Traiettorie nello spazio degli stati
Per mostrare i tipici andamenti delle traiettorie nello spazio degli stati in fun- zione della posizione dei poli del sistema si far`a riferimento ad un esempio: un sistema massa, molla e smorzatore.
L’equazione differenziale che descrive il comportamento di un sistema dinamico del tipo massa M - molla K - smorzatore f e su cui agisce una forza esterna F , `e la seguente:
F = M ¨x + f ˙x + Kx
Una descrizione equivalente del sistema nello spazio degli stati `e la seguente
(1)
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
x(t) =˙
⎡
⎢⎣ 0 1
−α0 −α1
⎤
⎥⎦x(t) +
⎡
⎢⎣ 0 β
⎤
⎥⎦u(t) y(t) = [ 1 0 ] x(t)
dove si `e posto x =
⎡
⎢⎣ x1
x2
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ x
˙x
⎤
⎥⎦
α0 = MK α1 = Mf
β = M1 u = F Indicando con A, B e C le seguenti matrici:
A =
⎡
⎢⎣ 0 1
−α0 −α1
⎤
⎥⎦, B =
⎡
⎢⎣ 0 β
⎤
⎥⎦, C = [ 1 0 ] il sistema pu`o essere rappresentato in forma compatta come segue
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x(t) = A x(t) + B u(t)˙ y(t) = C x(t)
La caratteristiche dinamiche del sistema cambiano al variare dei valori numerici dei parametri. Si considerano ora tre casi diversi.
Caso I. Posto M = 1, K = 2 e f = 3 si ottiene il seguente sistema:
(2)
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
x(t) =˙
⎡
⎢⎣ 0 1
−2 −3
⎤
⎥⎦x(t) +
⎡
⎢⎣ 0 1
⎤
⎥⎦u(t) y = [ 1 0 ] x(t)
Il polinomio caratteristico della matrice A `e il seguente:
det(λI − A) = det
⎡
⎢⎣ λ −1 2 λ + 3
⎤
⎥⎦ = λ2 + 3λ + 2 = (λ + 1)(λ + 2) Gli autovalori della matrice A sono quindi
λ1 = −1, λ2 = −2
Ai due autovalori distinti λ1 e λ2 corrispondono due autovettori v1 e v2 li- nearmente indipendenti. Gli autovettori v1 e v2 si determinano risolvendo i seguenti sistemi omogenei
(A − λ1I)v1 = o, (A − λ2I)v2 = o cio`e ⎡
⎢⎣ 1 1
−2 −2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ v11
v12
⎤
⎥⎦ = o → Uλ1 = span
⎡
⎢⎣ 1
−1
⎤
⎥⎦
e ⎡
⎢⎣ 2 1
−2 −1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ v21
v22
⎤
⎥⎦ = o → Uλ2 = span
⎡
⎢⎣ 1
−2
⎤
⎥⎦
Si consideri ora la trasformazione di coordinate x = Tx dove T = [v1 v2] =
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −2
⎤
⎥⎦, T−1 =
⎡
⎢⎣ 2 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
La nuova matrice di stato A ha forma diagonale con gli autovalori posizionati sulla diagonale principale
A = T−1AT =
⎡
⎢⎣ 2 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 0 1
−2 −3
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −2
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ −1 0 0 −2
⎤
⎥⎦
L’esponenziale della matrice diagonale At `e facilmente calcolabile, e vale
L’evoluzione libera del sistema (2) a partire dalla condizione iniziale x(t0) = x0
`e la seguente
x(t) = eAtx0
Il modo migliore per calcolare l’esponenziale della matrice At `e quello di utiliz- zare la precedente trasformazione di coordinate che permette di esprimere A in funzione della matrice diagonale A. Vale infatti la relazione
A = TAT−1 Sostituendo nella precedente espressione si ha
x(t) = e(TAT−1)t x0 = T eAtT−1x0
Sostituendo i valori numerici delle matrici T e A si ottiene:
x(t) = eAtx0 = TeAtT−1x0
=
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ e−t 0 0 e−2t
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 2 1
−1 −1
⎤
⎥⎦x0
=
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 2e−t e−t
−e−2t −e−2t
⎤
⎥⎦x0
=
⎡
⎢⎣ 2e−t − e−2t e−t − e−2t
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t
⎤
⎥⎦x0
L’andamento delle traiettorie x(t) nello spazio “originario” `e il seguente:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Nodo Stabile
x1
x2
Le due traiettorie disegnate a tratteggio corrispondono ai due autospazi Uλ1
e Uλ2 relativi ai due autovettori v1 e v2. Le stesse traiettorie nello spazio trasformato x(t) hanno il seguente andamento:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Nodo Stabile
x
¯x2
L’andamento, in funzione del tempo t, delle traiettorie x(t) nello spazio tra- sformato `e il seguente: ⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
x¯1 = eλ1t x¯01
x¯2 = eλ2t x¯02
dove, per maggiore generalit`a, i due autovalori sono stati indicati genericamente come λ1 e λ2.
