() ()= () () () []= () () n  1 Η F X X X X , , , , … … … … =…= , , , , X X X X F n − 1 Η S E = Η = SX Η X , … ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , , X X , … , X 1 1 1 ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎡⎣⎤⎦ ES X X X X , , , , … … … S , , , X X X = ~ ~ ~ N N N , , , () X − EX () () ~ n − 1 S S X

Statistica  

µ Definizioni:  

Ø

X

₁

, …, X

n  variabili  aleatorie  indipendenti  e  tali  che  

F

_X

1

= … = F

_Xn  si  dicono  campione.  

Ø Siano  

X

₁

,…, X

_n

~ N ( µ,σ

²

)

 con  

µ

 e  

σ

²  incogniti.  Per  determinare  i  parametri  incogniti  si  fa  

“inferenza  statistica”.  

Ø Siano  

X

₁

,…, X

n  campioni  e  

ϑ

 parametro  incognito:  

§ Una  statistica  è  una  funzione  del  campione  

S = S X (

₁

,…, X

_n

)

^.  

§ Uno  stimatore  di  

ϑ

 è  una  statistica  utile  per  stimare  

ϑ

.  

µ Media  Campionaria:  

Ø È  uno  stimatore  non  distorto  di  

µ

^à  

X

_n

= 1 n X

_k

k=1

∑

n ^.  

Ø Sia  

X

₁

,…, X

n  campione  con  media  

µ

,  varianza  

σ

².  

§

E X ( )

n

^{= µ}

^.  

§ Se  

X

₁

, …, X

_n

~ N ( µ,σ

²

)

 ^à  

^X

ⁿ

^{~ ⎛} _⎝⎜ ^{µ, σ} _n

²

^⎞ _⎠⎟

^.  

§ Se  

n  1

 ^à  

X

n

≈ N µ, σ

²

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.  

Ø

X

_n

~ N µ, σ

²

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.  

µ Varianza  campionaria:  

Ø È  uno  stimatore  non  distorto  di  

σ

²à  

S

_n²

= 1

n − 1 ( X

_k

− X

n

)

²

k=1

∑

n ^.  

Ø La  varianza  campionaria  si  può  calcolare  anche  così:  

S

_n²

= 1

n − 1 X

²_i

− nX

²

i=1

∑

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.   Ø

E S ⎡⎣ ⎤⎦ = σ

²_n ^2.  

Ø Teorema:  

§ Sia  

X

₁

,…, X

_n

~ N ( µ,σ

²

)

 campione:  

•

X

n

, S

²_n  sono  indipendenti.  

•

X

n

− µ

σ n ~ N 0,1 ( )

^.  

•

(

n− 1

)

σ

^{2 ~}

χ

²

(

n− 1

)

^.  

µ Teoria  della  stima:  

Ø Sia  

X

₁

,…, X

n  campione  con  

ϑ

 parametro  incognito.  

§

Η

_n

= Η X (

₁

, X

₂

,…, X

_n

)

 stimatore  di  

ϑ

^.  

Η

n  è  uno  stimatore  corretto  (non  distorto)  se  

E [ ] Η

_n

^{= ϑ}

^.  

§ Nota  d’aiuto  per  esami:  Se  abbiamo  

X

 v.a.  con  

E X [ ] ^{= µ}

^,  

^{Var X} ( ) ^{= σ}

².  Possiamo   determinare  

E X ⎡⎣ ⎤⎦

²  con  la  formula  inversa  della  varianza,  ossia  

E X ⎡⎣ ⎤⎦ = Var X

²

( ) ^{+ E X} [ ]

²

^{= σ}

²

^{+ µ}

^2.  

§ Definiamo  distorsione  

= Bias Η ( )

_n

^{: = E Η} [ ]

n

^{− ϑ}

^.  

• Se  

Bias ( ) Η

_n

^{→ 0}

 con  

n → ∞

 diciamo  che  

Η

n  è  asintoticamente  corretto.  

• Se  

Bias ( ) Η

_n

^{= 0}

 à  corretto.  

Ø

Η

n  è  consistente  se  ∀

ε

> 0  à  

P ( Η

_n

− ϑ > ε ) ^{→ 0}

^.  

