Daniela Fortuna Daniela Fortuna
Gestione ed Analisi Statistica dei dati Gestione ed Analisi Statistica dei dati
12 giugno 2014 12 giugno 2014
Master in
Master in “ “ Evidence Based Evidence Based Practice Practice e e Metodologia della Ricerca
Metodologia della Ricerca clinico clinico- -assistenziale assistenziale” ”
Finora abbiamo visto come l
Finora abbiamo visto come l ’uso degli intervalli di ’ uso degli intervalli di
confidenza permettono di estendere i risultati di un confidenza permettono di estendere i risultati di un campione alla popolazione di riferimento.
campione alla popolazione di riferimento.
TEST di ipotesi
mettere a confronto due o pi
mettere a confronto due o pi ù ù gruppi gruppi , , oppure
oppure
mettere a confronto un risultato ottenuto mettere a confronto un risultato ottenuto
dal campione e un valore atteso.
dal campione e un valore atteso.
Il passo successivo nell
Il passo successivo nell ’ ’ analisi statistica analisi statistica è è
TEST di IPOTESI: Significatività Statistica
Si mettono a confronto due misure, allo scopo di verificare Si mettono a confronto due misure, allo scopo di verificare
se la loro differenza
se la loro differenza è è probabilmente probabilmente dovuta al caso dovuta al caso oppure no.
oppure no.
Se la differenza
Se la differenza NON NON è è CASUALE CASUALE cioè cio è non è non è dovuta al dovuta al caso, si dice che
caso, si dice che è è
« « statisticamente significativa statisticamente significativa » » . .
La metodologia utilizzata è quella del Test di ipotesi
TEST di ipotesi
TEST significa prova , verifica , accertamento
Tutti i Test (test di gravidanza, test elettorale, test di ammissione, test statistico, ecc.) si basano sulla
verifica di una certa condizione ipotizzata.
La verifica non avviene mai in modo diretto ma attraverso la
valutazione di fenomeni strettamente correlati.
In statistica la verifica si effettua mediante dati
campionari e poiché manca l’evidenza diretta, non avremo certezza ma solo una fiducia più o meno grande nel fatto che la condizione esista.
Quindi l'esito del test
Statistico non da certezza, ma solo una fiducia
valutabile in termini di
probabilità.
TEST di ipotesi
Risultato di un test
Positivo Negativo
Condizione Clinica ignota
Sano falso positivo vero negativo
Malato vero positivo falso negativo
sensibilità del test la frequenza di risultati veri-positivi
specificità del test la frequenza di veri-negativi
α la frequenza di falsi-positivi ( errore del 1° tipo )
β la frequenza di falsi-negativi ( errore del 2° tipo )
EPIDEMIOLOGIA: il TEST diagnostico
Quindi dire che un test è specifico è come dire che ha una bassa probabilità di falsi positivi, cioè che α è piccolo
Specificità e α sono complementari cioè veri-negativi e falsi-positivi sono complementari .
Infatti se un test è specifico con il 100% di veri-negativi non segnalerà mai positività per errore (0% di falsi-positivi).
Sensibilità e β sono complementari cioè
veri-positivi e falsi-negativi sono complementari .
Infatti se un test è sempre giustamente positivo (100% di veri-positivi) non segnalerà mai negatività per errore (0% di falsi negativi).
EPIDEMIOLOGIA: il TEST diagnostico
Risultato del test
Positivo Negativo
Condizione Clinica reale ignota
H0: Sano falsi positivi errore α (di 1° tipo)
veri negativi Specificità
H1:
Malato
veri positivi
Sensibilità falsi negativi errore β (di 2° tipo)
Un test per essere affidabile deve possedere sia un'alta specificità che un'alta sensibilità.
EPIDEMIOLOGIA: il TEST diagnostico
In sintesi
STATISTICA: il TEST d’ipotesi
Lo schema del test statistico è simile a quello del test
diagnostico ma ha la peculiarità di privilegiare l’evidenza dei falsi-positivi rispetto ai falsi-negativi
L’ipotesi di partenza è l’ ipotesi nulla H0
(cioè l’ipotesi dello scettico) quella che nega il risultato, attribuendo le differenze
osservate alla naturale variabilità dei
fenomeni o al campionamento.
