Il Teorema del Dini e gli zeri della funzione Zeta di Riemann
Marcello Colozzo
1 1
2
x
-1 1
y
INDICE
Indice
1 La funzione zeta di Riemann 2
2 La congettura di Riemann 2
3 Enumerazione degli zeri non banali 3
4 Il Teorema del Dini 3
1 La funzione zeta di Riemann
Dopo aver esteso (per prolungamento analitico) la funzione zeta di Riemann
ζ (z)def=
+∞
X
n=1
1
nz (1)
a C − {1}, essendo z = 1 una singolarit`a polare semplice, definiamo la funzione reale delle variabili reali x, y:
f (x, y) def= |ζ (x + iy)| , (2)
che `e definita in A = R2− {(1, 0)}.
2 La congettura di Riemann
Denotiamo con B l’insieme degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann (cio`e gli zeri con parte immaginaria non nulla):
B = {ρ ∈ C | ζ (ρ) = 0, Im ρ 6= 0} (3)
Congettura 1 (Congettura di Riemann) Re ρ = 1
2, ∀ρ ∈ B (4)
In altre parole, secondo la congettura di Riemann gli zeri non banali della ζ (z) appar- tengono alla seguente retta del piano complesso:
rc : 2x − 1 = 0, (5)
parametricamente rappresentata da x = 1
2, y = t, t ∈ (−∞, +∞) (6)
o in forma complessa
z = 1
2 + it, t ∈ (−∞, +∞) (7)
Definizione 2 Chiamiamo rc retta critica o linea critica.
La fig. 1 riporta alcuni zeri non banali calcolati con Mathematica, da cui vediamo che gli zeri si distribuiscono lungo la linea critica conservando la simmetria rispetto all’asse x.
Ci`o implica:
ρ ∈ B =⇒ ρ∗ ∈ B, (8)
essendo ρ∗ il complesso coniugato di ρ.
4 IL TEOREMA DEL DINI
x
-40 -20 20 40
y
12
Figura 1: Alcuni zeri non banali della funzione zeta di Riemann.
3 Enumerazione degli zeri non banali
Dall’analisi computazionale con Mathematica segue che B `e al pi`u infinito numerabile, onde
`e possibile enumerare gli zeri non banali:
B = {ρ1, ρ2, ..., ρN ≤+∞} (9)
La propriet`a (8) suggerisce di ridefinire la predetta enumerazione, scrivendo:
B =ρ∗N, ρ∗N −1, ...ρ∗1, ρ1, ..., ρN −1, ρN
(10)
Inoltre, il legame della distribuzione degli zeri non banali con la distribuzione dei numeri primi, implica N → +∞. Ne consegue che gli zeri non banali si distribuiscono per coppie complesse coniugate:
(ρn, ρ∗n) , n ∈ Z (11)
4 Il Teorema del Dini
Dal momento che gli zeri non banali della zeta di Riemann, sono zeri al finito per la funzione reale (2), si ha che secondo la (10), il luogo geometrico degli zeri della predetta funzione, non
`e una curva del piano coordinato xy, bens`ı un insieme discreto di punti. A tale proposito, rammentiamo che il Teorema del Dini fornisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) per esplicitare (localmente) una delle variabili x, y di una data equazione
F (x, y) = 0, (12)
essendo F un’assegnata funzione reale definita in un campo A ⊆ R2.
Teorema 3 (Teorema del Dini) Sia F : A → R, F ∈ C1(A), dove A `e un aperto di R2. Se P0(x0, y0) `e un punto soluzione dell’equazione
si ha:
Fy(P0) 6= 0 =⇒ la (13) `e localmente risolubile rispetto a y (14) Fx(P0) 6= 0 =⇒ la (13) `e localmente risolubile rispetto a x
Pi`u precisamente
Fy(P0) 6= 0 =⇒ ∃y (x) ∈ C1(Ix(x0)) | F (x, y (x)) = 0, ∀x ∈ Ix(x0) (15) Fx(P0) 6= 0 =⇒ ∃x (y) ∈ C1(Iy(y0)) | F (x (y) , y) = 0, ∀y ∈ Iy(y0) ,
dove Ix(x0) e Iy(y0) denotano rispettivamente un intorno del punto x0 e del punto y0: Ix(x0) = (x0− δx, x0+ δx) , Iy(x0) = (y0− δy, y0+ δyx)
Nel caso della funzione (2), dopo aver posto:
ρn= 1
2+ iαn, n ∈ Z, (16)
si ha che Pn 1
2, αn `e un punto soluzione dell’equazione
f (x, y) = 0 (17)
Si osservi che la (12) non `e univocamente risolubile intorno a un qualunque punto Pn. Infatti, nel caso contrario risulterebbe:
∃δ > 0 | f (x, y (x)) = 0, y (x) ∈ C1 1 2 − δ,1
2 + δ
, ∀x ∈ 1 2− δ,1
2 + δ
(18) Cio`e l’arco di curva regolare di rappresentazione parametrica:
γ0 : x = t, y = y (t) , t ∈ 1 2− δ,1
2 + δ
,
rappresenta una distribuzione continua di zeri al finito per f (x, y) = |ζ (x + iy)| e quindi della funzione zeta di Riemann. Si osservi che ci`o non contraddice la congettura di Riemann, giacch´e abbiamo fissato Re ρn= 12. Ci`o che cambia, invece, `e la distribuzione degli zeri lungo la retta critica.
Conclusione 4
∄ y (x) ∈ C1 1 2 − δ,1
2 + δ
| f (x, y (x)) = 0, ∀x ∈ 1 2 − δ,1
2+ δ
implica che non sono verificate le ipotesi del teorema del Dini, i.e. f /∈ C1(A) e/o fx 1
2, αn = 0.
Si giunge alle stesse conclusioni, considerando la variabile x come eventuale funzione di y.
