œ "ß  "ß 7ß

(1)

COMPITI DI MATHEMATICS for economic applications AA. 2009/10

I Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Sapendo che / œ #  #^D È$ 3, calcolare .D

I M 2) Data la matrice  œ , se ne determini la caratteristica, al varia-

" ! ! 5

!  " ! !

! ! " !

5 ! !  "

â â

re del parametro 5 −‚, e, sempre al variare di , si studi la molteplicità dei suoi autovalori.5 I M 3) Determinare, al variare dei parametri e , se il vettore 7 5 ˜œ  (ß  (ß ""ß ! appartiene al sottospazio generato dai vettori —" œ "ß  "ß 7ß  # e —# œ  #ß #ß "ß 5 . I M 4) Determinare tutte le matrici _$ per le quali il vettore "ß  "ß # appartiene al Nucleo dell'applicazione lineare ˜œ —† ; il vettore "ß #ß $ è un autovettore corrispondente all'autovalore - œ  #, sapendo infine che la dimensione del Nucleo è pari a ."

II M 1) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C  "

C  B  " Ÿ ! B Ÿ !

#

II M 2) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B  5BC  C^# ^$.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /^{B" C} C /^{# B"} œ !, si determinino tutti i punti "ß C che la soddisfano, si verifichi in tali punti l'applicabilità del Teorema del Dini per una funzione implicita C œ C B , e di questa si calcoli la derivata prima.

II M 4) Data 0 Bß C œ B C  B^# ^# e T œ "ß #! , calcolare W@0 T! , dove rappresenta la@ direzione che da porta nell'origine T_! !ß ! .

English version I M 1) If / œ #  #^D È$ 3, compute the value of .D

I M 2) Given the matrix  œ , compute its rank depending on the va-

" ! ! 5

!  " ! !

! ! " !

5 ! !  "

â â

riation of the parameter 5 − ‚, and, always variing , check the molteplicity of its eigenva-5 lues.

I M 3) Check, depending on the variation of the parameters and , if the vector7 5

˜ œ  (ß  (ß ""ß ! belongs to the subspace spanned by the two vectors

—_" œ "ß  "ß 7ß  # e —_# œ  #ß #ß "ß 5 .

I M 4) Find all the matrices _$ for which these three conditions apply:

a) the vector "ß  "ß # belongs to the Kernel of the linear application ˜œ —† ; b) the vector "ß #ß $ in an eigenvector corresponding to the eigenvalue -œ  #; c) the dimension of the Kernel is equal to ."

II M 1) Solve the problem .

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C  "

C  B  " Ÿ ! B Ÿ !

#

(2)

II M 2) Check, depending on the variation of the parameter , the nature of the stationary5 points of the function 0 Bß C œ B  5BC  C^# ^$.

II M 3) Given the equation 0 Bß C œ /^{B" C}  C /^{# B"} œ !, determine all the points "ß C which satisfy the equation, check at such points the applicability of Dini's theorem for an implicit function C œ C B , and compute for this implicit function the first derivative.

II M 4) Given 0 Bß C œ B C  B^# ^# and T œ "ß #! , compute W@0 T! , where represents@ the direction from the point to the origin T_! !ß ! .

II Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Calcolare la somma delle radici cubiche del numero D œ )3.

I M 2) Data l'applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† con œ , de-

"  " $ #

# " " 7 ) " * 5

â â

terminare i valori di e per i quali sono uguali le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine7 5 di tale applicazione, e per i quali l'immagine del vettore "ß "ß "ß " è il vettore &ß "ß "$ . I M 3) Determinare una matrice ortogonale che diagonalizza  œ , sapen-

" ! #

! "  "

#  " 5

â â

do che la matrice non è invertibile.

I M 4) Date le matrici œ " 5 "  " e œ  " " , si determini per

5 !  " " 5 !

" "

# 5

ºº ºº

â â

quali valori di la matrice 5  † ha due autovalori dello stesso segno.

II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ , si determini il valore di B C

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

Ú ÛÜ

# $

# # #

5 per il quale la funzione risulta continua a Bß C − ‘^#, verificando poi se la funzione risulta anche differenziabile in !ß ! .

II M 2) Data l'equazione 0 Bß C œ B  C œ "^C ^B , soddisfatta in T œ #ß " , si determini l'e- quazione della retta tangente al grafico della funzione implicita C œ C B da essa definita.

