Relazione di dispersione

Lezione 18

Propagazione di onde elettromagnetiche in un plasma

G. Bosia

Universita’ di Torino

Relazione di dispersione

Ha la forma

dove e’ il tensore dielettrico del mezzo.

Scritto in forma tensoriale:

(XVII-29)

Che e’ equivalente al sistema di tre equazioni scalari e omogenee :

(XVII-30)

Perché il sistema abbia soluzione e’ necessario che :

( che esprime la condizione di esistenza per una propagazione di un’ onda nel mezzo considerato).

(XVII-27)

(XVII-31)

D

Consideriamo un mezzo omogeneo ed isotropico definito da : (XVII-32)

Se assumiamo la direzione del moto parallela all’ asse z, [k(0,0,k)] ,

Esempi di propagazione: mezzo isotropo e omogeneo

(XVII-35)

(XVII-38) (XVII-37)

(XVII-39)

Indice di rifrazione v

=

(XVII-40)

Relazione di dispersione generale

Nel caso piu’ generale ponendo:

(XVIII-41)

l’ equazione di dispersione diventa:

(XVIII-42)

Per una data ω, se ε non dipende esplicitamente da k, il determinante della matrice e’ una forma quadratica in N

Questo significa che per ogni ω :

• esistono due vettori d’onda (modi) di propagazione. A questi modi corrispondono polarizzazioni trasversali e longitudinali del campo elettrico,

• nel caso di mezzi anisotropi (come un plasma magnetizzato), polarizzazioni “ibride” . Le considerazioni precedenti sono applicabili a un qualunque mezzo lineare. Per poter trattare la propagazione in un plasma e’ necessario derivare dalle equazioni di stato una espressione per σ ed ε in funzione della frequenza.

= 0

Propagazione in un plasma freddo con B ₀ = 0

Applichiamo le equazioni generali derivate nella scorsa lezione a alcuni casi semplici Ipotesi :

Plasma freddo ( ) non collisionale ( ) in equilibrio stazionario ( ), B

= 0 Equazione fluida:

Linearizzando l’equazione :

Omettendo l’ indice

e introducendo la frequenza angolare:

La densita’ di corrente (perturbata) e’:

La conduttivita’ e’:

La costante dielettrica e’

(XVIII-43)

(XVIII-44)

(XVIII-45)

(XVIII-46)

(XVIII-47)

(XVIII-48)

Se si trascurano i moti degli ioni a causa della loro grande massa,

la relazione di dispersione per una propagazione longitudinale e’

ossia:

La quantità :

e’ la frequenza di plasma (o meglio frequenza elettronica di plasma) derivata con considerazioni elementari in una delle prime lezioni

Onde longitudinali in un plasma freddo con B ₀ = 0

(XVIII-49) per

(XVIII-50)

(XVIII-51)

(XVIII-52)

Se i moti ionici sono presi in considerazione:

Conduttivita’ ionica :

Costante dielettrica totale:

dove :

e’ la frequenza di plasma ionica

Onde longitudinali in un plasma freddo con B ₀ = 0

(XVIII-53)

(XVIII-54)

(XVIII-55)

Oscillazioni di plasma

L’equazione (XVIII-50) e’ relazione di dispersione per le oscillazioni elettrostatiche di plasma gia’ ricavata in un modo elementare in una della prime lezioni.

Nelle ipotesi fatte si tratta di oscillazioni con velocità di gruppo

con frequenza

indipendente dal vettore di propagazione e velocita’ di fase: v

=

qualsiasi. La polarizzazione del campo elettrico e’ longitudinale (figura) ma non c’e’ trasporto di energia.

Riassumendo:

• non c’e’ trasporto di energia

• oscillazioni di elettroni nel campo elettrostatico degli ioni (fissi)

(XVIII-55)

Onde trasversali in un plasma freddo con B ₀ = 0

La relazione di dispersione per onde trasversali e’

In figura sono graficate le due relazioni di dispersione ω = ω(κ) per la propagazione longitudinale e trasversale.

La velocita’ di fase e’

La velocita’ di gruppo e’

Ossia

(XVIII-56) con

(XVIII-57)

ε =

c k c

v = = ⋅ −

>

2

) 1

( ω

ω ω

ϕ

ω

ω k

dk c

v

= d =

(XVIII-58)

(XVIII-59)

c

v

v

=

Condizioni di taglio (cut-off)

Per ω < ω

il’ quadrato dell’indice di rifrazione e’ negativo ossia N e k sono immaginari puri Questo significa che la dipendenza spaziale dell’onda non e’ oscillatoria.

