Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 11 ottobre 2014
Compito unico
") Primo metodo: da E ∪ G © F deriva che E © F quindi E ∩ F œ E, ne consegue banalmente che E © G perché E ∩ F © G .
Secondo metodo: tramite la tavola di appartenenza:
E F G E ∩ F E ∪ G E ∩ F © G E ∪ G © F E © G
− − − − − Z Z Z
− − Â − − J
− Â − Â − Z J
− Â Â Â − Z J
 − −  − Z Z Z
 −    Z Z Z
  −  − Z J
     Z Z Z
Dato che E ∩ F © G e E ∪ G © F sono entrambe vere consideriamo solo le righe 1,5,6 e 8; come è facile notare nell'ultima colonna nei quattro casi rilevanti l'inclusione E © G risulta verificata e possiamo concludere con certezza che E © G.
#) La parola Q IHMGS è formata da sei lettere tutte distinte quindi i suoi anagrammi possibili sono 'x œ (#!, mentre la parola Q ER MGE è formata da sei lettere nelle quali la lettera si presenta due volte, i suoi anagrammi possibili sono E 'xÎ#x œ $'!.
$) La condizione indica semplicemente la continuità di in tutto l'asse reale, la+ 0 condizione stabilisce che nei punti e il grafico della funzione taglia l'asse delle, ! "
ascisse, infine la condizione equivale a - lim 0 ÐBÑ œ ! ∞. Un possibile grafico è
BÄ$∞
riportato a sinistra dopo l'esercizio .&
% =/8 B $ œ J M > œ B !
)
lim
B ! . Tramite la sostituzione si ottiene:BÄ
! 1 !
1
1 1
lim lim lim
BÄ1 >Ä! >Ä!
=/8 B $ =/8 > $ # =/8 >
B ! 1 œ > 1 œ > œ "
1 .
BÄ$∞
lim
B /Œ" $ " œ / /
B
.
& C œ " ! B GÞIÞ B Á ! GÞIÞ œ Ó ! ∞ß !Ò ∪ Ó!ß $ ∞Ò
) B : ; .
#
Segno: C 1 !ß " ! B 1 ! ß R À " ! B 1 ! Ê B 4 " Ê ! " 4 B 4 " HÀ B 1 !. . B
# # #
C 1 ! per B 4 ! " ” ! 4 B 4 " C 4 !; per ! " 4 B 4 ! ” B 1 ". Intersezioni: la funzione non ha intersezione con l'asse delle ordinate perché
!  GÞIÞ C œ " ! B Ê " ! B œ ! Ê Ê
B B
C œ ! C œ !
" ! B œ ! C œ !
B œ „ "
C œ !
; ,
Ú Ú
Û Û
Ü Ü œ œ
# #
#
intersezioni con l'asse delle ascisse nei punti E ! "ß ! e F "ß ! . Limiti agli estremi del GÞIÞ:
lim lim
BÄ!∞ BÄ!∞
" ! B# "
B œ B ! B œ ! $ ∞ œ $ ∞;
lim lim lim
BÄ!∞ BÄ!∞ BÄ!∞
#
# #
C " ! B "
B œ B œ B ! " œ ! ! " œ ! ";
lim lim lim
BÄ!∞ BÄ!∞ BÄ!∞
#
C $ B œ " ! B $ B œ " œ ! Ê E= S,6 C œ ! B
B B ; . . ;
lim lim
BÄ! BÄ!
#
! !
" ! B "
B œ B ! B œ ! ∞ ! ! œ ! ∞ Ê E= Z B œ !; . . ;
lim lim
BÄ! BÄ!
#
$ $
" ! B "
B œ B ! B œ $ ∞ ! ! œ $ ∞ Ê E= Z B œ !; . . ;
lim lim
BÄ$∞ BÄ$∞
" ! B# "
B œ B ! B œ ! ! ∞ œ ! ∞;
lim lim lim
BÄ$∞ BÄ$∞ BÄ$∞
#
# #
C " ! B "
B œ B œ B ! " œ ! ! " œ ! ";
lim lim lim
BÄ$∞ BÄ$∞ BÄ$∞
#
C $ B œ " ! B $ B œ " œ ! Ê E= S,6 C œ ! B
B B ; . . ;
Crescenza e decrescenza:
C œ ! #B † B ! " ! B † " œ ! " ! B œ ! " $ B
B B B
w # # #
# # #
.
C 4 !ß aB − GÞIÞw . Funzione strettamente decrescente nel suo GÞIÞ. Concavità e convessità:
C œ ! #B † B ! " $ B † #B œ #
B B
ww # #
% $
.
C 1 !ww per B 1 !. Funzione strettamente convessa in Ó!ß $ ∞Ò, strettamente concava in Ó ! ∞ß !Ò.
Grafico: il grafico è a destra qui sotto.
Per la funzione proposta possiamo notare che CÐ ! BÑ œ " ! Ð ! BÑ œ ! " ! B œ ! CÐBÑ
! B B
# #
, la funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine) e quindi potevamo studiarla solo nel semiasse positivo delle edB operare per simmetria.
' B ! / $ " .B œ B ! / $ B œ ) ! / $ # ! " ! / $ " œ
$ $ $
) ( ˆ ‰ Œ Œ Œ
"
# # B $ B #
"
#
"!
$ $ / ! /#-
7) La retta tangente nel punto B œ ! ha espressione C ! CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ † ÐB ! !Ñw ovvero C œ C Ð!ÑB $ CÐ!Ñw . Passo ai calcoli:
CÐ!Ñ œ 0 1Ð!Ñ ! 2Ð!Ñ œ 0 " ! " œ 0 ! œ "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ; C œ 0 1ÐBÑ ! 2ÐBÑ † 1 ÐBÑ ! 2 ÐBÑw wˆ ‰ ˆ w w ‰;
C Ð!Ñ œ 0 1Ð!Ñ ! 2Ð!Ñ † 1 Ð!Ñ ! 2 Ð!Ñ œ 0 " ! " † " ! ! œ 0 ! œ "w wˆ ‰ ˆ w w ‰ wˆ ‰ ˆ ‰ wˆ ‰ . L'equazione della retta tangente è C œ B $ ".
8) 0 œ #BC ! $B 0 œ B CD ! C ! B C ! B D ! #C
CD ! C CD ! C
w w
B C
# # & # # $ &
& # & # #
0 œ ! B C ! B &CD CD ! C
Dw
# $ %
& # #
.