STATISTICA: il TEST d’ipotesi
l'ipotesi nulla viene mantenuta fino a che le prove o i dati in nostro possesso non siano tali da costringerci a rifiutarla
Ipotesi nulla H0 : le differenze osservate sono dovute al caso
Concediamo quindi fiducia all‘ ipotesi nulla , rifiutandola solo
quando l'evidenza dei risultati sia macroscopica, cioè quando la
probabilità di falsi-positivi α sia minore del 5%.
se α<5% se α>=5%
H0 rifiutata H0 accettata
Dato significativo Dato non significativo
H0 falsi positivi errore di 1° tipo
valutato con α
veri negativi nessun errore
H1 veri positivi nessun errore
falsi negativi errore di 2° tipo
valutato con β
Risultato del test statistico
Condizione reale ignota
Risultato del TEST statistico
Ipotesi nulla
Ipotesi alternativa
Il risultato di un test statistico è α ovvero il p-value
Ad esempio : Ad esempio :
• • Da un indagine campionaria su 50 soggetti, si Da un indagine campionaria su 50 soggetti, si è è rilevato un tasso di colesterolemia medio rilevato un tasso di colesterolemia medio
pari a 270 mg/dl e deviazione standard =79 , pari a 270 mg/dl e deviazione standard =79 ,
sapendo che il tasso medio in soggetti normali sapendo che il tasso medio in soggetti normali è è 210 mg/dl vogliamo verificare se questa 210 mg/dl vogliamo verificare se questa
differenza
differenza è è dovuta al caso oppure no dovuta al caso oppure no
TEST di ipotesi
Per verificare se la colesterolemia media rilevata nel Per verificare se la colesterolemia media rilevata nel
campione, 270 mg/dl sia significativamente diversa dal valore campione, 270 mg/dl sia significativamente diversa dal valore
normale 210 mg/dl , si parte dall
normale 210 mg/dl , si parte dall ’ipotesi che i due valori medi ’ ipotesi che i due valori medi siano uguali e che la loro differenza
siano uguali e che la loro differenza è è semplicemente dovuta semplicemente dovuta al caso, cio
al caso, cio è è all all ’ ’ errore casuale. errore casuale.
Questa ipotesi di partenza viene chiamata
Questa ipotesi di partenza viene chiamata IPOTESI NULLA e viene indicata come H 0 quindi:
I due valori sono uguali e la loro differenza è dovuta al caso
IPOTESI NULLA H 0
IPOTESI NULLA H 0
Regione di accettazione di H0
Regione di rifiuto di H0 Regione di
rifiuto di H0
Regione di accettazione di H0
Regione di rifiuto di H0
Regione di rifiuto di H0 Regione di
accettazione di H0
Regione di rifiuto di H0
210 270 270
Il test d’ipotesi quindi consiste nel dimostrare se H 0 è vera
Si considera una distribuzione teorica di probabilità e si verifica se la media campionaria è all’interno dell’intervallo a cui corrisponde il 95% di probabilità oppure è fuori da questo intervallo
Media normale
Media campionaria
Regione di rifiuto di H0 Regione di
rifiuto di H0
?
Regione di
accettazione
di H0
La logica del TEST di IPOTESI
IPOTESI NULLA H IPOTESI NULLA H 0 0
Non c
Non c’è ’è nessuna differenza, ovvero nessuna differenza, ovvero la differenza osservata
la differenza osservata è è dovuta al caso dovuta al caso
Accetto o rifiuto l
Accetto o rifiuto l ’ ’ ipotesi nulla? ipotesi nulla?
