: Data l'ellisse

(1)

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1995/1996

CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA

AMBIENTE e TERRITORIO, CIVILE

1 febbraio 1996 (1/4)

1

⁰ ^ESERCIZIO

: Data l'ellisse

^x²

+ 4

^y²

= 4 ed i punti

^A

(2

0),

^B

(0

1) su di essa, determinare i punti

^P

dell'ellisse tali che l'area del triangolo

^AP^B

sia massima.

(Sugg.: L'area di un triangolo di vertici

^~^x

,

^~^y

,

^~^z ²

IR

²

e data da

¹²^k

(

^~^z^;^~^x

)

^{^}

(

^~^y^;^~^x

)

^k

).

2

⁰ ^ESERCIZIO

: Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione di funzioni

^fⁿ

: 1

2]

^!

IR def. da

f

n

(

^x

) := 1 +

^xⁿ^x²ⁿ^:

Individuare, eventualmente, dei sottointervalli del dominio in cui la convergenza e uniforme.

3

⁰ ^ESERCIZIO

: Determinare un sistema fondamentale di soluzioni per il seguente sistema di equazioni dierenziali del 1

⁰

ordine

(

y 0

1

= 4

^y¹

+

^y²

y 0

2

=

^;y¹

+

^y²^:

4

⁰ ^ESERCIZIO

: Calcolare

ZZ

E

(

^x^;

2

^y

)

^dxdy

ove

^E

e l'insiemedei punti del primo quadrante compresi tra la circonferenza

^x²

+

^y²

= 1 e l'ellisse

^x⁹²

+

^y⁴²

= 1.

5

⁰ ^ESERCIZIO

: Dimostrare che per un cono ; in IR

^k

(

⁸^~^x²

;

⁸^t^>

0

⁾^t~^x²

;) le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) ; e convesso

2)

⁸^~^x^~^y²

;

⁾ ^~^x

+

^~^y²

;.

: Data l'ellisse

1

: Data l'ellisse

+ 4

= 4 ed i punti

(2

0),

(0

1) su di essa, determinare i punti

dell'ellisse tali che l'area del triangolo

sia massima.

(Sugg.: L'area di un triangolo di vertici

,

,

IR

e data da

(

)

(

)

).

2

: Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione di funzioni

: 1

2]

IR def. da

(

) := 1 +

Individuare, eventualmente, dei sottointervalli del dominio in cui la convergenza e uniforme.

3

: Determinare un sistema fondamentale di soluzioni per il seguente sistema di equazioni dierenziali del 1

ordine

= 4

+

=

+

4

: Calcolare

(

2

)

ove

e l'insiemedei punti del primo quadrante compresi tra la circonferenza

+

= 1 e l'ellisse

+

= 1.

5

: Dimostrare che per un cono ; in IR

(

;

0

;) le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) ; e convesso

2)

;

+

;.

: 1

: Determinare un sistema fondamentale di soluzioni per il seguente sistema di equazioni dierenziali del 1

1) ; e convesso