  Università degli Studi di Siena

(1)

Università degli Studi di Siena

Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2019-20) 4 febbraio 2020

Compito  

      ) _ _ , da   _ _    _ si ottiene     _   e

            ;   e da         si ha

                  ;  .    e

           .

) Nel primo caso (scelta libera), le prime tre cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti cinque in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ ^_      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra

), le prime tre cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti cinque in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ .

) Di seguito il grafico della funzione.

0 0,5 1 1,5 2 2,5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

grafico funzione

; .

                    

                 

           

)

 

.

     

  

    

  

        

                

                   

  



  

     .

                    ) : ; .

Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero  

  



(^     ). Funzione positiva in   , negativa in    .

          .   . Limiti agli estremi del :

   





          



; di equazione ;

 

  ^   ^

 

                

 

; ; di equazione ;

   





                  

 ; perché   per , no ;

 

       

 

               



  ; perché     per

   , no   .

(2)

flesso implica che la funzione è strettamente concava in    , strettamente convessa in   .

Grafico:

-150 -100 -50 0 50 100 150 200

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

grafico funzione

                  

)  _ ^ 



  ^ ^ 



         

^



7) La funzione proposta è un polinomio di secondo grado, continua e derivabile su tutto l'insieme , quindi è continua e derivabile anche nell'intervallo proposto.

                        

   

       

 

, , e ^ ; per

determinare  è necessario risolvere l'equazione            . 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione            .

  

     _^ 

        ,         ^ ^ ^         ,

         . Equazione del piano tangente:

               , oppure       .

Compito  

      ) _ _ , da   _ _    _ si ottiene   _    _ e

            ;   e da         si ha

                  ;  .    e

    _ _ _     .

(3)

) Nel primo caso (scelta libera), le prime quattro cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti quattro in _^ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ ^_      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra

), le prime quattro cifre si possono scegliere ancora in _^ modi distinti, mentre le restanti quattro in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ .

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

grafico funzione

          ;

                 .

                     

      

)

 

.

     

   

  



  

        

              

                   



  

    

   .

                        ) : ; .

Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero

  



     ( ^     ). Funzione positiva in     , negativa in

              . .   . Limiti agli estremi del :

   





                  



; perché   per , no ;

 

       

 

               



  ; perché     per

   , no   ;

 

   ^    ^

 

                 

 

; ; di equazione ;

   





          



; di equazione .

Crescenza e decrescenza:                    .

     

   

 

    

   

  ^ se          . Funzione strettamente crescente in     , strettamente decrescente in      e in     . Massimo relativo in

    pari a        ^.

Concavità e convessità: l'esistenza dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale destro insieme al punto di massimo di coordinate      ^ e all'assenza di punti di flesso implica che la funzione è strettamente concava in     , strettamente convessa in     .

(4)

-100 -80 -60 -40 -20

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0 1 2

                

)  _ ^ 



  ^ ^ 



         

^ 



                        

   

       

 

, , e ^ ; per

determinare _ è necessario risolvere l'equazione           _ . 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione            .

  

     _^ 

         ,  ^            ^ ^   ^  ^ ,

        . Equazione del piano tangente:               , oppure       .

Compito  

      ) _ _ , da   _ _      _ si ottiene   _     _ e

            ;   e da         si ha

                    ;  .    e

           .

) Nel primo caso (scelta libera), le prime due cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti quattro in _^ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ ^_      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra ), le prime due cifre si possono scegliere ancora in _^ modi distinti, mentre le restanti quattro in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ .

(5)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

grafico funzione

; .

                    

                 

           

)

 

.

     

  

    

  

        

              

                   



  

    

   .

                    ) : ; .

Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero  

  



(     ^ ). Funzione positiva in   , negativa in    .

          .   . Limiti agli estremi del :

   





          



; di equazione ;

 

  ^   ^

 

                

 

; ; di equazione ;

   





                  

 ; perché   per , no ;

 

       

 

               

 

  ; perché     per

   , no   .

Crescenza e decrescenza:                .

     

   

 

   

  ^ se         . Funzione strettamente crescente in   , strettamente decrescente in     e in  . Minimo relativo in    pari a

     ^.

Concavità e convessità: l'esistenza dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale sinistro insieme al punto di minimo di coordinate   ^ e all'assenza di punti di flesso implica che la funzione è strettamente concava in    , strettamente convessa in   .

(6)

-80 -60 -40 -20 0 20

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

                

)  _ ^ 



  ^ ^ 



        

^ 



                      

   

       

 

, , e ^ ; per determinare _ è

necessario risolvere l'equazione         _ .

8) Il piano tangente alla superficie ha equazione            .

  

     _^ 

           ,   ^     ^  ^           ^ ^,

        . Equazione del piano tangente:             , oppure

       .