Per rispondere effettuo un
TEST DI IPOTESI
Errore di 1° tipo: livello di significatività di un test statistico
• Il livello di significatività di un test statistico è α la probabilità di commettere un errore di 1° tipo ovvero è la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla, quando questa è vera
Livello di significatività α = P(errore di 1° tipo ) =
P(rifiutare H 0 0 quando H 0 0 è vera)
Il livello di significatività 5% viene adottato molto frequentemente in quanto si ritiene che il rapporto 1/20 (cioè 0.05) sia sufficientemente piccolo da poter concludere che sia piuttosto improbabile che la
differenza osservata sia dovuta al semplice caso
Ovviamente, se si vuole escludere con maggiore
probabilità l'effetto del caso, si adotterà un livello di significatività inferiore (es. 1% )
Errore di 1° tipo: livello di
significatività di un test statistico
Test d’ipotesi tra 2 medie
Per effettuare il test utilizzo una formula chiamata
Per effettuare il test utilizzo una formula chiamata Statistica Test. Statistica Test .
• • Nel caso del confronto tra 2 medie la statistica test Nel caso del confronto tra 2 medie la statistica test è è la la t di t di Student
Student definita come: definita come:
ES ES è è l’ l ’Errore Errore Standard calcolato Standard calcolato come deviazione come deviazione standard divisa standard divisa la la radice
radice della della numerosità numerosit à campionaria: DS/ campionaria : DS/√ √ n n Dove Dove
m m
11ed ed m m
22sono le due medie a confronto sono le due medie a confronto
ES ES
m m m 1 1 – – m m 2 2 m 1 1 – – m m 2 2 t = t =
ES ES
m m 1 1 – – m m 2 2
TEST di IPOTESI tra 2 medie: test t di
TEST di IPOTESI tra 2 medie: test t di Student Student
confronto tra una media campionaria e una media attesa confronto tra una media campionaria e una media attesa
Esempio Esempio
• • Da un indagine campionaria su 50 soggetti, si è Da un indagine campionaria su 50 soggetti, si è rilevato un tasso di colesterolemia medio pari a rilevato un tasso di colesterolemia medio pari a 270 mg/dl e deviazione standard =79 , sapendo che il tasso medio
270 mg/dl e deviazione standard =79 , sapendo che il tasso medio in soggetti normali è in soggetti normali è 210mg/dl vogliamo verificare se questa differenza
210mg/dl vogliamo verificare se questa differenza è è dovuta al caso oppure no dovuta al caso oppure no
= 8,45 (270-210)
79/√50
60 7,1
-1.7 1.7
= =
8,45 8,45
Gradi di libertà: n-1=50-1=49
Rifiuto l
Rifiuto l’ ’ipotesi nulla H ipotesi nulla H
00: : La differenza
La differenza è è statisticamente statisticamente significatica significatica
Significatività
Valore critico t di student per 49 gradi di liberà
90% 1.299
95% 1.676
97.5% 2.009
99% 2.403
99.5% 2.678
t = t =
ES ES
m m
11– – m m
22• • il risultato del Test di ipotesi va confrontato con un il risultato del Test di ipotesi va confrontato con un VALORE CRITICO
VALORE CRITICO tabulato in apposite tabelle già tabulato in apposite tabelle gi à definite, che riportano definite, che riportano i valori della distribuzione di probabilit
i valori della distribuzione di probabilità à per diversi livelli di per diversi livelli di significativit
significativit à à α α e gradi di libertà e gradi di libert à
• • Se il risultato del test di ipotesi SUPERA Se il risultato del test di ipotesi SUPERA il il valore critico, allora la valore critico , allora la differenza fra i gruppi viene dichiarata
differenza fra i gruppi viene dichiarata statisticamente significativa statisticamente significativa e, e, quindi, l'IPOTESI NULLA viene
quindi, l'IPOTESI NULLA viene RESPINTA RESPINTA . .
• • Se il risultato del test di ipotesi È Se il risultato del test di ipotesi È INFERIORE INFERIORE al valore critico al valore critico, allora , allora la differenza fra i gruppi viene dichiarata
la differenza fra i gruppi viene dichiarata statisticamente NON statisticamente NON significativa
significativa e, quindi, l'IPOTESI NULLA viene ACCETTATA. e, quindi, l'IPOTESI NULLA viene ACCETTATA.
