La Dispersione degli Inquinanti nel PBL può essere descritta in due forme differenti.
La Descrizione Euleriana
L’evoluzione dello stato dell’aria del PBL) e la dispersione degli inquinanti vengono descritti in un quadro di riferimento in cui le varie proprietà come la velocità del fluido u(x,y,z,t) e la concentrazione dell’inquinante c(x,y,z,t) sono definite in punti fissi x dello spazio (in teoria in ogni punto dello spazio) e del tempo t. In sostanza, tale descrizione si realizza scrivendo:
• le varie equazioni che descrivono il fluido (aria)
• le equazioni di conservazione delle differenti specie inquinanti.
Quella Euleriana è una descrizione fluidodinamica tipica di un mezzo continuo e presuppone una visione totalmente deterministica del fenomeno.
Il primo elemento nella descrizione lagrangiana è il fatto che l’inquinante non è più considerato un fluido continuo immesso in un altro fluido, ma viene schematizzato come un insieme di particelle (con caratteristiche sostanzialmente analoghe al concetto di particella dato in Meteorologia) tra loro indipendenti ed individuabili singolarmente.
In questo caso la descrizione del moto di ciascuna particella, strettamente legato al moto generale del fluiodo, non può più essere ritenuta deterministica, ma stocastica a causa della turbolenza del PBL.
La concentrazione degli inquinanti nel PBL è descritta analizzando la traiettoria (posizione nel tempo) di ogni particella che rappresenta l’inquinante entro il fluido.
La posizione di ogni particella X(x0,t0,t) e la sua velocità U(x0,t0,t) ad ogni istante temporale dipende:
dalla sua posizione al tempo iniziale t0
dal tempo attuale stesso t
dallo stato del fluido entro cui si trovano le particelle
La Descrizione Euleriana.
La descrizione matematica dell’aria del PBL si ha impiegando le equazioni di conservazione della quantità di moto, della massa e dell’energia, oltre alla legge dei gas perfetti.
Per descrivere anche la dispersione della varie specie inquinanti immesse in aria è necessaria aggiungere a queste anche le equazioni di conservazione di ciascuna delle specie chimiche che si intende studiare.
Per una specie k, la concentrazione istantanea è:
S c c c c z R
c y
c x
D c
z wc y vc
x uc t
c
N k k
k k
k
k k
k k
) ,.., ,.., , (
2 1 2
2 2 2 2 2
Diffusione Molecolare
Reazioni chimiche
Termine di sorgente
E’ evidente che questa equazione scritta per la specie k:
• non può essere usata da sola ma con tutte le altre equazioni che descrivono nel suo complesso il PBL
• e con le altre equazioni di conservazione relative alle altre specie.
In sostanza, anche in questo caso l’insieme di equazioni è un sistema chiuso, ma non risolvibile
per le stesse ragioni addotte nel caso della descrizione istantanea del PBL.
Prima di vedere che si può fare, è importante analizzare fenomenologicamete l’influenza della struttura a vortici del PBL su un singolo sbuffo (puff) di inquinante.
Se il puff incontra un vortice di dimensione maggiore della propria, ne viene incorporato.
Se il puff incontra un vortice di dimensione inferiore, è il puff che incorpora il vortice.
In un PBL reale hanno luogo entrambi i fenomeni
Interazione della Turbolenza del PBL con un puff.
Modello utilizzabile ipotesi di Reynolds
k'
k ck c
c
Conc. istantanea =
conc. media + fluttuazione a media nulla
wc R S
c z y v c
x u z
w c y v c x u c t c
k k
k k
k k
k ' ' ' ' ' '
Considerazioni:
il termine R (Reazioni Chimiche) dipende dalla concentrazione media di ogni le specie chimica
considerata e quindi le varie equazioni restano ancora tra loro legate;
l’insieme delle equazioni dipende direttamente dalla Meteorologia attraverso il campo di vento medio;
e dipende implicitamente attraverso le covarianze (flussi) tra la concentrazione dei vari inquinanti e le componenti del vento
anche in questo caso, il sistema complessivo di equazioni non è chiuso.
euleriani è la chiusura di tipo K:
x K c c
u k xx k
'
' y
K c c
v k yy k
'
' z
K c c
w k zz k
' '
z S K c z y
K c y x
K c x z
w c y v c x u c t c
zz yy
xx
Per semplificare ulteriormente attuali, si ipotizzi che le varie specie considerate non reagiscano chimicamente tra loro e non presentino decadimenti. In tal caso il termine R si annulla e le varie equazioni risultano tra loro indipendenti.
