Propagazione degli Errori e regressione lineare Note e consigli d’uso
-Termine covariante
-- estrapolazione e/o interpolazione
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?
Quando l’errore delle variabili x, y, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una sovrastima o sottostima di x implica una sovrastima o sottostima di yallora la
relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e y, diventa:
) )(
1 ( Covarianza
) 2 , ( ) , ( )
, ( )
, (
, 2
2
, 2
2
,
x x y N y
dove
y y x q x
y x q y
y x q x
y x q
i i
xy
xy y
y x x y
y y x x x
y y x x q
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ? La covarianza xy stima in che proporzione “x” fluttua assieme a “y”.
- Se le osservabili fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti si annulla (posto che N sia sufficientemente grande)
- Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti ha segno definito così da rendere σ2xy non nulla e, a volte, non trascurabile rispetto a σ2x e σ2y
- nel caso in cui N (numero di misure) sia piccolo allora val la pena fare una prova (fatelo nelle relazioni non nello scritto a meno che non sia richiesto)
- Calcolo ipotizzando la non correlazione
- Calcolo ipotizzando la massima correlazione - e’ chiamato errore massimo
- Se la massima correlazione modifica il risultato della propagazione allora vale la pena di considerare il termine covariante
N yi y xi x
xy
Covarianza 1
Nota:
Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora
Le incertezze quindi si sommano !
Si può dimostrare quindi che vale sempre questa disuguaglianza
y y y x x x
y y x x q
y x y y x x y
y y x x x
y y x x q
y x xy
y y x q x
y x q
y y x q x
y x q y
y x q x
y x q
, ,
, 2
2
, 2
2
,
) , ( )
, (
) 2 , ( ) , ( )
, ( )
, (
Covarianza
b b b a
a a
q b
b a q a
b a
q
0 0
) , ( )
, (
Quindi:
Calcolo ipotizzando la non correlazione
Calcolo ipotizzando la massima correlazione (errore massimo)
Nel caso ci fosse una differenza sostanziale tra i due valori allora il contesto fisico e/o la analisi dati specifica mi dirà se posso ritenere i dati correlati o in generale cosa riportare come errore sperimentale
2 2
, 2
2
,
) , ( )
, (
y y y x x x
y y x x
q y
y x q x
y x
q
y y y x x x
y y x x
q y
y x q x
y x
q
, ,
) , ( )
, (
Cannelli pag. 111
Nota Importante
Nella propagazione degli errori posso usare sia la deviazione standard che la deviazione dalla media.
Il risultato sarà ovviamente una deviazione standard o una deviazione dalla Media Il contesto e/o l’obiettivo dell’operazione di propagazione errori vi dirà cosa usare.
Ovviamente il risultato ottenuto avrà un significato completamente differente
Posso stimare se gli errori su a e b sono indipendenti tra loro ?
1) Calcolate la covarianza
2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando - Esempio:
- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T2)
- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente
angolare a±a e termine noto b ±b (ad esempio con una regressione lineare) y = ax + b ad esempio L = a T2 + b
-Volete estrapolare il valore della retta yo nel punto xo e volete anche avere una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione
-ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un periodo di 5 s
- Notate che ora le variabili con incertezza sono a e b non x e y
Allora il valore della variabile yo è dato da
y0 = a x0 + b ad esempio L = 25 a + b L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori
In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali.
La relazione per la deviazione standard su yo
Attenzione quindi che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i quali avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel caso del pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate.
Quindi:
2 0
2 2
2
2
0 o a b ab
y
x x
Estrapolazione - Interpolazione
La procedura di calcolo della variabile Y (non misurata) è detta interpolazione quando il valore della x è compreso tra due valori di X misurati. E’ detta invece estrapolazione quando il valore della X è all’esterno dei valori misurati
Il valore della Y estrapolata/interpolata si ottiene applicando la relazione lineare
Più complessa risulta l’estrazione dell’incertezza della osservabile interpolata/estrapolata Y infatti:
- Il punto di partenza sono le coppie di misure (xi,yi)
- da queste coppie di misure sono stati estratti i parametri a, a, b, b
- da questi parametri vogliamo ora estrarre una Y0 (interpolata o estrapolata) a partire da una determinata xo
- da questi parametri vogliamo ora estrarre la corrispondente y - posso usare la propagazione degli errori
- Attenzione che stavolta l’errore di a e quello di b sono correlati perche sono estratti da un medesimo dataset.
a bx
y
Estrapolazione - Interpolazione
Devo usare il termine di covarianza nella relazione di propagazione degli errori
Eseguendo un certo ammontare di conti si arriva alla relazione più semplice:
Quindi, come già preannunciato, l’errore sulla Y interpolata/estrapolata NON è la y estratta dai dati sperimentali o dalla regressione lineare ma qualcosa di più
complesso
)
; cov(
2 2
2 2
2 0
0
0 a b
b y a
y b
y a
y a bx
y
b a
y
N
i
i y
b a
y x x
x a
bx y
1 0 2
2 2 0
2 2
0
Esempio
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Propagazione degli errori
• Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori
