Esercizi su v.c. Zero-Uno e Binomiale
1. Considerato un dado truccato in modo che la faccia testa abbia una probabilità tripla rispetto alla faccia croce, determinare l’espressione della funzione di probabilità della v.c. X “numero di teste ottenute nel lancio di una moneta” e determinarne valore atteso e deviazione standard.
Soluzione
Sia la probabilità di ottenere la faccia testa, per cui è la probabilità di ottenere la faccia croce. Dalla somma
+ = 1 si ottiene
=3/4
La funzione di probabilità di X è
f(x) = P(X=x) = (3/4)x × (1/4)1-x x = 0, 1 E(X) = = 3/4
V(X) = × = 3/4×1/4 = 3/16
x= 4
3
2. Considerato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si consideri la v.c. X che assume valore 1 se si ottiene la faccia contrassegnata da 6 punti e valore 0 in caso contrario. Determinare l’espressione della funzione di probabilità della v.c. X, il suo valore atteso e il coefficiente di variazione.
Soluzione
Sia la probabilità di ottenere la faccia contrassegnata da 6 punti.
La funzione di probabilità di X è
f(x) = P(X=x) = (1/6)x × (5/6)1-x x = 0, 1 E(X) = = 1/6
V(X) = × = 1/6×5/6 = 5/36 6 5
/ 1
6
5
CV
3. Considerato un esperimento che consiste nel lancio di 10 dadi equilibrati si consideri la v.c. X “numero di facce contrassegnate da 6 punti”. Si determini l’espressione della funzione di probabilità della v.c. X, il suo valore atteso e la sua varianza. Si determini inoltre la probabilità che il numero di facce contrassegnate con 6 punti si presenti: a) mai, b) almeno una volta, c) 5 volte.
Soluzione
X ha una distribuzione Binomiale di parametri n=10 e Quindi la sua funzione di probabilità è
0,1,...,106 5 6 10 1 P
10
x x x X x f
x x
E(X) = n = 10/6
V(X) = n× = 10×1/6×5/6 = 50/36 Le probabilità richieste sono:
a)
0.1615 65 6 1 0 0 10 P
10 0
X
b)
0.83856 5 6 1 0 1 10 0 P - 1 1 P
10 0
X
X
c)
0.01306 5 6 1 5 5 10 P
5 5
X
4. Sapendo che il 20% degli articoli prodotti da un macchinario risulta difettoso, determinare la probabilità che estraendo in modo casuale 4 articoli se ne ottengano: a) 1 difettoso; b) 4 difettosi; c) al massimo due difettosi.
Estraendo in modo casuale 500 elementi, determinare il valore atteso e la varianza della della distribuzione del numero di pezzi difettosi.
Soluzione
Indicata con X la v.c. “numero di articoli difettosi”, le probabilità richieste sono:
a)
0.2 0.8 0.4096 11 4
P 1 3
X
b)
0.2 0.8 0.0016 44 4
P 4 0
X
c)
0.2 0.8 0.9728 24096 4 . 0 8 . 0 2 P 1 P 0 P 2
P 4 2 2
X X X
X
Per n = 500 la media e la varianza della v.c. X sono uguali a E(X) = 500×0.2 = 100
V(X) = 500×0.2×0.8 = 80
5. Considerato un test composto da 10 quesiti con 5 modalità di risposta, di cui solo una corretta, determinare la probabilità che, rispondendo in modo casuale, si risponda correttamente ad almeno 4 quesiti.
Soluzione
Indicata con X la v.c. “numero di quesiti corretti”, la sua distribuzione è una Binomiale di parametri n=10 e
=0.2 per cui
0.2 0.8 0.1209 38 10 . 0 2 . 2 0 8 10 . 0 2 . 1 0 8 10 . 0 2 . 0 0 1 10 3 P 1 4
P 0 10 1 9 2 8 3 7
X
X
6. Considerata una v.c. X che si distribuisce come una Binomiale di media 1.25 e varianza 1.21875, si determini il valore dei suoi parametri e si calcoli la probabilità che X risulti: a) uguale a zero; b) minore di 3.
Soluzione Dal sistema
21875 . 1 1
25 . 1
n n
si ottengono le soluzioni n=50 e =0.025.
Le probabilità richieste risultano
a)
0.025
0.975
0.2820 00 50
P 0 50
X
b) P
