Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 4 luglio 2014
Compito
)
Dato che la proposizione composta è sicuramente vera e la proposizione composta è sicuramente falsa consideriamo solo la seconda e sesta riga, in queste due righe la proposizione composta risulta vera e di conseguenza possiamo affermare con certezza la verità della proposizione.
) Il numero di combinazioni semplici di elementi presi a è pari a mentre il numero di combinazioni semplici di elementi presi a è pari a , per cui il numero cercato è il valore che soddisfa la condizione . Ricordiamo che per il coefficiente binomiale vale la proprietà: e di conseguenza la condizione può essere riscritta come: ovvero da cui
.
) Se e presentano rispettivamente asintoto obliquo completo di equazione
e asintoto orizzontale completo di equazione valgono:
) lim ; ) lim e ) lim .
Dai precedenti limiti risulta:
) lim lim e
) lim lim .
Possiamo concludere che presenta asintoto obliquo completo di equazione .
) lim . Posto , da cui otteniamo:
lim lim lim
. Alternativamente usando de l'Hôpital abbiamo:
lim lim
.
lim lim
.
) : . Segno: perché la funzione è una esponenziale.
Intersezioni: ,
intersezione con l'asse delle ordinate nel punto ;
, impossibile perché esponenziale sempre positiva.
Limiti agli estremi del :
lim
La funzione presenta asintoto orizzontale destro di equazione . Crescenza e decrescenza:
.
per . Funzione strettamente crescente nel suo ; minimo assoluto pari a . Nota che la funzione non è derivabile in ed in particolare
lim
. In la funzione presenta una cuspide.
Concavità e convessità (facoltativa):
.
Per lo studio del segno di notiamo che le quantità e sono
sicuramente positive per , inoltre sempre per si ha e
, di conseguenza e quindi
per . Funzione strettamente concava.
Grafico:
) Posto risulta da cui .
7) Le matrici e sono e questo implica che la matrice deve essere anch'essa una . Indichiamo , risulta
e di conseguenza se
. Una possibile matrice non nulla è .
8) ; ;
log log .
Compito
)
Dato che la proposizione composta è sicuramente falsa e la proposizione composta è sicuramente vera consideriamo solo la quarta, quinta e sesta riga, in queste tre righe la proposizione composta assume valore sia di falsità che di verità, non possiamo affermare con certezza sia la verità che la falsità della proposizione.
) Il numero di combinazioni semplici di elementi presi a è pari a mentre il numero di combinazioni semplici di elementi presi a è pari a , per cui il numero cercato è il valore che soddisfa la condizione . Ricordiamo che per il coefficiente binomiale vale la proprietà: e di conseguenza la condizione può essere riscritta come: ovvero da cui
.
) Se e presentano rispettivamente asintoto orizzontale completo di equazione e asintoto obliquo completo di equazione valgono:
) lim ; ) lim e ) lim .
Dai precedenti limiti risulta:
) lim lim e
) lim lim .
Possiamo concludere che presenta asintoto obliquo completo di equazione .
) lim . Posto , da cui otteniamo:
lim lim lim
.
Alternativamente usando de l'Hôpital abbiamo:
lim lim
.
lim lim
.
) :
.
Segno: perché la funzione è una irrazionale di ordine pari.
Intersezioni:
, intersezione con l'asse delle ordinate nel punto ;
. Limiti agli estremi del :
lim
La funzione presenta asintoto orizzontale destro di equazione . Crescenza e decrescenza: .
per . Funzione strettamente crescente nel suo ; minimo assoluto pari a . Nota che la funzione non è derivabile in ed in particolare
lim
. In la funzione presenta una cuspide.
Concavità e convessità (facoltativa):
.
Per lo studio del segno di notiamo che le quantità e
sono sicuramente positive per , di conseguenza per . Funzione strettamente concava.
Grafico:
) Posto risulta da cui .
7) Le matrici e sono e questo implica che la matrice deve essere anch'essa una . Indichiamo , risulta
e di conseguenza se
. Una possibile matrice non nulla è .
8) log ; log log ;
log .
