Controllo Sliding Mode
Esempio. Si consideri il seguente sistema:
˙x1 = x2
˙x2 = −a0x1 − a1x2 + u
e si analizzi il comportamento dinamico del sistema retroazionato nel caso in cui si utilizzi il seguente controllo:
u =
−αx1 se x1s > 0
αx1 se x1s < 0 dove s = c1x1 + x2 Utilizzare i seguenti parametri: a0 = 1, a1 = 2, α = 3, c2 = 1.5.
Soluzione. Il polinomio caratteristico del sistema senza retroazione `e: p(s) = s2 + a1s + a0. Il sistema proposta ha una “struttura variabile” nel senso che al variare del segno della funzione x1s il sistema ha comportamenti dinamici strutturalmente diversi. Il polinomio caratteristico del sistema retroazionato `e:
p(s) = s2 + a1s+ a0 + α sign(x1s)
Traiettorie del sistema nel caso in cui sign(x1s) > 0 (fuoco stabile):
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Variabile x 1(t) Variabile x2(t)
Traiettorie quando u=−alpha*x1
In figura sono mostrate in rosso le linee lungo le quali si ha un cambiamento di segno della funzione x1s.
Traiettorie del sistema nel caso in cui sign(x1s) < 0 con α > a0 (sella):
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Variabile x 1(t) Variabile x2(t)
Traiettorie quando u=+alpha*x1
Utilizzando il controllo u = −αx1 sign(x1s) si ottengono le seguenti traiettorie:
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Variabile x 1(t) Variabile x2(t)
Traiettorie quando u=−alpha*x1*sgn(x1*())
Il sistema retroazionato risulta globalmente asintoticamente stabile.
Quando le traiettorie raggiungono la linea s = 0, cio`e x2 = −c1x1, il controllo u(t) incomincia a commutare a frequenza “infinita” e da quel punto in poi le traiettorie “scivolano” lungo la linea s = 0.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1 0 1 2 3 4
Variabile s(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−6
−4
−2 0 2 4
Controllo u(t)
Time [s]
Ricordando che x2 = ˙x1, la dinamica del sistema in condizioni di sliding `e:
s = 0, → ˙x1 = −c1x1 → x1(t) = e−c1tx1(0)
cio`e le variabili di stato tendono a zero con una velocit`a (cio`e un tempo di assestamento) che non `e pi‘u funzione dei parametri del sistema, ma `e funzione solamente dei coefficienti (in questo caso c1) della superficie di sliding s = 0.
0 1 2 3 4
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Variabile x1(t)
0 1 2 3 4
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Variabile x2(t)
Time [s]
La variabile di controllo u(t) commuta a frequenza infinita e in ogni istante assume un valore medio pari al controllo equivalente ueq necessario per man- tenere la traiettoria del sistema esattamente sulla superficie s = 0. Il controllo equivalente ueq si determina imponendo ˙s = 0:
˙s = 0 → c1˙x1 + ˙x2 = 0 → c1x2 − a0x1 − a1x2 + ueq = 0 da cui si ricava:
ueq = −c1x2 + a0x1 + a1x2
La tecnica di controllo Sliding Mode `e caratterizzata dai seguenti aspetti:
• E’ adatta solamente nei casi un cui la variabile di controllo u(t) possa commutare a frequenza molto elevata. `E adatta per esempio nel caso del controllo di motori elettrici dove u(t) tipicamente `e una tensione.
• Da un punto di vista pratico la frequenza di commutazione `e “finita”, per cui la superficie di sliding s = 0 viene inseguita con un piccolo errore.
• La commutazione “a frequenza finita” del controllo introduce un’oscil- lazione ad alta frequenza all’interno del sistema (“chattering”) che se non viene adeguatamente filtrata dal sistema pu`o causare vibrazioni o rumore all’ interno del sistema.
• I disturbi che agiscono sul sistema durante la fase di sliding e che non satu- rano il controllo vengono eliminati completamente e istantaneamente.
• La dinamica del sistema sulla superficie di sliding s = 0 `e funzione dei soli parametri della superficie stessa.