Compito  

      ) _ _ , da   _ _    _ si ottiene   _    _ e

            ;   e da         si ha

                  ;  .    e

    _ _ _     .

) Nel primo caso (scelta libera), le prime tre cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti tre in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra ), le prime tre cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti tre ancora in

^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ ^_     ^ ^ .

(7)

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

grafico funzione

; .

                  

                 

        

)

 

.

     

 ^  ^ ^



  

           

                  

                 

  



    

     .

                           

  

) : ; .



Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero

  



     ( ^     ). Funzione positiva in     , negativa in

              . .   . Limiti agli estremi del :

   





                  

 ; perché   per , no ;

 

       

 

               



  ; perché     per

   , no   ;

 

   ^    ^

 

                 

 

; ; di equazione ;

   





          



; di equazione .

Crescenza e decrescenza:                    .

     

   

 

    

   

  ^ se          . Funzione strettamente crescente in

    , strettamente decrescente in      e in     . Massimo relativo in     pari a        ^.

Concavità e convessità: l'esistenza dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale destro insieme al punto di massimo di coordinate      ^ e all'assenza di punti di flesso implica che la funzione è strettamente concava in     , strettamente convessa in     .

(8)

-200 -150 -100 -50 0

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

                

)  _ ^ 



  ^ ^ 



         

^ 



                      

   

       

 

, , e ^ ; per determinare _ è

necessario risolvere l'equazione          .

  

     _^ 

         ,  ^               ^ ^ ,    . Equazione del piano tangente:                 , oppure

      .

Compito  

      ) _ _ , da   _ _    _ si ottiene     _   e

            ;   e da         si ha

                  ;  .    e

    _ _ _     .

) Nel primo caso (scelta libera), le prime tre cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti sette in _^ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ ^_      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra ), le prime tre cifre si possono scegliere ancora in  ^_ modi distinti, mentre le restanti sette in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ .

(9)

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

; .

                         

                

             

)

 

.

     

  

    

  

        

                

                   

  



  

     .

                    ) : ; .

Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero  

  



(     ^ ). Funzione positiva in    , negativa in   .

         .   . Limiti agli estremi del :

   





          



; di equazione ;

 

  ^   ^

 

                

 

; ; di equazione ;

   





                  



; perché   per , no ;

 

       

 

               

 

  ; perché     per

   , no   .

Crescenza e decrescenza:                 .

     

   

 

     

   

  ^ se         . Funzione strettamente crescente in     e in

 , strettamente decrescente in   . Massimo relativo in    pari a

      ^.

Concavità e convessità: l'esistenza dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale sinistro insieme al punto di massimo di coordinate    ^ e all'assenza di punti di flesso implica che la funzione è strettamente convessa in    , strettamente concava in   .

(10)

-80 -60 -40 -20 0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

                

)  _ ^ 



  ^ ^ 



         

^ 



                      

   

       

 

, , e ^ ; per determinare

_ è necessario risolvere l'equazione          _ .

  

     _^ 

          ,  ^{}    ^ ^     ,

         . Equazione del piano tangente:

                , oppure       .

Compito  

      ) _ _ , da   _ _      _ si ottiene   _     _ e

            ;   e da         si ha

                   ;  .    e          .

) Nel primo caso (scelta libera), le prime quattro cifre si possono scegliere in^_

modi distinti, mentre le restanti tre in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto ^_ _^      ^ ^ . Nel secondo caso (assenza della cifra

), le prime quattro cifre si possono scegliere in ^_ modi distinti, mentre le restanti tre in ^_ modi distinti; le possibili targhe sono pertanto

^_ ^_      ^ ^ .

(11)

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

grafico funzione

; .

                      

                     

        

)

 

.

    ^    ^  ^



  

        

              

                   



  

    

   .

                    ) : ; .

Segno ed intersezioni con gli assi:    se          ovvero  

  



(^     ). Funzione positiva in    , negativa in   .

         .   . Limiti agli estremi del :

   





                  

 ; perché   per , no ;

 

       

 

               

 

  ; perché     per

   , no   ;

 

  ^   ^

 

                

 

; ; di equazione ;

   





          



; di equazione .

Crescenza e decrescenza:                    .

     

   

 

      

   

  ^ se         . Funzione strettamente decrescente in    , strettamente crescente in   e in   . Minimo relativo in    pari a

     ^.

Concavità e convessità: l'esistenza dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale destro insieme al punto di minimo di coordinate   ^ e all'assenza di punti di flesso implica che la funzione è strettamente convessa in    , strettamente concava in   .

(12)

-3 -2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

                

)  _ ^ 



  ^ ^ 



         

^ 



                       

   

       

 

, , e ^ ; per determinare

_ è necessario risolvere l'equazione           _ .

  

     _^ 

         ,  ^              ^  ^,         . Equazione del piano tangente:                , oppure

       .