STATISTICA e PROBABILITA'
Il problema della misura si pone in termini
probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati.
E' necessario quindi introdurre alcuni elementi di
teoria della probabilità
La Statistica è la disciplina che studia quantitativamente i fenomeni collettivi
L'insieme di tutte le possibili osservazioni di un fenomeno costituisce la Popolazione
L'insieme di osservazioni parziali costituiscono un Campione
●
metodi e le finalita' della statistica sono diversi secondo che la popolazione venga osservata per intero o in modo parziale.
Nel caso della misura, l'indagine viene condotta su un campione di dati e la statistica, che va sotto il nome di I nferenza statistica, nferenza statistica, fornisce i metodi con cui le informazioni fornisce i metodi con cui le informazioni contenute nel campione vengono estese, riferite, all'intera contenute nel campione vengono estese, riferite, all'intera
popolazione.
popolazione.
Le diverse definizioni di Probabilita'
1-DEFINIZIONE CLASSICA di probabilità: (a priori)
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Il risultato di un esperimento si possa presentare con n eventi possibili ( modalita' dell'evento) e sia A un evento possibile.
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La probabilita’ di un evento A, P(A), è uguale al rapporto fra il numero di casi favorevoli n(A) al verificarsi dell’evento stesso e il numero n dei casi possibili, purché tutti equiprobabili:
P(A) = n(A)/n
2-DEFINIZIONE EMPIRICA o STATISTICA di probabilità:(a posteriori)
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Supponendo che sia possibile ripetere un esperinento un numero N di volte
nelle stesse condizioni ,la probabilità P(A) di un determinato evento A è il limite del rapporto tra il numero M(A) di volte in cui si è manifestato l’evento
favorevole e il numero N di prove, al tendere all’infinito del numero di prove stesse, cioé
P(A) = lim M(A)/N per N infinito →
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Da entrambe le definizioni risulta 0 P(A) 1 ; P(A)=0 per evento impossibile
P(A)=1 evento certo
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La definizione classica di probabilita' e' insoddisfacente per 2 motivi: in primo luogo sottointende il concetto di
equiprobabilita', cosicche' nell'ambito della definizione si usa il concetto stesso da definire. Inoltre essa e' applicabile solo se gli eventi elementari hanno tutti la medesima probabilita'
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La definizione empirica di probabilita' sottointende che l'evento sia ripetibile nelle stesse condizioni sperimentali un numero N grande di volte. Inoltre presuppone a priori una convergenza della frequenza relativa al crescere di N, verso un valore ben definito.
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Le due definizioni (classica ed empirica) trovano una
consistenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di
Bernoulli) .
Teorema di Bernoulli
L'enunciato in forma semplificata e' il seguente:
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Sia A un evento possibile In una serie di prove di un dato esperimento ripetuto nelle stesse condizioni . Se l'evento A si e'presentato M(A) volte in N prove, la probabilita' che la
frequenza relativa f(A)=M(A)/N differisca dalla sua probabilita' classica P(A) di una quantita' in valore assoluto minore di un ε positivo piccolo a piacere , tende a 1 col crescere del numero delle prove.
La convergenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di
Bernoulli e' quindi intesa in senso statistico (o debole)e non
implica una convergenza esatta nel senso dell'analisi: non implica
cioe'che, preso un numero positivo ε piccolo a piacere sia possibile
determinare in conseguenza un intero M tale che per ogni N>M
risulti sicuramente |f(A)-P(A)| <ε
Cosa significa convergenza statistica
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Gli studenti hanno gia' verificato nei risultati della loro esperienza (lancio dei dadi) il significato di convergenza statistica .
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Vale ancora sottolineare che tale convergenza non preveda che all'aumentare del numero delle prove l'uscita di un evento A
(comparsa di una determinata faccia di un dado) sia certa ma solo che aumenti la probabilita' del verificarsi di A ,senza che si
raggiunga mai la certezza..
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esempio: nel gioco del lotto non esiste un numero M di volte dopo il quale un numero prefissato che non e’ uscito per M volte , esca con certezza.
Rappresentazione grafica di una convergenza statistica
3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilita' La definizione assiomatica di probabilita' e' matematicamente
consistente e supera le incongruenze delle definizioni precedenti.
