Nota iniziale

Nota iniziale

Per una compilazione corretta della scheda è fondamentale riportare e rispondere correttamente alle domande poste nelle varie sezioni.

La domanda e la sua relativa risposta devono essere evidenziate da un quadrato, dal grassetto o in qualche modo

Scheda n.1

g dipende dalla oscillazione considerata ? Si se quantifica di quanto cambia il valore di g Può essere una fluttuazione statistica, quantifica.

Scheda n.1a

Cosa ho imparato da queste due schede ? Scheda n.1b

Cosa ho imparato dalla scheda 1b ?

Quanto cambia il valore di g prendendo solo un periodo e la media dei 15 ? Quanto cambia l’errore su g prendendo solo un periodo e la media dei 15 ? Quantifica i risultati,

Scheda n.1c

Le due misure sono compatibili ? Perché ? Cosa ho imparato ? Scheda n.2

La differenza dei periodi misurati a diversi angoli è statisticamente significativa ? La differenza dei T₀ estratti a diversi angoli è statisticamente significativa ?

Esiste un angolo limite oltre al quale T₀ non è costante ? Scheda n.3 and 3a e 3b

C’e’ evidenza di errori sistematici ?

Il valore di g estratto nella schede 3, 3a e 3b sono differenti, di quanto ? Perche ? L’errore g estratto nella scheda 3, 3a 3b sono differenti, di quanto ? Perche ? Scheda n.4

g dipende dalla massa appesa ? Se si di quanto ? La differenza è significativa ? Conclusioni

Quantifica i risultati !

Quale è il valore di g che ho misurato ? E’ consistente con le attese ?

Quale è il metodo più affidabile per misurare g ?

La relazione è sostanzialmente la sintesi di questi punti

ESPERIENZA Pendolo

Nome Cognome:

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Data Consegna:

Anno accademico:

Se Possibile tenete il formato di queste schede

Obiettivo dell’esperimento

Materiale a disposizione

Relazioni usate e approssimazioni fatte

Modalità di esecuzione e risultato atteso

Pendolo

Pendolo - Scheda n. 0

CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DEL PENDOLO

Dataset 1

Lunghezza filo L₁=

Posizione del centro di massa della massa appesa L₂= Correzioni dovute a nodi, ….. L₃ =

Lunghezza pendolo L=

Errore sulla lunghezza del pendolo =

Disegno e conti su come avete calcolato il centro di massa della massa appesa al pendolo

Disegno e conti su come avete calcolato il centro di massa della massa appesa al pendolo

…. continua

L1 L2 L3 L

M1 xx g M2 yy g M3 zz g

.. .. .. .. .. ..

Tabella riassuntiva posizioni centro di massa

Pendolo - Scheda n.1

Tabella con il Dataset-1 e le accelerazioni di gravità ottenute per ogni periodo misurato Fate attenzione a:

• Unità di misura

• Intestazione tabella

• Cifre significative

Periodo (s) Acc. Grav. (m/s²) 1

2 3

…………

15

Specificate la massa, la lunghezza del pendolo e l’angolo di oscillazione

Asse X # periodo

Asse Y Periodo Misurato

Utilizzate un foglio elettronico o un qualsiasi Strumento informatico. In alternativa usate la carta millimetrata

• Mettete esplicitamente cosa c’e’ sugli assi

• Scegliete con cura gli estremi dell’asse delle X e delle Y

• Indicate il valore atteso

Asse X # periodo

Asse Y Acc. Grav. estratta

Utilizzate un foglio elettronico o un qualsiasi Strumento informatico. In alternativa usate la carta millimetrata

• Mettete esplicitamente cosa c’e’ sugli assi

• Scegliete con cura gli estremi dell’asse delle X e delle Y

• Indicate il valore atteso

g dipende dalla oscillazione considerata ? Si se quantifica di quanto cambia il valore di g Può essere una fluttuazione statistica, quantifica.