Ø Errore  quadratico  medio  (Mean  Square  Error):  MSE

( )

Ηn ^{= E Η⎡}_⎣

(

ⁿ⁻

^ϑ )

^2⎤_⎦^.  

§ MSE

( )

Η ^{= Var H}

( )

^{+ Bias H}

( )

^2.  

Ø

Η

n  è  consistente  in  media  quadratica  se  

MSE ( ) Η

_n

^{→ 0}

 con  

n → ∞

.   Ø

Η

n  è  corretto  se  e  soltanto  se  

E [ ] Η

_n

^{= ϑ}

^.  

Ø Confronto  tra  stimatori:  

§ MSE H

( )

₁ ^{< MSE H}

( )

^{2 ⇔ MSE H}

( )

¹

MSE H

( )

₂ ^{< 1}  in  questo  caso  è  preferibile  adottare  

H

₁  come   stimatore,  nel  caso  contrario  

H

₂.  

 

µ Metodo  della  massima  verosimiglianza:  

Ø Strategia:  lo  stimatore  di  massima  verosomiglianza  

ϑ

 è  definito  come  il  valore  di  

ϑ

 che  rende   massima  

f x (

₁

, x

₂

, …, x

_n

| ϑ )

,  che  è  la  funzione  di  massa  o  densità  congiunta,  quando  i  valori   osservati  sono  

x

₁

, x

₂

,…, x

n.  Nel  calcolare  il  valore  di  

ϑ

 che  massimizza  

f

 è  meglio  utilizzare  il  

log f x _⎡⎣ (

₁

, x

₂

,…, x

_n

| ϑ ) _⎤⎦

,  sapendo  che  entrambe  le  funzioni  assumono  il  massimo  in   corrispondenza  dello  stesso  valore  di  

ϑ

.  Quindi:  si  scrive  

log f x _⎡⎣ (

₁

, x

₂

,…, x

_n

| ϑ ) _⎤⎦

,  si  fa  la   derivata  di  tale  funzione  ed  infine  si  prende  il  valore  di  

ϑ

 in  cui  abbiamo  il  massimo.  

Ø Ricorda  che  

f x (

₁

, x

₂

,…, x

n

) ^{= f}

^Xi

( ) x

_i

i=1

∏

n ,  siccome  sono  tutte  variabili  aleatorie  indipendenti.  

Mentre  usando  i  logaritmi  e  le  sue  proprietà  

log f x _⎡⎣ (

₁

, x

₂

, …, x

n

) _{⎤⎦ = log f ⎡⎣}

X_i

( ) x

_i

_⎤⎦

i=1

∑

n  che  è  più  

semplice  da  derivare.  

 

µ Metodo  dei  momenti:  

Ø Sia  

X

₁

, X

₂

,…, X

_n

~ f x, ( ϑ

1

, ϑ

2

,…,ϑ

k

)

^.  

Ø Definiamo:  

§

m

_h

:= E X ⎡⎣ ⎤⎦

^h  momento  

h

-­‐esimo.  

§

m

_h

:= 1

h X

_i^h

i=1

∑

n  momento  campionario  

h

-­‐esimo.  Sono  tutti  termini  noti.  

Ø Strategia:  facciamo  un  sistema  eguagliando  i  momenti  

h

-­‐esimi  ai  momenti  campionari  

h

-­‐esimi.  La   soluzione  del  sistema  sarà  

ϑ = ϑ (

₁

,ϑ

₂

,…,ϑ

_k

)

^.  

E X [ ]

₁

^{= m}

¹

( ^ϑ

¹

^,ϑ

²

^,…,ϑ

^k

) ^{= m}

¹

^{= 1} _n ^X

ⁱ

i=1

∑

n

E X ⎡⎣ ⎤⎦ = m

₁^{2 2}

( ϑ

1

,ϑ

2

,…,ϑ

k

) ^{= m}

²

^{= 1}

n X

_i²

i=1

∑

n

…

E X ⎡⎣ ⎤⎦ = m

₁^{k k}

( ϑ

1

,ϑ

2

,…,ϑ

k

) ^{= m}

^k

^{= 1}

n X

_i^k

i=1

∑

n

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪ ⎪

 

 

µ Teorema  stimatori:  

Ø Ipotesi:  Sia  

X

₁

, X

₂

,…, X

_n

~ f x | ( ϑ )

 con  

ϑ

 incognito.  