II M 3) Data 0 Bß C œ B †logˆB  C^#‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  $C C  B Ÿ #

C Ÿ B

#

# #

#

English version

I M 1) Compute the sum of the cube roots of the number D œ )3.

I M 2) Given the linear application ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† with œ ,

"  " $ #

# " " 7 ) " * 5

â â

determine the values for and for which the dimensions of the Kernel and the Rankspace7 5 of such linear application are equal, and the values for which the image of the vector

"ß "ß "ß " is given by the vector &ß "ß "$ .

(3)

I M 3) Determine an orthogonal matrix that diagonalizes  œ , knowing

" ! #

! "  "

#  " 5

â â

that the matrix is not invertible.

I M 4) Given the matrices œ " 5 "  " and œ  " " , check for

5 !  " " 5 !

" "

# 5

ºº ºº

â â

what values of the parameter the matrix 5  † has two eigenvalues of the same sign.

II M 1) Given the function 0 Bß C œ , determine the value of

B C

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

Ú ÛÜ

# $

# # #

5 for which the function is continuous a Bß C − ‘^#, then check if the function is also differentiable in !ß ! .

II M 2) Given the equation 0 Bß C œ B  C œ "^C ^B , and the point T œ #ß " that satisfies such equation, determine the equation of the tangent to the graph of the implicit function

C œ C B defined by this equation.

II M 3) Given 0 Bß C œ B †logˆB  C^#‰, check for its relative maximum and/or minimum points.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  $C C  B Ÿ #

C Ÿ B

#

# #

#

Appello Sessione Straordinaria I 2010 I M 1) Calcolare le radici cubiche di D œ $  3  #  3.

"  3 3

I M 2) Determinare se e come, al variare dei parametri e , il vettore 7 5 ˜œ  #ß &ß 5 può essere espresso come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß % , —# œ  #ß %ß ! ,

—_$ œ #ß !ß % e —_% œ $ß 7ß ( .

I M 3) Data la matrice  œ si determini, al variare del parametro , la pre-5

" !  "

! 5 !

" ! 5

â â

senza di autovalori multipli e quella di autovalori complessi.

I M 4) Data la matrice œ , si determini se la matrice  risulta

"  " !

! "  "

! ! "

â â

"

diagonalizzabile.

II M 1) Data la curva ‘Ä‘^$ À > Ä /Š ^{> >}^# à >  >ß^# sen>‹, se ne determini l'equazione della retta tangente nel punto > œ !.

II M 2) Dato il sistema sen cos cos ed il

œ0 Bß Cß D œ B  C  B  D  C  D œ ! 1 Bß Cß D œ B  C  D  BCD œ !^$ ^$ ^%

punto Pœ "ß "ß " che lo soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  #B Ÿ $ B  C  #B Ÿ $

# #

(4)

II M 4) Determinare se può essere resa minima o massima l'area di un rettangolo sapendo che la sua diagonale ha lunghezza pari ad ."

English version

I M 1) Compute the cube roots of the number D œ $  3  #  3.

"  3 3

I M 2) Check if and how, varying the parameters and , the vector 7 5 ˜œ  #ß &ß 5 may be expressed as a linear combination of vectors —" œ "ß #ß % , —# œ  #ß %ß ! ,

—_$ œ #ß !ß % and —_% œ $ß 7ß ( .

I M 3) Given the matrix  œ check, on the variation of the parameter , the5

" !  "

! 5 !

" ! 5

â â

existence of multiple eigenvalues and the existence of complex eigenvalues.

I M 4) Given the matrix œ , check if the matrix  is diagona-

"  " !

! "  "

! ! "

â â

"

lizable.

II M 1) Given the curve ‘Ä‘^$ À > Ä /Š ^{> >}^# à >  >ß^# sen>‹, determine the equation of the tangent line at the point > œ !.

II M 2) Given the system sen cos cos and

œ0 Bß Cß D œ B  C  B  D  C  D œ ! 1 Bß Cß D œ B  C  D  BCD œ !^$ ^$ ^%

the point Pœ "ß "ß " that satisfies the system, determine an implicit function defined by the system and calculate the equation of the tangent line at that point .

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  #B Ÿ $ B  C  #B Ÿ $

# #

II M 4) Check if it can be made minimum or maximum the area of a rectangle knowing that its diagonal has a length equal to ."