L’ onda e’ detta in condizione di evanescenza o di taglio (cut-off). L’ onda non si propaga ma ha un andamento esponenziale rapidamente decrescente

Al punto di cut-off il modulo del vettore d’ onda tende a zero ossia la velocità di fase e la lunghezza d’ onda tendono all’ infinito. Il fenomeno e’ molto simile all’ effetto pelle che si

(XVIII-60)

Misura della densita’di plasma

Sui risultati ora ottenuti si fonda un metodo

interferometrìco a microonde per la misura della densità elettronica di un plasma. Per semplicità, ammettiamo di avere uno strato di plasma uniforme di spessore noto (d).

Un tipico interferometro a microonde e’ illustrato in figura. La frequenza del generatore ω deve essere superiore alla frequenza di plasma ( ω > ω

) perche’

l’onda possa attraversare il plasma, senza fenomeni di cut-off. Sono pertanto usati generatori di onde

millimetriche (klystron) o sorgenti laser nell’ infrarosso (HCN, DCN, CO

) per le densita’ piu’ elevate.

Il segnale proveniente dall'oscillatore viene diviso in parti eguali in due percorsi : una che attraversa il plasma (traiettoria di lavoro) emesso e ricevuto da due antenne. L’altro percorso (traiettoria di

riferimento) che passa attraverso ad uno sfasatore variabile calibrato. I due segnali sono fatti interferire vettorialmente (in un "T magico“) e la somma viene rilevata mediante un diodo alta frequenza. In

assenza di plasma, si regola lo sfasatore fino ad ottenere il perfetto annullamento del segnale prelevato dal rivelatore: in queste condizioni i due segnali (quello di lavoro e quello di riferimento) interferiscono nel T magico con ampiezze uguali ed in opposizione di fase. In presenza di plasma, si regola lo sfasatore (calibrato) fino ad ottenere di nuovo l'annullamento del segnale e si misura lo sfasamento che viene introdotto dalla presenza del plasma

T-magico Rivelatore

Interferometria microonde per la misura della densità del plasma

Lo sfasamento che l'onda subisce nell'attraversare la distanza d nel vuoto è dato da:

in presenza di plasma lo sfasamento è dato da:

Dal confronto delle due misure, si ricava la differenza dei due sfasamenti:

da cui si risale alla Ω

e da essa alla densità.

E'utile ricordare la seguente relazione deducibile dal valore della frequenza di plasma:

si vede per esempio che ad una densità relativamente bassa, dell'ordine di 10

cm

, corrisponde una frequenza di plasma dell'ordine di 1 GHz.

Nel caso di un plasma termonucleare, la densità può essere dell'ordine di 10

cm

, quindi la f

è dell'ordine di 100 GHz.

c d d

k

ω

φ

= =

c d v d

d

k

plasma

plasma

= = − ⋅

=

2

.

0

( 1 )

ω ω ω

φ ω

φ

c d c d

k

k

−

= = − −

⋅

=

∆ ( ) [ 1 ( 1 )

]

1 2

2

ω ω ω

φ ω

e p

p

n

f Ω = × ×

= 8 . 97 10

2 π ⁽ⁿ

^{in cm}

-3

, f

in Hz).

(XVIII-61)

(XVIII-62)

(XVIII-63)

(XVIII-64)

c c

v = ⋅ −

>

2

) 1

( ω

ω

ϕ

Effetti dissipativi collisionali

Un modo molto semplice per tener conto dell'influenza delle collisioni, consiste

nell'esprimere il termine collisionale R nell'equazione del moto, che finora si e’ tenuto eguale a zero, sotto forma di attrito di tipo viscoso, proporzionale cioè alla velocità

Il significato fisico del parametro ν ora introdotto e’ quello di frequenza di collisione per scambio di quantità di moto. Se l'elettrone subisce ν collisioni al secondo, - ν m u

rappresenta la variazione nell'unità di tempo della quantità di moto e quindi la forza media che le altre particelle esercitano sull'elettrone mediante collisioni. In prima

approssimazione si suppone che ν sia indipendente dalla velocità u La soluzione stazionaria della (XVIII-65) è

da cui si deducono una densità di corrente, una conduttività ed una costante dielettrica complesse:

v E t e

m = −

∂

∂ v E v

m t e

m = − − ⋅

∂

∂ ν

(XVIII-65)