Sliding Mode: equazione differenziale di ordine n
Si consideri un’eq. differenziale non lineare di ordine n con un solo ingresso:
x(n) = f (x) + b(x)u
dove x `e l’uscita di interesse, x = [x, ˙x, . . . x(n−1)]T `e il vettore di stato e u
`e l’ingresso di controllo.
Problema di controllo: si vuole che lo stato x insegua uno specifico stato tempo-variante xd = [xd ˙xd . . . x(n−1)d ]T in presenza di disturbi parametrici sulle funzioni f (x) e b(x).
Affinch´e l’inseguimento si possa effettuare usando un controllo u di ampiezza finita, lo stato iniziale xd(0) deve essere tale che
xd(0) = x(0). (1)
Sia ˜x = x−xd l’errore di inseguimento. Sia S(t) una superficie tempo-variante nello spazio degli stati definita dall’equazione scalare s(x, t) = 0 dove
s(x, t) =
d
dt + λ
n−1
˜ x
e λ > 0 costante. Ad esempio per n = 2 si ha s = ˙˜x + λ˜x.
Data la condizione iniziale (2) il problema di inseguimento x ≡ xd `e equivalente a quello di rimanere sulla superficie S(t) per ogni t > 0. Infatti s ≡ 0 rappresenta un’equazione differenziale lineare la cui unica soluzione `e ˜x = 0.
Quindi il problema di inseguimento del vettore n-dimensionale xd pu`o essere ridotto a quello di far tenere a zero la quantit`a scalare s (superficie di sliding).
Il problema di far tenere a zero lo scalare s pu`o essere risolto scegliendo il controllo u in modo tale che all’esterno di S(t) valga la relazione:
1 2
d
dts2 ≤ −η |s| → s˙s ≤ −η |s| → ˙s sgn(s) ≤ −η (2) con η > 0. Tale condizione si chiama sliding condition.
Il significato di questa relazione `e che la distanza dalla superficie decresce lungo tutte le traiettorie del sistema, quindi costringe le traiettorie ad andare verso la superficie S(t). In particolare, una volta sulla superficie, le traiettorie del sistema rimangono su di essa e il comportamento dinamico del sistema `e descritto dalla seguente relazione:
d
dt + λ
n−1
˜ x = 0 Costruzione della dinamica equivalente
La dinamica del sistema in sliding mode soddisfa sia la relazione s = 0 che la relazione:
˙s = 0
Risolvendo tale equazione rispetto ad u si ottiene il controllo equivalente ueq cio`e il controllo tempo-continuo che mantiene le traiettorie esattamente sulla superficie di sliding s = 0.
• Esempio: Si consideri il sistema del secondo ordine
˙x1 = x2
˙x2 = f (x) + g(x)u
dove f (x), g(x) sono funzioni non lineari non necessariamente continue e g(x) > 0. Si ha che x1 `e stabile se ˙x1 = −ax1, con a > 0. Si definisce
s = x2 + ax1
Quindi ˙x1 = x2 = −ax1 + s `e stabile se s = 0. Si calcola ora ˙s:
˙s = ˙x2 + a ˙x1 = f (x) + g(x)u + ax2
Per valutare la stabilit`a si consideri la candidata funzione di Lyapunov V = 12s2. La sua derivata temporale `e
V˙ = s ˙s = s [f (x) + g(x)u + ax2]
| {z }
α
che risulta definita negativa se
α < 0 per s > 0 α = 0 per s = 0 α > 0 per s < 0
Pertanto la stabilit`a `e assicurata se
u < β(x) per s > 0 u = β(x) per s = 0 u > β(x) per s < 0
dove β(x) = −f(x)+axg(x) 2 indica il controllo equivalente. Questa condizione
`e verificata (per esempio) se si usa la seguente legge di controllo:
u = −K sgn(s)
dove K > 0 in ogni istante deve essere pi`u grande di β(x): K > |β(x)|.