I Appello Sessione Estiva 2010

I M 1) Usando la forma trigonometrica dei numeri complessi, calcolare  "  3È  .

"  $ 3

$

I M 2) Sia una matrice non singolare diagonalizzabile. Verificare che la sua inversa è dia- gonalizzabile, determinando anche la matrice modale che la diagonalizza.

I M 3) Il vettore ha coordinate — "ß  " nella base e "ß # à "ß $ f. Trovare tutte le basi ri- spetto alle quali ha coordinate "ß " .

I M 4) Data la matrice  œ , verificato che essa ammette un autovalore

# ' $

" " "

 " 7 5

â â

fisso a 7ß 5, si trovino le condizioni per e per le quali tale autovalore risulta multiplo.7 5 II M 1) Data la matrice ‡ œ , determinare sotto quali condizioni essa genera

5 ! 5

! " !

5 ! 5

â â

â ^#â

una forma quadratica definita o semidefinita.

(5)

II M 2) Si verifichi che la funzione 0 Bß C œ B  BC ^# log non presenta punti di massimoC o minimo relativo.

II M 3) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B C  Bk k ^# risulta differenziabile in !ß ! .

II M 4) L'equazione 0 Bß Cß D œ /^BC /^CD  #/^BD œ !, soddisfatta nel punto "ß "ß " , definisce una funzione implicita Bß C Ä D; di questa determinare l'equazione del piano tangente nel punto opportuno. Determinare poi l'espressione esplicita di D œ D Bß C .

English version

I M 1) Using the trigonometric form for complex numbers, compute  "  3È  .

"  $ 3

$

I M 2) Given a nonsingular diagonalizable matrix , show that its inverse also is diagonaliza- ble, and then determine the modal matrix that diagonalizes , i.e. the matrix that achieves the similarity between the matrix and the diagonal matrix.

I M 3) The vector has coordinates — "ß  " with respect to the basis e "ß # à "ß $ f. Find all the bases with respect to which has coordinates — "ß " .

I M 4) Given the matrix  œ , after verifying that it admits a fixed eigenva-

# ' $

" " "

 " 7 5

â â

lue a 7ß 5, check appropriate conditions for the parameters and under which the7 5 eigenvalue is multiple.

II M 1) Given the matrix ‡ œ , check under what conditions it produces a de-

5 ! 5

! " !

5 ! 5

â â

â ^#â

finite or semidefinite quadratic form.

II M 2) Verify that the function 0 Bß C œ B  BC ^# log has no relative maximum or mi-C nimum points.

II M 3) Check if the function 0 Bß C œ B C  Bk k ^# is differentiable in the point !ß ! .

II M 4) The equation 0 Bß Cß D œ /^BC /^CD #/^BD œ !, which is satisfied at the point

"ß "ß " , defines an implicit function Bß C Ä D; for this implicit function determine the equation of the tangent plane at the appropriate point. Then determine the explicit expression of .D œ D Bß C

II Appello Sessione Estiva 2010

I M 1) Calcolare log 3 3 .

2 2

È 

 3

I M 2) Dato il sistema lineare , si determini esistenza e nu- Ú

ÛÜ

B B B

B B B B

" # $ %

 #  B  $ œ !

#  #   œ "

$  #  $  5 œ 7

merosità delle soluzioni al variare di e .7 5

I M 3) Data la matrice  œ si determini che tipo di forma quadratica essa

" " ! !

" " ! "

! ! " !

! " ! "

â â

definisce studiando il segno dei suoi autovalori.

(6)

I M 4) Determinare la matrice sapendo che ammette l'autovettore  "ß " in corrispondenza dell'autovalore - œ ! e l'autovettore "ß  " in corrispondenza dell'autovalore - œ  ". II M 1) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B B  Ck k risulta differenziabile in !ß ! .

II M 2) L'equazione 0 Bß C œ B C  B C  BC œ "^$ ^{# $} , soddisfatta nel punto "ß " , definisce una funzione implicita B Ä C B ; di questa determinare derivata prima e seconda in B œ ". II M 3) Dato un parallelepipedo di lati Bß Cß D , rendere massima o minima la somma delle lunghezze dei tre lati sapendo che due delle facce laterali del parallelepipedo hanno area ri- spettivamente uguale a e ." #

II M 4) Risolvere il problema Max/min 0 Bß C œ BC  B C  BC^# ^#. English version

I M 1) Compute log 3 3 .