In sintesi
i gradi di libertà rappresentano il numero di possibilità che i dati che compongono un campione hanno di variare liberamente.
Ma cosa sono i gradi di libertà?
Nel nostro esempio abbiamo 50 valori di colesterolemia, ciascuno dei quali può assumere un valore qualsiasi ed un vincolo, la media deve essere 270, io posso assegnare un valore qualsiasi ai primi 50-1 =49 numeri, ma l'ultimo sarà vincolato dal fatto che la media deve essere 270, quindi in questo caso, i gradi di libertà sono 50-1=49.
In generale si calcolano togliendo dal numero delle unità del
campione il numero delle condizioni cui essi sono vincolati.
La distribuzione della t di Student cambia al variare dei gradi di libertà: all’aumentare dei gradi di libertà la curva diventa più stretta e più alta!.
La t di Student e i gradi di libertà
Per questo motivo quando applichiamo il test t di
Student, per trovare il valore critico con cui confrontare il valore della statica test
abbiamo bisogno di calcolare i gradi di libertà. Esistono
quindi tanti valori critici a
seconda dei gradi di libertà
TEST di IPOTESI :test t di
TEST di IPOTESI :test t di Student Student
confronto tra 2 medie campionarie confronto tra 2 medie campionarie
Es. Sono stati rilevati i tempi di ventilazione meccanica, espressi in ore, in due Terapie Intensive post-chirurgiche e si vuole valutare se differiscono in modo
significativo.
m
a=6,7 e m
b=9,3 n
a=13 e n
b=11 s=5,76 Applicando questa formula
Risulta: t=1,09 t=1,09 e confrontando questo valore con quello critico della t di Student corrispondente a 22 22 gradi di libertà che è
2,07 2,07 possiamo dire che la differenza Gradi di libertà:(n
a-1 )+ (n
b-1)=22
TI a: 5 7 9 7 5 15 6 8 4 7 4 5 5
TI b: 11 10 8 0 17 4 0 22 6 24 0
2,07 2,07
Risulta: t=1,09 t=1,09 e confrontando questo valore con quello critico della t di Student corrispondente a 22 22 gradi di libertà che è
2,07 2,07 possiamo dire che la differenza NON è statisticamente significativa con
p=0.14 p=0.14
1,09 1,09
- - 2,072,07
Il valore della statistica test t di Student è inferiore al valore critico quindi:
L’ipotesi nulla viene accettata. Questo significa che la differenza nei tempi medi di ventilazione meccanica rilevati nelle due Terapie Intensive è dovuta al caso
TEST di IPOTESI :test t di
TEST di IPOTESI :test t di Student Student
confronto tra 2 medie campionarie
confronto tra 2 medie campionarie
Sintesi TEST di IPOTESI Sintesi TEST di IPOTESI
IPOTESI NULLA IPOTESI NULLA H
0La differenza è dovuta al caso
Accetto o rifiuto l
Accetto o rifiuto l’ ’ipotesi nulla? ipotesi nulla?
Per rispondere effettuo un TEST DI IPOTESI
Valore del test Valore del test
maggiore maggiore Valore critico Valore critico Ipotesi nulla
RIFIUTATA RIFIUTATA
differenza differenza significativa significativa
Ipotesi nulla Ipotesi nulla ACCETTATA ACCETTATA
differenza differenza
NON NON Valore del test
Valore del test minore minore Valore critico Valore critico
Confronto il valore ottenuto dal TEST Confronto il valore ottenuto dal TEST con dei valori critici gi
con dei valori critici già à calcolati su apposite tabelle calcolati su apposite tabelle
Test t di student con SPSS
SPSS
Click Analizza
Confronta medie
Test t campioni indipendenti
TEST di IPOTESI
TEST di IPOTESI :test :test Chi Chi - - quadrato quadrato
guariti non guariti totali
farmaco 1 52 10 62
farmaco2 40 21 61
totali 92 31 123
Esempio: Si vuole verificare l’efficacia di due diversi farmaci:
le differenze sono statisticamente significative, ad un livello di significatività α del 5%?