Eliminando la variabile tempo si ottiene la seguente descrizione “cartesiana”
delle stesse traiettorie:
⎛
⎝ x¯1
x¯10
⎞
⎠ λ11
=
⎛
⎝ x¯2
x¯20
⎞
⎠ λ21
Nel caso in esame, λ1 = −1 e λ2 = −2, le traiettorie sono di tipo parabolico.
x¯2 = ¯x20
⎛
⎝ x¯1
x¯10
⎞
⎠2
Essendo inoltre
x = T−1x →
⎡
⎢⎣ x¯1
x¯2
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 2 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ x1
x2
⎤
⎥⎦
la stessa traiettoria espressa nel riferimento originario (x1, x2) assume la forma:
−x1 − x2
−x10 − x20 =
⎛
⎝ 2x1 + x2
2x10 + x20
⎞
⎠
2
Nota. Le traiettorie del sistema x = −Ax coincidono con le traiettorie del˙ sistema x = Ax, ma sono percorse in direzione opposta.˙
x(t) = e−Atx0 = eA(−t)x0
Cambiare di segno alla matrice A equivale a cambiare l’orientamento dell’asse dei tempi.
Caso II. Nel caso M = 1, K = 1 e f = 2 il sistema diventa:
(3)
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
x(t) =˙
⎡
⎢⎣ 0 1
−1 −2
⎤
⎥⎦x(t) +
⎡
⎢⎣ 0 1
⎤
⎥⎦u(t) y = [ 1 0 ] x(t)
Il polinomio caratteristico `e ora il seguente:
det(λI − A) = det
⎡
⎢⎣ λ −1 1 λ + 2
⎤
⎥⎦ = λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2
La matrice A ha un solo autovalore, λ1,2 = −1, con molteplicit`a algebrica 2. A tale autovalore corrisponde un solo autovettore v1 che si determina risolvendo il seguente sistema omogeneo:
(A − λ1I)v1 =
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ v11
v12
⎤
⎥⎦ = o → v1 =
⎡
⎢⎣ 1
−1
⎤
⎥⎦
Si determina poi un autovettore generalizzato del secondo ordine v2 risolvendo il seguente sistema lineare
(A − λ1I)v2 = v1 ↔
⎡
⎢⎣ 1 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ v21
v22
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 1
−1
⎤
⎥⎦ → v2 =
⎡
⎢⎣ 0 1
⎤
⎥⎦
Si consideri ora la seguente trasformazione di coordinate x = Tx dove T = [v1 v2] =
⎡
⎢⎣ 1 0
−1 1
⎤
⎥⎦, T−1 =
⎡
⎢⎣ 1 0 1 1
⎤
⎥⎦
La nuova matrice di stato A ha la forma seguente A = T−1AT =
⎡
⎢⎣ 1 0 1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 0 1
−1 −2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 1 0
−1 1
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ −1 1 0 −1
⎤
⎥⎦
L’esponenziale della matrice At `e eAt =
⎡
⎢⎣ e−t te−t 0 e−t
⎤
⎥⎦
Per determinare l’evoluzione libera del sistema (3) a partire dalla condizione iniziale x(t0) = x0 si procede come fatto nel Caso I, ottenendo
x(t) = eAtx0 = TeAtT−1x0
=
⎡
⎢⎣ 1 0
−1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ e−t te−t 0 e−t
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 1 0 1 1
⎤
⎥⎦x0
=
⎡
⎢⎣ 1 0
−1 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ e−t + te−t te−t e−t e−t
⎤
⎥⎦x0
=
⎡
⎢⎣ e−t + te−t te−t
−te−t e−t − te−t
⎤
⎥⎦x0
L’andamento delle traiettorie x(t) nello spazio (x1, x2) `e il seguente:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Nodo Stabile Degenere
x1
x2
La traiettoria disegnata a tratteggio corrisponde all’autovettore v1. L’anda- mento delle traiettorie x(t) nello spazio trasformato (x1, x2) `e il seguente:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x1b
x2b
Nodo Stabile Degenere
Caso III. Posto M = 1, K = 2 e f = 2 si ottiene il seguente sistema:
(4)
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
x(t) =˙
⎡
⎢⎣ 0 1
−2 −2
⎤
⎥⎦x(t) +
⎡
⎢⎣ 0 1
⎤
⎥⎦u(t) y = [ 1 0 ] x(t)
Il polinomio caratteristico `e ora il seguente:
det(λI − A) = det
⎡
⎢⎣ λ −1 2 λ + 2
⎤
⎥⎦ = λ2 + 2λ + 2 = (λ + 1)2 + 1
La matrice A ha due autovalori complessi coniugati, λ1,2 = −1 ± j a cui cor- rispondono due autovettori v1,2, anch’essi complessi coniugati. L’autovettore v1 si determina risolvendo il seguente sistema omogeneo:
(A − λ1I)v1 =
⎡
⎢⎣ 1 − j 1
−2 −1 − j
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ v11
v12
⎤
⎥⎦ = o → v1 =
⎡
⎢⎣ 1 + j
−2
⎤
⎥⎦
Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate x = Tx basata sull’uti- lizzo degli autovettori complessi coniugati v1,2, `e possibile “diagonalizzare” la matrice A:
T = [v1 v2] =
⎡
⎢⎣ 1 + j 1 − j
−2 2
⎤
⎥⎦, A = T−1AT =
⎡
⎢⎣ −1 + j 0 0 −1 − j
⎤
⎥⎦
Il sistema che si ottiene `e anch’esso complesso e quindi difficile da trattare.
