Distribuzione Binomiale

Distribuzione Binomiale

B _n,p(k)

problema delle prove ripetute

La distribuzione binomiale è la risposta al problema di valutare la probabilità di osservare un numero intero

k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute

nelle stesse condizioni sperimentali e indipendenti tra loro.

Sia A un evento di un esperimento casuale

e Ā l’evento complementare e sia stata assegnata P(A) = p e P(Ā) = q con p +q = 1

Si fa l’ipotesi di considerare “successo” la comparsa di A

e “insuccesso” la non comparsa di A cioè la comparsa dell’evento

complementare Ā

Un possibile risultato delle prove sia (p.e.) la sequenza AĀAĀĀAAĀĀAAAĀAAĀĀAAA

in cui si presentano k = 12 eventi A (“successi”) e n-k = 8 eventi Ā ( “insuccessi”).

La probabilità che si sia verificata la sequenza di eventi indipendenti A e Ā è il prodotto delle loro probabilità

e se indichiamo P(A ) = p e P(Ā) = 1-p = q la P(sequenza) = p q p q q... = p

q

Le modalità con cui si possono presentare k successi in n prove sono tante quante sono le Permutazioni di n elementi di cui k di tipo

A e (n-k) di tipo Ā ovvero n!/(k! (n-k)!)

che è stato chiamato coefficiente binomiale

e viene indicato come ( _nk )

Coefficiente binomiale (

) = n!/(k! (n-k)!)

Si richiama alla formula dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio a+b

(a+b)

=  _k (

) ^a

^b

B _n,p ( ^k )= ⁽

_k ^{) p k q (n-k)}

La probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute e indipendenti tra loro ,

non tenendo conto dell’ordine in cui si succedono nella sequenza gli A e gli Ā , è la probabilità di una modalità

p

q

per il numero di modalità (

)

ovvero

( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

detta Distribuzione binomiale indicata con Bn,p(k)

k = 0,1,2,3...,n è detta variabile binomiale

Esempi B _n,p (k) = ( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

B _n,p ( ^k ) n = 20 p = 0,3

Caratteristiche della distribuzione binomiale

- la distribuzione binomiale e' normalizzata

Distribuzione binomiale

il valor medio (atteso) è np .

Distribuzione binomiale – valore medio (atteso)

Distribuzione binomiale – la varianza è np(1-p) = npq

Distribuzione di Poisson

Per n  e p  0 ma np limitato = m

la distribuzione binomiale assume una forma semplice

dipendente dal solo parametro m detta distribuzione di

eventi rari o distribuzione di Poisson

Esercizio

Confronto fra Binomiale con Np=5 per N crescenti e p0

con la Poissoniana P

(k)

Calcolo valor medio atteso E( n)

Calcolo varianza σ ²