guariti (farmaco1)=52/62=84%
guariti (farmaco2)= 40/61=66%
Totale guariti=92/123=74,8%
guariti non guariti totali
farmaco 1 46 16 62
farmaco2 46 15 61
totali 92 31 123
IPOTESI NULLA H
IPOTESI NULLA H
00: la differenza delle % di guariti è dovuta al CASO, I due farmaci sono ugualmente efficaci
Ipotesi Nulla Dati attesi percentuale di guariti
del 74,8% per entrambi i farmaci
TEST di IPOTESI
TEST di IPOTESI :test :test Chi Chi - - quadrato quadrato
guariti non guariti totali
farmaco 1 52 10 62
farmaco2 40 21 61
totali 92 31 123
Esempio:
Si vuole verificare l’efficacia di due diversi farmaci:
le differenze sono statisticamente significative, ad un livello di significatività α del 5%?
Per ciascuna combinazione farmaco guariti si calcola
guariti non guariti totali
farmaco 1 46 16 62
farmaco2 46 15 61
totali 92 31 123
Dati campionari rilevati Dati attesi sotto l’ipotesi nulla
Nel nostro caso, il valore ottenuto è un chi- quadrato con «1 grado di libertà»;
infatti, per tabelle come quella che stiamo studiando,
il grado di libertà è uguale a
(numero di righe-1)x(numero di colonne-1).
Ora, confrontando il nostro valore (5.46) con quelli tabulati, notiamo che esso è >3.841 e <6.635. Ciò consente di ritenere che la differenza
fra i due gruppi sia significativa al livello di significatività α 5% ma non
al livello di significatività 1%.
TEST di IPOTESI
TEST di IPOTESI :test :test Chi Chi - - quadrato quadrato
Osservazioni
Nell’esempio precedente è stato scelto un livello di significatività α del 5%, cioè si è scelto che il rischio massimo accettabile, di commettere l’errore rifiutando l’ipotesi nulla, quando questa è vera, è il 5%.
la probabilità corrispondente al valore del chi-quadrato 5.46, in corrispondenza di 1 grado di libertà è 0.019 e questo valore prende il nome di p-value.
Quindi il
Quindi il
p p - - value value
della differenza di efficacia dei nostri due farmaci messi a condella differenza di efficacia dei nostri due farmaci messi a confronto fronto èè::p=0.019 che è minore di α=0.05
In sintesi: il p-value p=0.019 minore di 0.05 (del 5%) significa che la probabilità che la differenza riscontrata sia dovuta al caso è minore del 5% ovvero
la probabilità che la differenza sia statisticamente significativa è del 95%.
Se avessimo scelto un livello di significatività inferiore, ad esempio dell’1%
non avremmo riscontrato alcuna differenza significativa
nell’efficacia dei due farmaci messi a confronto.
Anche il chi-quadrato come la t di Student varia al variare dei gradi di libertà.
All’aumentare dei gradi di libertà la curva diventa più bassa e più larga!
IL CHI_QUADRATO e i GRADI DI LIBERTA’
Test CHI-QUADRATO con SPSS
SPSS
Click Analizza
Statistiche descrittive
Tavole di contingenza Statistiche
click Chi-quadrato
Studio di efficacia:
Studio di efficacia: ODDS RATIO ODDS RATIO
Sì No
Trattati 19 121
Controlli 17 115
LDP
OR=(19/121)/(17/115)=0,157/0,148=1,06
Odds Odds Ratio Ratio
Negli studi di efficacia di un trattamento spesso è necessario mettere a confronto gli esiti del gruppo di trattamento con quelli del gruppo di controllo espressi come
ODDS Ratio. In questo caso il test di ipotesi deve verificare se l’ODDS RATIO è significativamente diverso da 1
Esempio: studio di efficacia di un nuovo trattamento per la prevenzione delle lesioni
da pressione
TEST per verificare la significatività degli ODDS RATIO
SPSS
Click Analizza
Statistiche descrittive
Tavole di contingenza Statistiche
click Chi-quadrato
click Statistiche di Cochran e Mantel-Heanszel
Il test d’ipotesi utilizzato per verificare se un odds ratio è significativamente diverso da 1 e con quale probabilità (p-value) è il test di Cochran Mantel-
Heanszel, che è una variante del test chi-quadrato
Stima di Mantel-Haenszel del rapporto odds comune
Stima 1,062
ln(stima) ,060
Errore standard di ln(stima) ,358
Significatività asintotica (2 sensi) ,866
Intervallo di
confidenza al 95%
asintotico
Rapporto odds comune
Limite
inferiore ,526
Limite
superiore 2,144
ln(rapporto odds comune)
Limite
inferiore -,642 Limite
superiore ,763
La stima di Mantel-Haenszel del rapporto odds comune viene distribuita in modo asintotico e normale in base al rapporto odds comune dell'assunzione 1,000, in modo analogo al log naturale della stima.