Pendolo - Scheda n.1a

Dai Dati del Dataset-1 estraete: Valor medio

Deviazione standard Deviazione dalla Media

del periodo del pendolo misurato e dell’accelerazione di gravità estratta

Fate poi una Tabella con questi valori

T = xxx m/s² s_T = xx m/s² s_T^m = xx m/s² g = xxx m/s² s_g = xx m/s² s_g^m = xx m/s²

Grafico del risultato ottenuto (con barre di errore date dalla deviazione dalla media) paragonato con quello atteso,

9.70 9.75 9.80 9.85 9.90 9.95 10.00

0 1 arb. units2 3 4

Accelerazione di Gravità (m/s2)

Valore Atteso Misura sperimentale Scrivete cosa c’e’ sugli assi. Mettete le unità di misura. Fate un didascalia

Non è importante farlo con il PC. Usate pure la carta millimetrata

Estraete la discrepanza tra misura e valore atteso e commentate il risultato ottenuto

Cosa ho imparato da queste due schede ?

Pendolo - Scheda n.1b

1 - Estrarre l’accelerazione di gravità a partire dal primo o secondo periodo misurato con e senza la correzione per l’angolo di oscillazione (vedi lucidi successivi o discussione in aula).

Dove T_o = periodo del pendolo che avrei dovuto misurare nel caso il pendolo fosse ideale

2 - A partire dall’incertezza su q e T calcolate il contributo introdotto da q alla misura del periodo T₀

3 - Calcolate poi la deviazione standard di g con la propagazione degli errori esplicitando il contributo all’errore introdotto dalla misura del periodo e dalla misura della lunghezza

g = xxx m/s² s_g = xx m/s² s_g^m = xx m/s² Cosa ho imparato dalla scheda 1b ?

Quanto cambia il valore di g prendendo solo un periodo e la media dei 15 ? Quanto cambia l’errore su g prendendo solo un periodo e la media dei 15 ? Quantifica i risultati,

Non Corretto g = s_g = s_g (media) =

Corretto g = s_g = s_g (media) =

q= s_q= T= s_T= T₀= s_T0=

1° termine (T_o) df(L,T)/dT_o= df(L,T)/dT₀ sT₀ (df(L,T)/dT₀ sT₀)² 2° Termine L df(L,T)/dL= df(L,T)/dL s_L (df(L,T)/dL sL)²

T = T₀ 1 1

2² sin² q

2  1 2²

3 4



 



 

2

sin⁴ q 2 ...



 





 



Tabella con le correzioni del periodo pendolo

1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030

0 10 20 30 40

Ampiezza di Oscillazione

Fattore di correzione del periodo

Nota:

Nel pendolo reale il periodo tende ad essere maggiore di quello calcolato con l’approssimazione delle piccole

oscillazioni

Il fattore di correzione, quindi, deve ridurre il periodo del pendolo ‘reale’ (quindi quello che avete misurato) per

‘tenere conto’ dell’ipotesi piccole oscillazioni

Pendolo - Scheda n.1c

Grafico del risultato ottenuto (con barre di errore date dalla deviazione dalla media) paragonato con quello atteso e con quello delle schede 1b e 2a.

Estraete la

discrepanza e ‘t’ tra misura e valore atteso

Scrivete cosa c’e’ sugli assi.

Mettete le unità di misura. Fate un didascalia

Non è importante farlo con il PC.

Usate pure la carta millimetrata

Le due misure sono compatibili ? Perché ?

Cosa ho imparato ?

Confrontate la miglior stima di g con il suo errore estratta nella scheda 1b con quella estratta nella scheda 1 a . Mettete il confronto in un grafico

g = xxx ± yyy

Pendolo - Scheda n.2

Dataset 2

Fate un plot con il periodo del pendolo misurato a diversi angoli (ascisse angolo di oscillazione, ordinate periodo del pendolo).

Ricordatevi, per ogni punto, di inserire le barre di errore sulla misura dell’angolo e su quella del periodo

Domanda:

La differenza dei periodi misurati a diversi angoli è statisticamente significativa ?

