22 17 .
La t trovata rappresenta l’istante in cui il punto mobile, sulla retta ortogonale a r e passante per P , incontra r. In tale istante il punto corrispondente `e
4
−22 17
+ 6,22 17 + 2
= 14 17,56
17
.
Determinare il coseno del’angolo α formato dai vettori 2−→u + 3−→v , −→u − 6−→v , essendo {−→u , −→v } una base ortogonale.
cos α = (2−→u + 3−→v ) × (−→u − 6−→v )
||2−→u + 3−→v || · ||−→u − 6−→v || = (2, 3) × (1, −6)
||(2, 3)|| · ||(1, −6)|| = 2 − 18
√13√
37 = − 16
√481 .
Dato un riferimento Oxy, scrivere la legge del cambiamento di coordinate relativa alla rotazione antioraria di 45◦. Come viene trasformata l’equazione della retta y = x?
x y
=
√ 2
2 −
√ 2
√ 2 2 2
√ 2 2
! X Y
. Separando le due componenti otteniamo
x =
√ 2 2 X −
√ 2
2 Y , y =
√ 2 2 X +
√ 2 2 Y . Sostituendole nell’equazione originale otteniamo
√2 2 X +
√2 2 Y =
√2 2 X −
√2 2 Y , che pu`o essere ridotta alla forma
X = 0 .
2