ϑ

 = MLE

( ) ϑ

 ossia  

ϑ

 è  uno  stimatore  di   massima  verosimiglianza  di  

ϑ

 (MLE  =  Maximum  Likelyhood  Estimator).  

Ø Tesi:  

1.

Bias ( ) ϑ 

n

^{→ 0}

 con  

n → +∞

.  

2.

MSE ( ) ϑ 

n

^{→ 0}

 (Errore  quadratico  medio).  

3.

ϑ

 ≈ Nn

ϑ

, 1 nE ∂

∂

ϑ

^{log f x |}

( ϑ )

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡ 2

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

 con  

n  1

^.  

4. Se  

ϑ

*  è  uno  stimatore  di  

ϑ

 che  soddisfa  1.  2.  3.  

⇒

 

MSE ( ) ϑ * ^{≥ MSE} ( ) ^ϑ

^.  

Ø Corollario:  

§ Sia  

τ = h ϑ ( )

 con  

h :  → 

^,  

τ = h ϑ ( ) ^{= MSE ( ) τ}

^.  

§

τ

 ≈ N h |

(

^=τ

ϑ )

^,

(

^{h ' |}

^ϑ )

nE ∂

∂

ϑ

^{log f x |}

( ϑ )

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡ 2

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

.  

 

µ Intervalli  di  confidenza:  

Ø Molte  volte  è  utile  sapere  quanto  la  nostra  stima  sia  esatta,  per  far  ciò  si  utilizzano  gli  intervalli  di   confidenza.  

Ipotesi  

ϑ

  Intervallo  bilaterale   Intervallo  sinistro   Intervallo  destro  

σ

²  nota  

µ

 

X ± z

_α

2

σ

n

 

−∞, X + z

_α

σ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

 

X − z

_α

σ n , ∞

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

 

σ

²  non  nota  

µ

 

X ± t

_α

2,n−1

S

n

 

−∞, X + t

_α

2,n−1

S n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

 

X − t

_α

2,n−1

S n , ∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

 

µ

 non  nota  

σ

²  

n − 1

( ) ^S

²

χ

²_α

2,n−1

, ( n − 1 ) ^S

²

χ

²

1− α2,n−1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

 

0, ( n − 1 ) ^S

²

χ

1²−α,n−1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

 

n − 1

( ) ^S

²

χ

²_α,n−1

,∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

 

µ Stime  per  la  differenza  tra  le  medie  di  due  popolazioni  normali:  

Ø Siano  

X

₁

, X

₂

,…, X

N  e  

Y

₁

,Y

₂

,…,Y

m  due  campioni  estratti  da  popolazioni  normali  differenti  con  

µ

1

,σ

1²  i  parametri  della  prima  e  

µ

2

, σ

²2  i  parametri  della  seconda.  

Ø

X := 1

n X

₁

i=1

∑

n  ^e  

^{Y :=} _m ^{1 Y}

^j j=1

∑

m  sono  gli  stimatori  di  massima  verosomiglianza  dei  

µ

₁

, µ

₂  

rispettivamente.  

Ø

S

₁²

: = 1

n − 1 ( X

_i

− X )

i=1

∑

n  ^e  

^S

¹²

^:= _m ¹ _{− 1} ( ^Y

^j

^{− Y} )

j=1

∑

m  sono  gli  stimatori  di  

σ

1²

,σ

²2  rispettivamente.  

Ø Definiamo  

N := n + m − 2

 e  

S

_p

:= ( n − 1 ) ^S

²1

+ m − 1 ( ) ^S

²2

N

 che  viene  definita  varianza   campionaria  “pooled”.  

Ø Con  

σ

1

,σ

2  note:  l’intervallo  bilaterale  è  

X − Y ± z

_α

2

σ

₁²

n + σ

²₂

m

 mentre  l’intervallo  sinistro  è  

−∞, X − Y + z

_α

σ

₁²

n + σ

²₂

m

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

^.  

Ø Con  

σ

₁

,σ

₂  NON  note  MA  uguali:  l’intervallo  bilaterale  è  

X − Y ± t

_α

2, N

⋅ S

_p

1 n + 1

m

 mentre   l’intervallo  sinistro  è  

−∞, X − Y + t

_α,N

⋅ S

_p

1

n + 1 m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.    