TEST per verificare la significatività degli ODDS RATIO OUTPUT di SPSS
ODDS RATIO
Intervallo di confidenza p-value
Poichè il p-
value=0,866 ed è
superiore a 0,05
l’odds ratio non è
significativamente
diverso da 1
In sintesi In sintesi
per il confronto tra 2 MEDIE MEDIE
Test t di
t di Student Student
per il confronto
tra 2 PROPORZIONI o PROPORZIONI o percentuali
percentuali
Test
Chi Chi - - quadrato quadrato
per la Significatività degli ODDS RATIO
Test
di di Cochran Cochran Mantel Mantel Heanszel Heanszel
Il confronto delle medie tra più di 2 gruppi
Età N° Degenza
media
Std Dev Minimum Maximum
18-30 anni 14 6.6 5.7 2 18
30-40 anni 28 6.4 4.2 2 24
40-50 anni 55 7.9 3.9 3 18
50-60 anni 54 10.9 10.4 2 53
60-70 anni 71 10.5 7.0 3 41
70-80 anni 41 11.8 8.3 2 42
80-90anni 9 15.9 8.5 4 31
Il Test t di Student può essere utilizzato solo per il confronto tra 2 medie
Esempio: su 272 pazienti sottoposti ad intervento chirurgico si vuole valutare se
la degenza media e significativamente diversa tra le classi di età
Il confronto delle medie tra più di 2 gruppi:
Analisi della Varianza (ANOVA)
L’analisi della varianza (in inglese:
Analysis of Variance, abbreviata con l’acronimo ANOVA) è utilizzata per
testare la significatività statistica delle
differenze tra medie campionarie sulla
base delle rispettive varianze.
Il principio alla base di questo test è quello di stabilire se due o più medie campionarie possono derivare da
popolazioni che hanno la stessa media.
Analisi della Varianza (ANOVA)
Quando le medie sono solamente due è
indifferente usare l’ANOVA o il test t di Student,
mentre dobbiamo necessariamente utilizzare
l’ANOVA quando le medie sono più di due.
L'ipotesi alla base dell'analisi della varianza è che :
dati n gruppi, la varianza totale può essere suddivisa in due componenti: Varianza interna ai gruppi Varianza interna ai gruppi (anche detta Within) e
Varianza tra i gruppi
Varianza tra i gruppi (Between).
Varianza totale = Varianza within + Varianza between
Ipotesi nulla H0
Varianza between < Varianza within
e quindi la differenza tra i gruppi è
dovuta alla sola variabilità interna
La logica dell’ANOVA
Quindi l’analisi della varianza si basa sul rapporto
e la significatività è verificata mediante il test F di Fisher
Analisi della Varianza (ANOVA)
Varianza interna ai gruppi (
Varianza interna ai gruppi ( Within Within ) ) Varianza tra i gruppi (
Varianza tra i gruppi (Between Between ) )
ANOVA in SPSS
SPSS SPSS Click
Click Analizza Analizza
Confronta medie Confronta medie
ANOVA
ANOVA univariata univariata
Il risultato SPSS per l’ANOVA sulle degenze medie per gruppi di età
ANOVA