In questi casi si preferisce una trasformazione di coordinate x = Tx che semplifichi la rappresentazione matematica, ma rimanendo nell’ambito delle rappresentazioni “reali” del sistema in oggetto. A tale scopo, la matrice di trasformazione T che si utilizza ha come colonne la parte reale w1 e la parte immaginaria w2 dell’autovettore v1 precedentemente calcolato:
v1 =
⎡
⎢⎣ 1
−2
⎤
⎥⎦
w1
+j
⎡
⎢⎣ 1 0
⎤
⎥⎦
w2
T = [w1 w2] =
⎡
⎢⎣ 1 1
−2 0
⎤
⎥⎦, T−1 =
⎡
⎢⎣ 0 −12 1 12
⎤
⎥⎦
La matrice di stato A che si ottiene in questo modo ha `e la seguente struttura A = T−1AT =
⎡
⎢⎣ 0 −12 1 12
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 0 1
−2 −2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 1 1
−2 0
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ −1 1
−1 −1
⎤
⎥⎦
In generale, la matrice A a cui si giunge utilizzando questo tipo di trasforma- zione a partire da autovalori complessi coniugati λ1,2 = σ ± jω ha la seguente forma
A =
⎡
⎢⎣ σ ω
−ω σ
⎤
⎥⎦
cio`e, la parte reale σ dell’autovalore λ1 compare sulla diagonale principale, mentre la parte immaginaria ω compare sulla diagonale secondaria con segni opposti. La caratteristica saliente di una matrice A avente questa struttura `e quella di potersi scrivere come somma di una matrice simmetrica I2 e di una matrice emisimmetrica J2:
A = σI2 + ωJ2
dove I2 e J2 si sono indicate le due matrici:
I2 =
⎡
⎢⎣ 1 0 0 1
⎤
⎥⎦, J2 =
⎡
⎢⎣ 0 1
−1 0
⎤
⎥⎦
L’esponenziale di matrice eσtI2 `e gi`a noto eσtI2 =
⎡
⎢⎣ eσt 0 0 eσt
⎤
⎥⎦
mentre l’esponenziale di matrice eσtJ2 ha la struttura seguente eωtJ2 =
⎡
⎢⎣ cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
⎤
⎥⎦
L’evoluzione libera del sistema (4) a partire dalla condizione iniziale x(t0) = x0
si determina nel modo seguente
x(t) = eAtx0 = TeAtT−1x0
= Te(σI2+ωJ2)tT−1x0
= T eσtI2 eωtJ2 T−1x0
= T
⎡
⎢⎣ eσt 0 0 eσt
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
⎤
⎥⎦T−1x0
Nel caso in esame in cui λ1 = −1 + j, si ottiene la soluzione:
x(t) = e−t
⎡
⎢⎣ 1 1
−2 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ cos t sin t
− sin t cos t
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ 0 −12 1 12
⎤
⎥⎦x0
L’andamento delle traiettorie x(t) nello spazio (x1, x2) `e il seguente:
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Fuoco Stabile
x1
x2
Le traiettorie sono convergenti verso l’origine con un andamento a spirale.
L’andamento delle traiettorie x(t) nello spazio trasformato (x1, x2) `e il se- guente:
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Fuoco Stabile
x¯1
¯x2
Le traiettorie di un sistema del secondo ordine che abbia un autovalore negativo ed uno positivo sono di tipo a “sella”
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
2 Sella
x
¯x2