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La probabilita' di un evento A e' definita come una funzione d'insieme
E' necessario pertanto premettere alla sua definizione alcune nozioni
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-Eventi - Insieme e sottoinsieme di eventi . Spazio campionario degli eventi,
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- Operazioni d'Insieme (unione -intersezione)
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-Funzione d'insieme
EVENTI e INSIEME o SOTTOINSIEME di EVENTI
SPAZIO CAMPIONARIO
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Eventi semplici o elementari = possibili risultati o modalita' dell'esperimento non ulteriormente scomponibili
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Spazio degli eventi S = totalità degli eventi elementari associati all'esperimento
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Insieme o sottoinsieme di eventi=combinazione di uno o piu' eventi semplici
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Eventi complessi = sottoinsieme dello spazio campionario
Esempio 1: Lancio di un dado
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Spazio campionario: E
1(comparsa faccia 1), E
2, E
3, E
4, E
5, E
6●
Evento complesso: comparsa faccia pari E
2, E
4, E
6Esempi
Esempio 2: lancio 2 dadi a 6 facce
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Spazio campionario; tutti gli eventi semplici che sono le 36 coppie di valori (1,1) (1,2) ... rappresentabili in un piano cartesiano dai punti in figura
●
Evento complesso
esempio: risultato del lancio somma 7 :
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Esempio 3: lancio di una moneta 3 volte
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Spazio degli eventi:TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC
Evento complesso :prima uscita T= sottoinsieme TTT, TTC, TCT, TCC,
Esempio 4: misura della lunghezza di una barra d'acciaio in un processo produttivo. L'osservazione del fenomeno assegna
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Spazio degli eventi = Valori compresi fra 295 e 305 cm
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Evento complesso:=Valori di lunghezza >300 cm
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valori > 300 cm : sottoinsieme 300-305 cm
Operazioni su insiemi
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Data la corrispondenza fra eventi e insieme di punti, lo studio della relazione tra eventi è riconducibile allo studio della relazione fra insiemi.
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Uno schema molto utile per illustrare gli insiemi e mostrarne le relazioni è il diagramma di Venn. Si tratta di un diagramma che rappresenta l'insieme con i punti contenuti in un cerchio, in un rettangolo o in altra figura piana.
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Insieme complementare = tutti gli elementi di S che non Ā appartengono ad A
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Insieme vuoto = insieme che non contiene alcun Ǿ elemento
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Insiemi A e B disgiunti
o mutualmente esclusivi
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Insiemi A e B congiunti
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Insieme unione di insiemi A e B si indica A B
insieme degli elementi di A o di B o di entrambi
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Insieme intersezione di insiemi A e B si indica A ∩ B
insieme dei punti che appartengono ad A ed a B
A ∩B=
Insiemi congiunti Insiemi disgiunti
Funzione d'insieme
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Nell'accezione usuale, una funzione f(x) e' una legge che associa a cascun punto di un dato insieme di punti (dominio)uno e un sol punto di un altro insieme (codominio).Tale nozione puo'
essere facilmente estesa al caso in cui gli elementi del dominio siano insiemi di punti anziche' singoli punti.
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Esempio
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si considerino i cerchi nel piano (x,y) di raggio r= (x
2+y
2)
½;a ciascun cerchio si puo' associare l'area corrispondente s = r
2.
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s cosi' definita e' funzione d'insieme.
Nella successiva definizione assiomatica di probabilita' si associa
ad un insieme o ad un sottoinsieme A una funzione P(A)
3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilità
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Ad ogni insieme A viene assegnata una funzione d'insieme P(A) detta Probabilità dell'insieme che deve soddisfare le seguenti proprietà
– P(A) ≥ 0 per ogni A
– P(S) = 1
– P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi).
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E' una definizione puramente formale basata su 3 assiomi.
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Si tratta di dare una definizione operativa di probabilità ovvero di definire operativamente la misura della probabilità di un
insieme A.
Legge della probabilità totale (forma semplice)
La proprieta' della definizione assiomatica
P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi)
e' nota come regola della Probabilita' totale per insiemi disgiunti . Essa e' anche formulata come:
Se un evento puo' manifestarsi con modalita' diverse che si escludono a vicenda, la probabilita' dell'evento e' la somma
delle probabilita' corrispondenti a quelle modalita'.
Assegnazione della probabilta' agli eventi
●
Sia la definizione classica, sia la definizione empirica di probabilita' soddisfa gli assiomi,e risultano con cio' matematicamente consistenti.
●
La definizione assiomatica di probabilita', non dice nulla su
come assegnare dei valori alla probabilita '. Tuttavia su tali valori si possono fare delle ipotesi , verificabili poi analizzando gli
eventi reali osservati. Si facciano ,per tutti, gli esempi
dell'assegnazione delle probabilita' nei giochi d'azzardo in cui in genere gli eventi sono supposti non equiprobabili.
L'assegnazione della probabilita' agli eventi di S deve
soddisfare la condizione di normalizzazione P(S)=1
Esempio di assegnazione della probabilita' ad eventi non equiprobabili
Agli eventi semplici che sono il risultato del lancio di un dado a sei facce equiprobabile si assegnano le probabilita' mediante la definizione classica
P(E 1 )=P(E 2 )=P(E 3 )=P(E 4 )=P(E 5 )=P(E 6 )=1/6
Se si suppone che il dado sia “truccato” (per esempio si sospetti che la faccia “2” abbia probabilita' doppia delle altre) si usano le proprieta' della
definizione assiomatica
P(E 1 )=P(E 2 )=P(E 4 )=P(E 5 )=P(E 6 )=1/7 P(E 2 )=2/7
Esempio di assegnazione della probabilita' ad eventi complessi
Si voglia valutare adesso (utilizzando il dado “truccato”)
la probabilita' degli eventi complessi A (punteggio pari =2,4,6) B (punteggio inferiore a 3 =1,2) C (punteggio pari o inferiore a 3 =A ∪ B) gli eventi A e B sono
congiunti.