2 2

È 

 3

I M 2) Given the linear system , check for existence and

Ú ÛÜ

B B B

B B B B

" # $ %

 #  B  $ œ !

#  #   œ "

$  #  $  5 œ 7

number of solutions depending on the variation of the parameters and .7 5

I M 3) Given the matrix  œ check what kind of quadratic form it defines

" " ! !

" " ! "

! ! " !

! " ! "

â â

analyzing the sign of its eigenvalues.

I M 4) Determine the matrix under the following assumptions:

- it admits the eigenvector "ß " corresponding to the eigenvalue - œ ! and the eigenvector

"ß  " corresponding to the eigenvalue - œ  ".

II M 1) Check if the function 0 Bß C œ B B  Ck k is differentiable in the point !ß ! .

II M 2) The equation 0 Bß C œ B C  B C  BC œ "^$ ^{# $} , which is satisfied at the point "ß " , defines an implicit function B Ä C B ; for this implicit function compute the first and second derivative at the point B œ ".

II M 3) Given a parallelepiped with sides Bß Cß D , maximize or minimize the sum of the lengths of these three sides under the hypothesis that two of the rectangular faces of the parallelepiped have area respectively equal to and ." #

II M 4) Solve the Max/min problem 0 Bß C œ BC  B C  BC^# ^#. Appello Sessione Straordinaria II 2010 I M 1) Determinare il prodotto delle radici quarte del numero D œ  ".

I M 2) Data la matrice  œ verificare se essa sia diagonalizzabile mediante una

$ # "

" % %

" # &

â â

matrice ortogonale.

I M 3) Dato il sistema lineare omogeneo , si determini, al variare di , la di- Ú

ÛÜ B

B B

" $

" #

" $

 5B œ !

 œ !

5  œ !

5 mensione dello spazio delle sue soluzioni, determinando anche una base di tale spazio.

(7)

I M 4) Data 0 B ß B ß B ß B_" _# _$ _% œ  B  #B  B ß B  B ß B  B  $B  B_# _$ _% _" _$ _" _# _$ _% applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, se ne determini una base per il Nucleo e una base per l'Immagine.

II M 1) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ /  / œ ! ed il punto P che lo 1 Bß Cß D œ BC  BCD œ !^BC ^CD œ "ß "ß  "

soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

II M 2) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B B  C¸ ^# ^#¸ risulta differenziabile in !ß ! . II M 3) Data 0 Bß C œ B C  B  C^# ^# , siano e i versori di @ A "ß " e "ß  " . Determinare i punti T œ Bß C! nei quali risulta # 0 T! œ !.

W@ßA

II M 4) Risolvere il problema Max/min . s.v.:

œ 0 Bß C œ BC

B  C  #B Ÿ !^# ^# English version

I M 1) Compute the product of the fourth root of the number D œ  ".

I M 2) Given the matrice  œ check if it is diagonalizable by an orthogonal

$ # "

" % %

" # &

â â

matrix.

I M 3) Given the homogeneous linear system , determine, depending on the Ú

ÛÜ B

B B

" $

" #

" $

 5B œ !

 œ !

5  œ !

variation of the parameter , the dimension of the space of its solutions, and then also find a5 basis for this space.

I M 4) Find a basis for the Kernel and a basis for the Rankspace of the linear application:

0 B ß B ß B ß B_" _# _$ _% œ  B  #B  B ß B  B ß B  B  $B  B_# _$ _% _" _$ _" _# _$ _% ‘^% Ä‘ .^$

II M 1) Given the system œ0 Bß Cß D œ /  / œ ! which is satisfied at the point 1 Bß Cß D œ BC  BCD œ !

BC CD

Pœ "ß "ß  " , determine an implicit function defined by the system and calculate the equation of the tangent line at the appropriate point.

II M 2) Check if the function 0 Bß C œ B B  C¸ ^# ^#¸ is differentiable at the point !ß ! . II M 3) Given 0 Bß C œ B C  B  C^# ^# , let and be the unit-vectors of @ A "ß " e "ß  " . Find the points T œ Bß C! where is # 0 T! œ !.

W@ßA

II M 4) Solve the problem Max/min . s.v.:

œ 0 Bß C œ BC

B  C  #B Ÿ !^# ^#

œ &#34;ß  &#34;ß 7ß

œ "ß  "ß 7ß