Prove scritte di
Analisi Matematica e Geometria 1
Ingegneria Industriale a.a. 2014–2015
x y
f
g
0 1
La funzione seno e la funzione esponenziale
Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica e Geometria 1 ” per Ingegneria Industriale, Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento
14 gennaio 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = (|x − 1|) e−|x|.
2) Calcolare le radici quarte del numero complesso:
(i− 1)3 1 + i .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
ex4 − cos x2 x3log(1 + x2) .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
x + y + z = 0 , 5x − y − 7z = 1 , 7x + y − 5z = 0 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
∑+∞
n=0
(−1)n en (√
n)n .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/2
π/4
sin3x 1− cos xdx .
14 gennaio 2015, B
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) =|x| e−|x−1| .
2) Calcolare le radici terze del numero complesso:
(√ 3 + i)6 1 +√
3 i .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
sin4x− log(1 + x4) x2arcsin3x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
x − z = 0 ,
5x − y − 7z = 1 , 7x + y − 5z = 0 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞∑
n=0
(−1)n 2n (√3
n)n .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/2
0
sin x (1− cos3x) dx .
30 gennaio 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = arctanx2− 1
|x| .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
z3|z|2 = i .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
log(1 + x2)− arctan x2 arcsin3x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
x − y + z = 2 , 2x − y + 3z = −1 ,
x + 3z = 1 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=0
(−1)n n n3+ n2+ 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ e
1
log2x− 2 x(log3x + 1)dx .
30 gennaio 2015, B
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = arctan|x2− 1|
x .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
z4|z| = −i .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
ex4 − cos x2 sin4x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
3x − 2y + 4z = 1 , 2x − y + 3z = −1 , 3x − y + 6z = 0 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)nsin(1/n) n + 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ 1
0
ex− 2 e3x+ 1dx .
20 febbraio 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) =| cos x| − sin x .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
z8+ 80z4− 81 = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
sin3x− tan3x + 2x6 tan2x− x2+ x5 .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
2x + 3y − z + 4t = 0 , x + y − z − t = 2 , 2x + 3y − z − t = 0 ,
3x + 4y + 4t = 2 ,
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)nn arctan 1/n2
√n +√3 n + 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ e
1
log x x3 dx .
20 febbraio 2015, B
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) =| sin x| − cos x .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
z8− 15z4− 16 = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
xlim→0+
log cos2x− arctan3x + x8 x2− sin2x− 3x5 .
4) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente sistema lineare e determinarne le soluzioni:
2x + 3y − z + 4t = 0 ,
x + y − z − t = 2 ,
x + 2y + 5t = −2 ,
x + y + z = 2 ,
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
∑+∞
n=1
(−1)nn arctan 1/n2
√n +√3 n + 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ e
1
log x x3 dx .
9 giugno 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) =| cos2x sin x| .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
(|z|3− 1)(z3− 8) = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
log(cos2x) + x5
|x| sin3x + arcsin2x3− tan3x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Dire quali delle seguenti matrici sono invertibili e in caso affermativo calcolarne l’inversa:
0 1 1 0
0 1 0 0
2 0 0 0
3 1 0 −3
0 1 3
2 5 −2
−6 −13 12
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n n + 1 n2+ 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ 3
2
x− 2 x3− 1dx .
9 giugno 2015, B
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) =| cos x sin2x| .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
(|z|2− 1)(z4+ 16) = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
lim
x→0+
log(cos2x) + x5
|x| sin3x + arcsin2x3− tan3x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Dire quali delle seguenti matrici sono invertibili e in caso affermativo calcolarne l’inversa:
0 1 1 0
0 1 0 0
2 0 0 0
3 1 0 −3
0 1 3
2 5 −2
−6 −13 12
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n n + 1 n2+ 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ 3
2
x− 2 x3− 1dx .
23 giugno 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = (x2− 1) e−|x|
|x| .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
(z3+ i)|z| = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
x→+∞lim x arctan1 x log1
x .
4) (Per gli studenti del primo anno) Calcolare la trasposta e il determinante della seguente matrice, dire se `e invertibile e in caso affermativo calcolarne l’inversa.
1 −1 1
0 5 −3
2 −2 1
.
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n n!
nn+ n3 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/3
π/6
sin23x cos 5x dx .
6 luglio 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = log
x2+ 2x + 3 x
.
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
( z4−1
2 −
√3 2 i
)
|z − i| = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
xlim→0
arctan(x2+ x6) log(cos x) .
4) (Per gli studenti del primo anno) Applicare il metodo di riduzione a scalini di Gauss per trovare le eventuali soluzioni del sistema:
3x− z = 8,
2x− y + 4z = 10, x + y + z = 4, 2x + 5y− 5z = 1 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n 3n n! + n .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/2
0
cos x sin2x− 4dx .
8 settembre 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = log x + 1
x .
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
(z3− i) |z2− i| = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
x→−∞lim
log(1 + ex) ex+ log(−x) .
4) (Per gli studenti del primo anno) Applicare il metodo di riduzione a scalini di Gauss per trovare le eventuali soluzioni del sistema nelle incognite x, y, z, s e t:
x + z− s + t = 0, y + z− t = 1,
−x + y + s + t = 7, y + z + 2t = 7 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n(n!)2 nn .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/2
0
cos x sin3x− 1dx .
23 settembre 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = exp (
− x− 1
x− 2 )
.
2) Studiare le soluzioni complesse della seguente equazione:
Re z (z4+ 1) = 0 .
3) (Per gli studenti del primo anno) Studiare il seguente limite:
xlim→0
(1 + x)2− cos x sin2x + arctan x3 .
4) (Per gli studenti del primo anno) Applicare il metodo di riduzione a scalini di Gauss per trovare le eventuali soluzioni del sistema nelle incognite x, y, z, s e t:
2x− z + t = 2, y + 3z− t = 0,
−x + 3y + t = −1, x + y + z− 2t = 1 .
3) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=1
(−1)n 2n + 1 n2+ 1 .
4) (Per gli studenti degli anni successivi al primo) Calcolare il seguente integrale definito:
∫ π/2 0
cos 2x sin 3x dx .
22 ottobre 2015, A
1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:
f (x) = log x + 2
x− 3 .
2) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:
+∞
∑
n=0
(−1)n n3 3n .
3) Calcolare il seguente integrale indefinito:
∫ 1 x
log2x− 1
(log2x + 1) log2xdx .