Consideriamone una generica:
Equazione di base della descrizione euleriana della dispersione di un inquinante in aria.
Note.
La chiusura indicata presuppone che i flussi nelle tre direzioni siano tra loro indipendenti. Questo non è molto realistico, soprattutto nelle situazioni convettive dove questo modello presenta i maggiori limiti.
In termini generali, l’equazione euleriana, anche con la conoscenza del campo di vento medio, non consente una
soluzione analitica.
Se, però, si considerano situazioni fortemente ideali, è possibile ottenere alcune soluzioni analitiche, due delle
quali rivestono un’importanza applicativa notevole.
Soluzione Base Puff.
sorgente nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0) con asse x nella direzione media del vento;
dalla sorgente al tempo t0=0 viene emesso un puff istantaneo di inquinante (q = massa dell’inquinante);
il campo di vento è uniforme in orizzontale e verticale e la velocità vale U;
i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx, Kyy, Kzz sono costanti.
In questo caso, la concentrazione in un punto P(x,y,z) al tempo t è pari a:
zz yy
zz xx yy
xx K
z K
y K
ut x K t
K K t t q
z y x c
2 2 2
2 1 2
3 4
exp 1 , 4
,
,
Soluzione Base Plume.
si considera una sorgente posta nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0) con asse x nella direzione del vento medio;
dalla sorgente e dal tempo t0=0 in poi emesso un pennacchio (plume) di inquinante a tasso di emissione costante nel tempo (Q = tasso di emissione = quantità di inquinante per unità di tempo);
il campo di vento è considerato uniforme in senso orizzontale e verticale e la velocità sia pari a U;
i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx, Kyy, Kzz sono costanti.
In questo caso, è possibile ottenere una soluzione analitica di tipo stazionari dell’equazione euleriana del trasporto e della dispersione degli inquinanti.
In questo caso, la concentrazione in un punto P(x,y,z) del dominio di calcolo ad ogni istante temporale è pari a:
22 22
2 exp 2
) 2 , , (
z y
z y
z y
u z Q
y x
c
2 1 2
1 2
2
y z z
y K
u K x
u
x
dove:
Note.
Questa è una soluzione stazionaria e, come si può immaginare, è una delle candidate migliori per la costruzione di un modello semplice che consideri l’evoluzione nel tempo della dispersione come una successione di stati stazionari.
Dispersione di inquinante
Movimento di un elevato numero di particelle.
Dato che la massa delle particelle si conserva nel tempo (se non si considerano le reazioni chimiche ed i processi di decadimento), il campo di concentrazione media cambia solo per la ridistribuzione delle particelle nello spazio.
In un istante t0 una particella viene emessa da una sorgente posta in x0 e si muove trasportata dai movimenti turbolenti del PBL.
x è la direzione longitudinale del moto, y quella trasversale e z quella verticale.
Una particella che a t0 si trova nella posizione X0(x,y,z), negli istanti successivi può muoversi nell’atmosfera con un movimento disordinato e casuale, giungendo ad una nuova posizione X.
X X(x,y,z;t) è la traiettoria della particella.
S considerano molte particelle diverse, tutte emesse in X0(x,y,z), a t0,
nel tempo t, per la casualità intrinseca al loro
movimento dovuta alla turbolenza caratteristica del PBL esse potranno trovarsi in punti diversi dello spazio, cioè ciascuna possiederà una traiettoria sarà differente.
Si consideri un punto X al tempo t
in questo punto si incontreranno Particelle:
provenienti da differenti punti dello spazio, generate da sorgenti diverse
ed in istanti diversi,
particelle che negli istanti successivi a t seguiranno traiettorie diverse.
Risulta quindi naturale che la descrizione del moto delle particelle, e quindi della variazione nel tempo e nello spazio del campo di concentrazione, debba essere descritta utilizzando leggi probabilistiche.
Non si entra nel dettaglio, data la complessità formale della trattazione.
Ciò che risulta e che è di estremo interesse:
se si riformulano le medesime ipotesi che, nella descrizione euleriana, hanno condotto alla soluzione base puff, anche nella Formulazione Lagrangiana si giunge alla medesima soluzione;
se si riformulano le medesime ipotesi che, nella descrizione euleriana, hanno condotto alla soluzione base plume, anche la Formulazione Lagrangiana giunge alla medesima soluzione.
Equivalenza fisica e logica tra le due differenti descrizioni.
