Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 23 settembre 2014
Compito
)
Come possiamo notare dalla colonna finale si tratta di una tautologia.
) La disequazione è soddisfatta per , di conseguenza .
; . e sono due insiemi aperti con quindi aperto, mentre è nè aperto nè chiuso infatti
.
) Se le autorità si dispongono casualmente sulla prima fila vi sono modi distinti di sedersi, se invece le donne si siedono casualmente sulla sinistra e i uomini casualmente sulla destra, i modi distinti di sedersi sono .
) Le quantità , e divergono positivamente per , è infinitesima,
e sono quantità limitate; inoltre è noto che per .
Risulta quindi
lim lim lim
.
lim lim
.
) : ; .
Segno: perché la funzione è una esponenziale.
Intersezioni: , intersezione con l'asse
delle ordinate nel punto ; , impossibile
perché un'esponenziale è sempre positiva.
Limiti agli estremi del :
lim
La funzione presenta asintoto orizzontale destro di equazione . . Crescenza e decrescenza: .
per . Funzione strettamente decrescente nel suo ; massimo assoluto pari a . Nota che la funzione non è derivabile in ed in particolare lim . In la funzione presenta una cuspide.
Concavità e convessità:
.
per . Funzione strettamente convessa.
Grafico:
) Per ricavare la primitiva integriamo per parti:
; quindi
.
7) ;
.
8) .
: che ha come soluzioni i
punti e .
.
: sella.
; . minimo.
Compito
)
Come possiamo notare dalla colonna finale non si tratta di una tautologia perché si presenta nella terza riga un falso.
) La disequazione è soddisfatta per , di conseguenza
.
; . , insieme nè aperto nè chiuso, mentre insieme chiuso.
) Se le autorità si dispongono casualmente sulla prima fila vi sono modi distinti di sedersi, se invece le donne si siedono casualmente sulla destra e gli uomini casualmente sulla sinistra, i modi distinti di sedersi sono .
) Le quantità ed divergono positivamente per , e sono
infinitesime, e sono quantità limitate; inoltre è noto che per
. Risulta quindi
lim lim
.
lim lim
.
) : ; .
Segno: perché la funzione è una esponenziale.
Intersezioni: , intersezione con l'asse
delle ordinate nel punto ; , impossibile
perché un'esponenziale è sempre positiva.
Limiti agli estremi del :
lim
La funzione presenta asintoto orizzontale sinistro di equazione . . Crescenza e decrescenza: .
per . Funzione strettamente crescente nel suo ; massimo assoluto pari a . Nota che la funzione non è derivabile in ed in particolare
lim
. In la funzione presenta una cuspide.
Concavità e convessità:
.
per . Funzione strettamente convessa.
Grafico:
) Per ricavare la primitiva integriamo per parti:
; quindi
.
7) ;
.
8) .
: che ha come soluzioni i
punti e .
.
: sella.
; . minimo.