Controllo Sliding Mode: caso generale
Consideriamo il seguente sistema incerto:
˙x = ˜A(x, t)x + ˜B(x, t)u + ˜ϕ(x, t) + ˜ψ(t), (3) dove x ∈ Rn `e lo stato, u ∈ Rm `e il controllo, ˜A(x, t) e ˜B(x, t) sono le matrici tempo-varianti del sistema, ˜ϕ(x, t) e ˜ψ(t) sono i disturbi parametrici ed esterni. E’ sempre possibile scomporre le matrici ˜A(x, t) e ˜B(x, t) nel seguente modo:
A˜(x, t) = A + ¯A(x, t)
B˜(x, t) = B + ¯B(x, t), (4)
dove le matrici costanti A e B descrivono la parte nota del sistema e le matrici tempo varianti ¯A(x, t) e ¯B(x, t) ne descrivono la parte incerta. Utilizzando (4), il sistema (3) pu`o essere riscritto nella forma:
˙x = Ax + Bu + D(x, t) (5)
dove
D(x, t) = ¯A(x, t)x + ¯B(x, t)u + ˜ϕ(x, t) + ˜ψ(t)
`e il disturbo globale che agisce sul sistema.
H1. Si suppone che il disturbo D(x, t) agisca solamente nel sottospazio gen- erato dalle colonne di B: R(D(x, t)) ⊆ R(B) (“matching condition”).
Se l’ipotesi H1 `e soddisfatta, `e sempre possibile determinare due funzioni ϕ(x, t) e ψ(t) tali che
D(x, t) = B[ϕ(x, t) + ψ(t)] (6)
dove
A(x, t)x + ¯¯ B(x, t)u + ˜ϕ(x, t) = Bϕ(x, t) ψ(t) = Bψ(t).˜ Il sistema (3) assume quindi la forma:
˙x = Ax + B[u + ϕ(x, t) + ψ(t)]. (7)
La dinamica desiderata del sistema controllato viene assegnata imponendo una relazione lineare tra le variabili di stato del sistema:
σ = Cx = 0, C ∈ R(m×n).
Se il controllo u `e tale da garantire σ = 0, la dinamica residua del sistema evolve nel sottospazio N (C). Scegliendo opportunamente la matrice C `e possibile assegnare una dinamica arbitraria al sistema controllato.
H2. Si suppone che la coppia di matrici (A, B) sia controllabile e che
rank(B) = rank(CB) = m. (8)
L’ipotesi di controllabilit`a della coppia (A, B) garantisce che il sistema possa essere controllato in modo arbitrario, tramite l’ingresso u. Richiedere che rank(B) = rank(CB), equivale a richiedere che l’azione di controllo abbia sempre una componente perpendicolare alle superfici di sliding.
Essendo rank(B) = m, `e sempre possibile supporre che le matrici del sistema (7) abbiano la seguente forma:
A =
A¯11 A¯12 A¯21 A¯22
, B =
O(n−m)×m Im
. (9)
Poich`e la coppia (A, B) `e controllabile, anche la coppia ( ¯A11, ¯A12) risulta controllabile. Definendo
x =
x1 x2
, x1 ∈ Rn−m, x2 ∈ Rm dalla (9) segue che
˙x1 = ¯A11x1 + ¯A12x2
˙x2 = ¯A21x1 + ¯A22x2 + u + ϕ(x, t) + ψ(t). (10) Senza perdere di generalit`a, `e sempre possibile esprimere la superficie di sliding σ = 0 nella seguente forma:
σ = Cx = [C1 Im]x = C1x1 + x2 = 0, (11)
dove C1 ∈ Rm×(n−m). Quando il controllo riesce ad imporre σ = 0, allora dalla (11) segue che x2 = −C1x1, e quindi sostituendo questa nella prima equazione di (10), si ottiene
˙x1 = ( ¯A11 − ¯A12C1)x1 = Axx1. (12) Poich`e la coppia ( ¯A11, ¯A12) `e controllabile, mediante una opportuna scelta di C1 `e possibile assegnare arbitrariamente lo spettro della matrice A11. Asse- gnato uno spettro a piacere alla matrice A11
spec A11 = {−λ1, . . . ,−λn−m}, λ1, . . . , λn−m > 0, indichiamo con λ0 il valore
0 < λ0 < max
i λi i = 1, . . . , n − m.
Se l’ingresso di controllo u viene scelto in modo da garantire che lo stato x del sistema raggiunga, in un tempo finito o asintoticamente, la superficie σ = 0, allora il comportamento dinamico del sistema complessivo sar`a definito dalle soluzioni dell’equazione (12) e si avr`a
k x(t) k→k x1(t) k, k x1(t) k≤ c e−λ0t.