(XVIII-66)

(XVIII-67)

) ( − ω + ν

= −

i m v eE

) (

0 2

0

= − ω + ν

−

= m i

n

en e E

v

j

Effetti dissipativi collisionali

Sostituendo la j così ottenuta nella relazione di dispersione si ottiene

dove k e’ ora complesso :

Definendo l'indice di rifrazione complesso come N = kc/ ω , si ha ancora ε = N

. Nel caso separando nella (XVIII-69) le parti reale ed immaginaria, supponendo α

<< β

, si ottiene approssimativamente:

α β ⁱ k = +

2 1 2

2 2

2

) 1

2 (

1

−

−

≅ ω

ω ω

ω ω ν

α ω

c

2 1 2

2

) 1

( ω

ω ω

β

c −

≅ (XVIII-68)

(XVIII-69)

(XVIII-70)

(XVIII-71)

ν ω

ω ε ν

σ ω

+

= − +

= −

−

=

= m i i

e

en n

2 0 2

0

0

v ( )

E j

) 1 (

1

2

0

ω ω ν

ω ωε

ε σ

i i

p

+ +

= +

=

) ) 1 (

(

2 2

2 2

2 2

ν ω ω ω ω

ω

i c

k c

+ +

=

= ε

Assorbimento dell’ onda

Compare quindi un'attenuazione dovuta alle collisioni.

Se questo effetto e’ abbastanza piccolo, la costante di fase è praticamente la stessa che si ottiene senza collisioni.

Questa attenuazione dimostra che una parte dell'energia elettromagnetica dell'onda viene dissipata e ceduta al plasma sotto forma di calore. Il

comportamento del plasma alle alte frequenze risulta così analogo a quello di un dielettrico con perdite.

E’ utile osservare che la costante di attenuazione ( α ) è direttamente proporzionale alla frequenza di collisione ( ν ) e che, a parità di altre

condizioni, essa diminuisce al crescere della frequenza dell'onda come 1/ ω

.

Esaminiamo il comportamento di un'onda in "cut-off", quando cioè il modulo numero d'onde k diventa immaginario. Consideriamo il caso di un'onda elettromagnetica piana che incide perpendicolarmente su uno strato piano ed omogeneo di plasma, la cui densità sia abbastanza elevata da aversi ω

> ω

Supponiamo che le collisioni abbiano un effetto trascurabile. Dalla

si ha:

(XVIII-73) con α reale e positiva.

Effetto pelle

Il campo elettrico assume allora la forma: E exp(- α z). exp( ιω t), il che significa che l'onda penetra per una certa distanza nel plasma con una ampiezza che decresce lungo z con legge esponenziale. L'ampiezza decresce in particolare del fattore 1/e in una lunghezza data da:

La quantita’ δ si chiama "spessore di penetrazione" o "profondità di pelle". Analogamente

Vuoto Plasma

k₀= ω/c

(XVIII-72)

α

− i

= 0 k

2 1 2 2

) 1

(

p p

c ω

ω ω α = −

2 1 2 2

) 1

1 (

−

=

=

p p

c

ω ω ω

δ α (XVIII-75)

(XVIII-74)

G. Bosia - Fisica del plasma confinato Lezione 18 17

Spessore di penetrazione per ω < ω _p

Per ω

<< ω

(il che equivale a trascurare le correnti di spostamento rispetto a quelle trasportate dagli elettroni), la (XVIII-58) da:

quindi lo spessore di penetrazione si avvicina a 1/2 π volte la lunghezza d'onda nel vuoto che compete ad una radiazione alla frequenza di plasma, indipendentemente dalla

frequenza dell'onda.

Per dare un ordine di grandezza, osserviamo che in un plasma con una densità al bordo n =10

elettroni/cm

, la frequenza di plasma è f

= 9.10

Hz, e quindi per frequenze molto al disotto a questo valore (per esempio alla frequenza ciclotronica ionica) risulta dalla (XVIII-76) δ < 5 mm.

π λ π

δ ω

2 2

p p

p

f

c

c = =

≅

(

X

V

(XVIII-76)