Per calcolare P(A) e P(B) si applica la proprieta' assiomatica degli eventi disgiunti da cui P(A)=2/7+1/7+1/7=4/7
P(B)=1/7+2/7=3/7 ma per il calcolo d P(A ∪ B ) con A e B congiunti non
abbiamo ancora la regola!
Legge della probabilità totale(forma generale)
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La proprieta' assiomatica
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P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti
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permette di ricavare la regola della proprieta' totale nella che forma generale ,estesa anche ad insiemi congiunti .
P(A U B ) = P(A) + P(B) ─ P( A∩ B)
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Dimostrazione:
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Siano A e B insieme congiunti
In figura e' mostrato come e' sempre possibile esprimere l'insieme unione A U B di insiemi congiunti come l'unione di insiemi disgiunti
e applicare all'insieme (A U B) la proprieta' della somma di insiemi disgiunti
●
inoltre sia A che B possono sempre esprimersi come unione di insiemi disgiunti nella forma:
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da cui si ottiengono le relazioni
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che sostituiti nella precedente
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danno il risultato P(A U B)=P(A)+P(B) –P( A∩ B)
P(A∣B) = Probabilità condizionata di A dato B
Risulta talora necessario in alcuni problemi ,valutare la probabilita' che si verifichi un evento A essendosi gia' verificato un evento B
Siano A e B due eventi dello spazio campionario S e sia P(B)0 non nulla.
Si definisce probabilita' condizionata di A dato B , che si indica come P(A∣B) la probabilita' dell'intersezione A∩ B diviso la
probabilita' di B
P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)
[ovviamente P(A∣B)=0 se gli eventi o insiemi sono disgiunti
essendo A ∩B= Ǿ]
La P(A ∣B) soddisfa gli assiomi
Si puo' verificare che questa definizione di probabilita' soddisfa le proprieta' della definizione assiomatica.
Infatti se B e' un sottonsieme di S ,dalla proprieta' P(A∩B)≤P(B)<1 e P(A∣B)=P(A∩B)/P(B) risulta
0≤P(A∣B)≤1
essendo 0=P(A∣B) se gli eventi A e B sono disgiunti e P(A∣B)=1 se B⊂A o B=A
La probabilita' condizionata P(A∣B) puo' essere
<=> P(A)
Esempio P(A∣B) > P(A) il verificarsi dell'evento B favorisce il verificarsi di A
1)Nell'ipotesi che una famiglia abbia 2 figli,cercare la probabilita'
condizionata che ambedue i figli siano maschi, sapendo che almeno uno di essi e' maschio.
Spazio campionario: (m,m) , (m,f), (f,m),(f,f) supposti equiprobabili gli eventi hanno probabilita' 1/4
sottoinsieme A: (m,m)
sottoinsieme B:(m,m), (m,f), (f,m)
P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/4/3/4=1/3>P(A)=1/4
Se A ⊂B P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)/P(B) >P(A)
Esempio : P(A∣B) < P(A)
Se P(A∣B) < P(A) il verificarsi dell'evento B sfavorisce il verificarsi di A
i
2)Nell'ipotesi che una famiglia abbia 2 figli,cercare la probabilita'
condizionata che almeno uno sia un maschio ,sapendo che il primo e' una femmina
evento A: (m,m),(m,f),(f,m) ; evento B (f,f),(f,m)
P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/4/1/2=1/2<P(A)=3/4
La probabilita' condizionata P(A∣B) puo' essere = P(A)
Se P(A∣B) = P(A) il verificarsi dell'evento B non influisce sul verificarsi dell'evento A
gli eventi A e B sono indipendenti tra loro
Esempio : Si consideri il lancio di 2 dadi simmetrici.Sia A l'evento che la somma dei 2 dadi sia 7 e B l'evento che il I dado sia 4 Si calcoli la
probabilita' condizionata P(A∣B)
Evento A:(1,6) (2,5),(3,4) (4,3)(5,2)(6,1) Evento B :(4,1) (4,2)(4,3) (4,4)(4,5) (4,6)
Evento A∩B = (4,3)
P(A∣B) = P(A∩B)/ P(B)=1/36 / 1/6=6/36=P(A)
Legge della probabilità composta ( forma generale)
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Dalla definizione di probabilita' condizionata P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)
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si ricava
P(A∩B)=P(A∣B) P(B) o anche P(B∩A)=P(B∣A) P(A)
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