Lancio del peso
Una massa m viene lanciata da una altezza h con una velocit`a iniziale v0 che forma un anagolo positivo θ con l’orizzontale.
Determinare la distanza alla quale viene lanciato il “peso” e l’angolo ottimale di lancio per massimizzare le gettata.
Soluzione
La legge oraria si pu`o scrivere in maniera parametrica come segue:
x(t) = v0cos αt
y(t) = −12gt2+ v0sin αt + h (1) La traiettoria `e una parabola con concavit`a verso il basso che intercetta l’asse y ad una altezza h.
Il vertice di tale parabola ha coordinate:
(xv, yv) = (v20
g sin α cos α, h + v02sin2α 2g ) = (h
asin 2α, h(1 + sin2α a )) dove abbiamo introdotto la quantit`a adimensionale:
a = 2gh v02
La lunghezza l del lancio `e data dall’intercetta (positiva) della parabola con l’asse delle x:
− a
4h cos2αl2+ tan αl + h = 0
che possiamo riscrivere utilizzando le relazioni trigonometriche sin 2α = 2 sin α cos α e cos 2α = 2 cos2α − 1:
al2− 2h sin 2αl − 2h2(1 + cos 2α) = 0 (2) La soluzione accettabile `e:
l = h
asin 2α +h a
q
sin22α + 2a(1 + cos 2α) (3)
1
Notare che per h → 0, e quindi anche a → 0 si trova la gittata del moto parabolico di una massa lanciata da un mortaio:
l = 2h
asin 2α = v20 g sin 2α
Per massimizzare la lunghezza del lancio `e necessario trovare il valore di α per il quale dl/dα = 0. Poniamo θ = 2α e deriviamo rispetto questa nuova variabile:
0 = dl dθ = h
acos θ + h 2a
sin θ cos θ − a sin θ psin2θ + 2a(1 + cos θ) Da cui:
cos θ q
sin2θ + 2a(1 + cos θ) = (a sin θ − sin θ cos θ)
Notare che questa equazione ha una soluzione solamente se il secondo membro `e positivo. Questo pone un vincolo fra a, e quindi l’altezza di lancio h, e l’angolo θ che massimizza la gittata: cos θ < a.
A questo punto possiamo quadrare, esprimere tutto in cos θ, semplificare e trovare l’unica soluzione accettabile:
cos θ = cos 2αM = a
a + 2 = gh
gh + v20 (4)
Le condizioni limite sono:
h → 0 α = π4
h → ∞ α = 0 (5)
Quindi, di nuovo si trova la condizione nota di massima gittata per lancio da mortaio (h = 0).
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