Utilizzando la relazione

Estraete l’osservabile T₀ (con relativo errore) per i diversi valori dell’angolo di oscillazione e producete un grafico con il valore di T₀ estratto a diversi angoli (ascisse angolo di

oscillazione, ordinate T₀).

Ricordatevi, per ogni punto, di inserire le barre di errore sulla misura dell’angolo e su quella del periodo

Domanda:

La differenza dei T₀ estratti a diversi angoli è statisticamente significativa ?

Esiste un angolo limite oltre al quale T₀ non è costante ? T = T₀ 1 1

2² sin² q

2  1 2²

3 4



 



 

2

sin⁴ q 2 ...



 





 



Confrontare in un plot l’andamento previsto dalla relazione

• con la misura del periodo misurato a 30°, 25°, 20°, 10° gradi presi dal dataset-3

• Usate come misura di T₀ quella ottenuta nel dataset -4 con l’ampiezza di oscillazione che va asindoticamente a zero

Pendolo - Scheda n.2a

Verifica della dipendenza del periodo dall’ampiezza di oscillazione

T = T₀ 1 1

2² sin² q

2  1 2²

3 4



 



 

2

sin⁴ q 2 ...



 





 



Pendolo - Scheda n.3 Descrizione dataset-3

L = x m L = x m L = x m L = x m

Misure (s) T ± s_m Misure (s)

- q Corrette -

T ± s_m

Tabella del periodo misurato per una oscillazione del pendolo con e senza la correzione per l’angolo

Fate un PLOT

Asse X Lunghezza Pendolo con errore Asse Y Periodo al quadrato con errore Fate un PLOT

Asse X Lunghezza Pendolo con errore Asse Y Acc. Grav. con errore

L = x m L = x m L = x m L = x m

g g ± s_m

Estraete l’accelerazione di gravità e il suo errore (con T corretto per q) mediando il valore ottenuto con le diverse lunghezze

Pendolo - Scheda n.3a

Tabella Coefficienti di correlazione T vs L, T² vs L e T³ vs L.

-Usate T corretto per q – CONCLUSIONI

Estraete l’accelerazione di gravità (con T corretto per q) con il suo relativo errore attraverso la regressione lineare.

C’e’ evidenza di errori sistematici ?

Analizzate il termine noto !

Il valore di g estratto nella scheda 3a e quello estratto in questa scheda sono differenti, di quanto ? Perche ?

L’errore sul valore di g estratto nella scheda 3a e quello estratto in questa scheda sono differenti, di quanto ? Perche ?

Discutete i risultati

Riflettete su che osservabile è stata messa sulle ordinate e quale sulle ascisse. Può influire nella stima dell’errore sistematico ?

2

4 2 ^a

a g T

L q

mx

Y 



 



= 



= 

Pendolo - Scheda n.3b

Rifate la regressione lineare tenendo conto che gli errori sulla misura di L e di T sono noti

I risultati sono diversi ? Se si di quanto ?

La differenza è significativa ? (exp) (exp)

)

( ^{2 2}

2

x y

y tot s bs

s = 

Pendolo - Scheda n.4 Facoltativa

Descrizione dataset-5

M1 M2 M3 M4

Lunghezza flo Misure (s) - q Corrette -

T ± s_m

Tabella del periodo misurato per le diverse masse (almeno due)

Estraete g con l’errore ricordandovi di prendere la prima oscillazione e correggere per l’angolo.

I dati sono compatibili ? posso fare una media pesata ? Si osserva qualcosa di anomalo ?

M1 M2 M3 M4

g g ± s_m

g dipende dalla massa appesa ? Se si di quanto ?

La differenza è significativa ?

CONCLUSIONI

Grafico del valore di g ottenuto mediando i risultati con differenti masse, con differenti L, con la regressione lineare e quello delle schede 1b,1c e 2.

Confrontatelo con il valore atteso

PLOT

Quale è il valore di g che ho misurato ? E’ consistente con le attese ?

Quale è il metodo più affidabile per misurare g ?