Allo scopo di ottenere una forma di stato pi`u adatta per il progetto del control- lore, consideriamo un cambiamento di coordinate tale che le componenti del vettore σ diventino variabili di stato per il sistema (10). Sia z il nuovo vettore di stato e scegliamo la matrice di trasformazione T nel seguente modo:
T =
In−m 0m×(n−m)
C1 Im
, T−1 =
In−m 0m×(n−m)
−C1 Im
z1 z2
= T
x1 x2
, T ∈ Rn×n, det T = 1.
In base a questa scelta si ha che z1 = x1 e σ = z2 = C1x1 + x2. Utilizzando la trasformazione T si ottiene
˙z1 = TAT−1z+ TB(u + ϕ),
cio`e
˙z1 = A11z1 + A12z2
˙z2 = A21z1 + A22z2 + u + ϕ(x, t) + ψ(t). (13) Gli autovalori della matrice A11 possono essere assegnati arbitrariamente medi- ante una opportuna scelta della matrice C. Poich`e il comportamento dinamico del sottosistema
˙z1 = A11z1 (14)
pu`o essere arbitrariamente assegnato mediante la trasformazione T, lo scopo del controllo `e quello di imporre z2 = 0 nel sistema controllato anche in presenza dei disturbi esterni. Questo problema puo’ essere risolto utilizzando un controllore a Struttura Variabile. Lo stato z del sistema (13) raggiunger`a la superficie di sliding mode z2 = 0 con un decadimento esponenziale di grado λ0 del vettore di stato z2, se risultano soddisfatte le seguenti condizioni
Sgn(z2)( ˙z2 + λz1)|z26=0 < 0, (15) dove Sgn(z2) = diag[sgn z21, . . . ,sgn z2m] e λ = diag[λ1, . . . , λm] con λi ≥ λ0 per i = 1, . . . , m. Tipicamente, quando si utilizza un regolatore a struttura variabile si suppone anche che il disturbo esterno soddisfi alle seguenti ipotesi:
H3. Si suppone che la funzione non nota ϕ(x, t) = [ϕ1, . . . , ϕm]T soddisfi le seguenti condizioni:
|ϕi(x, t)| < φi(x), φi(0) = 0, ˙φi(0) < ∞, i = 1, . . . , m, (16) dove Φ = diag[φ1(x), . . . , φm(x)] `e una funzione nota.
H4. Si suppone che la funzione ψ(t) = [ψ1, . . . , ψm]T soddisfi le seguenti condizioni:
|ψi(t)| < ∆0i, i = 1, . . . , m, (17) dove ∆0 = diag[∆01, . . . ,∆0m] `e un vettore costante noto.
L’ipotesi H3 implica che il disturbo parametrico ϕ(x, t) `e nullo (φi(0) = 0) per x = 0, ed `e continuo ( ˙φi(0) < ∞) in un intorno di tale punto, per cui quando x → 0, anche il disturbo ϕ(x, t) → 0.
L’ingresso di controllo:
u = −A21z1 − A22z2
| {z } −λz2
| {z } −(Φ + ∆0) sgn z2
| {z }
u1 u2 u3, (18)
dove sgn z2 = [sgn z21, . . . ,sgn z2m]T, soddisfa le condizioni (15). Perci`o, in un tempo finito t′ > 0, si ha l’insorgere di uno sliding mode sulla superficie z2 = 0, e il comportamento dinamico del sistema controllato (13)-(18) diventa quello descritto dall’equazione (14).
In (18), l’ingresso di controllo u `e composto di tre termini distinti corrispondenti a tre azioni di controllo diverse:
• u1 compensa la reazione indesiderata A21z1 + A22z2 della parte nota del sistema (13);
• u2 fornisce un’azione proporzionale che assicura un decadimento esponen- ziale λ0 del vettore di stato z2,;
• u3 `e l’azione di controllo discontinua che istantaneamente compensa il disturbo esterno.
Quando lo sliding mode viene raggiunto, u2 `e zero, u1 tende esponenzialmente a zero, e l’ingresso di controllo u tende a coincidere con u3.