µ Intervalli  di  confidenza  approssimati  per  la  media  di  una  distribuzione   di  Bernoulli:  

Ø Poniamo  

p  := X

n

 stimatore  del  parametro  di  Bernoulli  

p

 con  

X =

 numero  di  valori  

1

 nel   campione  bernoulliano.  

Ø L’intervallo  di  confidenza  bilaterale  è  p ± z_α

2

 1− pp

( )

n ,  quello  sinistro  

−∞, p + z

_α

 1− p p ( )

n

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

,  quello  destro  è  

p  − z

_α

 1− p p ( )

n , ∞

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

^.  

 

µ Verifica  delle  ipotesi:  

Ø Un’ipotesi  statistica  è  normalmente  un’affermazione  su  uno  o  più  parametri  della  distribuzione  di   popolazione.  

Ø Facendo  un  test  (o  verifica)  di  una  data  ipotesi  

H

 (che  solitamente  viene  chiamata  ipotesi  nulla)  

§ Errore  di  seconda  specie:  quando  accettiamo  

H

₀  quando  in  realtà  è  falsa.  

Ø Verifica  di  un  ipotesi  sulla  media  di  una  popolazione  normale:  

§ Con  varianza  nota:  

• Vogliamo  verificare  l’ipotesi  nulla  

H

₀

: µ = µ

0.  Siccome  

X := 1 n X

_i

i=1

∑

n  è  lo  stimatore   puntuale  naturale  per  

µ

,  sembra  ragionevole  accettare  

H

₀  quando  

X

 non  è  troppo   lontano  da  

µ

0.  

•

α

= P errore di I specie

( )

^{= P}µ0

(

X−

µ

₀ > c

)

 è  la  probabilità  di  commettere  un  errore  di   prima  specie,  ossia  rifiutiamo  l’ipotesi  (

µ = µ

₀)  mentre  in  realtà  è  vera.  

• Con  opportuni  passaggi  otteniamo  che  si  rifiuta  

H

₀  se  

X − µ

₀

σ n > z

_α

2

,  si  accetta  

H

₀  se  

X − µ

0

σ n ≤ z

_α

2

.  

• Spesso  non  si  fissa  in  anticipo  il  livello  di  significatività,  ma  si  osservano  i  dati  e  si  ricava  il  p-­‐

dei-­‐dati  (p-­‐value)  corrispondente  che  fa  da  spartiacque  tra  l’accettare  e  il  rifiutare.  Per   prima  cosa  si  calcola  

v = X − µ

0

σ n

,  poi  il  valore  ottenuto  lo  scriviamo  

P Z

(

> v

)

= P z > v

( )

+ P z < −v

( )

^{= 1− Φ v}

( )

^{+ 1− Φ v}

( )

^{= 2 1− Φ v}

( ( ) )

.  Se  esso  risulta   molto  maggiore  di  quanto  siamo  disposti  ad  accettare  come  probabilità  di  un  errore  di   prima  specie,  accettiamo  l’ipotesi;  se  invece  la  probabilità  è  molto  piccola  possiamo   rifiutare  il  dato  senza  aver  paura  di  aver  commesso  un  errore  di  prima  specie.  

• Ora  discutiamo  la  possibilità  degli  errori  di  seconda  specie  introducendo  una  nuova   funzione  

β

 chiamata  curva  OC  (curva  operativa  caratteristica,  operating  characteristic   curve)  che  rappresenta  appunto  la  probabilità  di  accettare  

H

₀  quando  la  media  reale  è  

µ

:  

β µ ( ) ^{= P}

µ

µ

0

− µ σ n − z

_α

2

≤ Z ≤ µ

0

− µ σ n + z

_α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = Φ µ

0

− µ σ n + z

_α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − Φ µ

0

− µ σ n − z

_α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.  

• Supponiamo  di  cercare  il  valore  di  

n

 con  il  quale  la  probabilità  di  accettare  

H

₀

: µ = µ

₀   quando  il  valore  è  

µ

1,  sia  approssimativamente  pari  ad  un  valore  

β

 fissato,  la  formula  è:  

n≈ z_α

2

+ z_β

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

σ µ

1−

µ

0

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

2

.