DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 A.A. 2019-2020 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ENERGETICA

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 A.A. 2019-2020

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ENERGETICA

DANIELE ANDREUCCI, ALBERTO BERSANI

DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA

VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

• Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo che quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.), o con *.

• I richiami ai testi sono identificati così:

BPS: Bramanti Pagani Salsa Analisi Matematica 2 AB: Andreucci Bersani Esercizi di Analisi Matematica 2

• La numerazione n/m relativa agli esercizi si riferisce all’esercizio n del gruppo m, nella raccolta pubblicata sul sito del corso prima dell’inizio del corso.

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1. Lunedì 24/02/2020

(Andreucci) (Aula 4: 11-13) Presentazione del corso.

Richiami sui vettori di R^N; prodotto scalare, modulo di un vettore, distanza tra vettori, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare.

Funzione vettoriale r(t) ∈ R^N di una variabile reale t ∈ I ⊂ R.

Definizione di limite

t→tlim0

r(t) = L .

Il limite può essere calcolato per componenti. Valgono gli usuali teoremi sul prodotto, somma, composizione . . . di limiti.

Esempio 1.1. Limite per t → 0 di r(t) =sin t

t , t.

Definizione di funzione vettoriale continua. Una funzione è continua se e solo se lo sono tutte le sue componenti.

Immagine (sostegno) di r e grafico di r. Curve del piano in forma cartesiana.

Curve; curve chiuse e semplici.

Esempio 1.2. Circonferenza nel piano; retta nello spazio; segmento di

estremi assegnati nello spazio.

Definizione di derivata di una funzione vettoriale. Le classi C^k(I).

Per casa 1.3. 1) Disegnare immagine e grafico delle curve (R cos t, R sin t) , (R cos t³, R sin t³) , t ∈ R .

2) Scrivere la parametrizzazione della circonferenza di raggio R e centro l’origine che giace sul piano

x1+ x₂+ x₃ = 0 .

3) Per quali k le seguenti curve sono di classe C^k(R)?

(cos t, sin t) , (t, |t|) , (t|t|, t²) , (t³, |t|³) .

Disegnarne il sostegno.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 2.1, 2.2, 2.3.

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2. Martedì 25/02/2020

(Bersani) (Aula 4: 8-11) Introduzione alle funzioni da R^N in R^M.

Funzioni scalari da R^N in R. Grafici e insiemi di livello. Esempi canonici:

paraboloide cilindrico, ellittico e iperbolico; cono; semisfera.

Distanza euclidea e intorni circolari.

Esempio 2.1. Altre distanze e relativi intorni. Topologia in R^N. Concetti fondamentali: complementare di un insieme;

punti interni; punti esterni; punti di frontiera; insiemi aperti; insiemi chiusi;

frontiera di un insieme.

Insiemi convessi e insiemi connessi.

Esempio 2.2. Cerchio aperto; cerchio chiuso; cerchio semiaperto. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.1, 3.2.1, 3.3.

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3. Venerdì 28/02/2020

(Andreucci) (Aula 3: 16-19)

Derivata di una funzione vettoriale, derivazione per componenti, usuali regole di derivazione. Derivazione di prodotti scalari e vettoriali.

Definizione di curva regolare e regolare a tratti.

Esercizio 3.1. 1) Le 3 curve seguenti sono nell’ordine di classe C⁰(R), C¹(R), C²(R):

(t, |t|) , (t|t|, t²) , (t³, |t|³) .

Il loro sostegno comune presenta uno spigolo.

Definizione di retta tangente, come migliore approssimazione lineare di una curva; equivalenza con la derivabilità con derivata non nulla. Il caso dei grafici cartesiani.

Curve in coordinate polari ρ = ρ(θ). La spirale di Archimede.

Integrazione per componenti delle funzioni vettoriali. Usuali proprietà di integrazione; linearità rispetto al prodotto scalare e vettoriale (per un vettore costante).

Teorema fondamentale del calcolo.

Teorema 3.2. Se r ∈ C⁰([a, b]), allora

b

Z

a

r(t) dt

≤

b

Z

a

|r(t)| dt .

Per funzioni vettoriali non vale il teorema di Lagrange per la media delle derivate.

Esercizio 3.3. 1) Disegnare immagine e grafico delle curve (cos t, sin t) , (cos t³, sin t³) , t ∈ R .

2) Scrivere la parametrizzazione della circonferenza di raggio R e centro l’origine che giace sul piano

x1+ x₂+ x₃ = 0 .

Parametrizzazione dell’ellisse, x = a cos ϕ, y = b sin ϕ. Significato geometrico del parametro.

Formula per il calcolo della lunghezza di una curva; integrale per la lunghezza dell’ellisse.

Per casa 3.4. Calcolare la lunghezza delle curve:

(R cos t, R sin t, ht) ; (cos t)³, (sin t)³; 0 ≤ t ≤ 2π .

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 2.3, 2.4.

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4. Lunedì 02/03/2020

(Bersani) (Aula 4: 11-13)

Topologia in R^N: interno e chiusura di un insieme. Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi.

Insiemi limitati e illimitati.

Esercizio 16 BPS p. 118, (i), (ii): studio topologico di insiemi di definizione di funzioni di due variabili.

Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Definizione successionale di limite; − δ definizione di limite; teoremi e proprietà di limiti e funzioni continue.

Calcolo dei limiti in più variabili: analisi delle forme di indeterminazione.

Restrizione di una funzione a una curva, e dimostrazione della non esistenza del limite. Uso di maggiorazioni con funzioni radiali per provare l’esistenza del limite.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1.

5. Martedì 03/03/2020

(Bersani) (Aula 4: 8-11) Derivate parziali. Il caso bidimensionale. Gradiente.

Esempi ed esercizi su limiti, continuità, derivabilità.

Esempio 5.1. Studio della continuità e della derivabilità della funzione f (x, y) =

( _x²_y

x⁴+y² , se (x, y) 6= (0, 0) , 0 , se (x, y) = (0, 0) .

Esercizi 3 (uso della tecnica delle restrizioni), 4 (uso degli sviluppi asintotici), 5 (uso delle maggiorazioni) BPS p. 106.

Esercizio 16 (iii), (iv) BPS p. 118 (insiemi di definizione e derivate parziali delle funzioni).

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6. Lunedì 09/03/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 11-13)

Lunghezza di una curva come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte.

L’integrale

b

Z

a

|r⁰(t)| dt è un maggiorante della lunghezza.

In realtà si vede che è uguale alla lunghezza (s.d.).

Lunghezza di grafici di funzione e di curve regolari a tratti.

Cambiamenti di parametrizzazione. Cambiamenti di orientazione.

Definizione di ascissa curvilinea s(t) =

Zt

a

|r⁰(τ )| dτ .

Riparametrizzazione con l’ascissa curvilinea di una curva regolare. Versore tangente.

Integrali di linea (o curvilinei) di prima specie.

Proposizione 6.1. L’integrale curvilineo di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione.

Per gli integrali di linea valgono le usuali proprietà degli integrali.

Esercizi su lunghezza di curve e integrali curvilinei di prima specie.

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7. Martedì 10/03/2020

Definizione di integrale doppio su un rettangolo di una funzione di due variabili.

Esempio 7.1. Calcolo dell’integrale di una funzione costante, o costante a

tratti, mediante la definizione.

Teorema 7.2. (s.d.) Una funzione continua su un rettangolo è integrabile sul rettangolo.

Teorema 7.3. Formule di riduzione per l’integrale doppio di una funzione continua su un rettangolo.

Esempi; funzioni a variabili separabili.

Definizione di integrale doppio su un dominio limitato non rettangolare.

Definizione di domini x-semplici e y-semplici. Formule di riduzione su domini semplici.

Esempi.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.1.

8. Venerdì 13/03/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 16-19) Misura di un dominio piano.

Teorema 8.1. (s.d.) Se una funzione è continua su un rettangolo, a par- te un insieme di misura nulla, è integrabile su quel rettangolo. Inoltre l’integrale si può calcolare usando le formule di riduzione.

Il grafico di una funzione continua su [a, b] ha misura nulla come sottoinsieme del piano.

Una funzione continua su un insieme semplice E è integrabile su E.

Domini regolari.

Proprietà dell’integrale doppio.

Esercizi su integrali doppi e formule di riduzione.

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9. Lunedì 16/03/2020

(Bersani) (Didattica a distanza: 11-13)

Ultime considerazioni sulla teoria dei limiti e sulla continuità: limiti per

||x|| → +∞, con esempi.

Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, esistenza degli zeri, valori inter- medi (senza dimostrazione). Generalizzazioni a insiemi non chiusi e limitati (non compatti).

Derivate parziali: il caso n-dimensionale. Gradiente.

Piano tangente. Differenziale, differenziabilità e approssimazione lineare.

Proposizione 3.3 p. 126 con dimostrazione.

Esercizi su continuità, derivabilità, differenziabilità, piano tangente.

Regolarità. Condizione sufficiente di differenziabilità, senza dimostrazione.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.2.1, 3.3.2, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 . 10. Martedì 17/03/2020

Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per sezioni.

Introduzione euristica al cambiamento di variabili negli integrali doppi.

Significato del determinante iacobiano come fattore di riscalamento delle aree.

Teorema 10.1. (s.d.) Sia F : A → R² una trasformazione iniettiva di classe C¹ con inversa C¹. Sia T ⊂ A un dominio. Sia f ∈ C (D), D = F (T ). Allora

Z Z

D

f (x, y) dx dy = Z Z

T

f (F (u, v))|det J (u, v)| du dv ,

ove J indica la matrice iacobiana di F .

Il Teorema può essere applicabile anche se le ipotesi su F cadono in sottoinsiemi di misura nulla di A.

Esercizi su integrali tripli e cambiamento di variabili in integrali doppi.

11. Venerdì 20/03/2020

Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate polari (o sferiche);

coordinate cilindriche; coordinate ellittiche.

Esercizi sul cambiamento di variabili.

Superfici; parametrizzazioni; linee coordinate e vettori tangenti; vettore normale. Superfici regolari. Il caso dei grafici di funzione.

Esercizi di parametrizzazione di superfici.

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12. Lunedì 23/03/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 11-13) Area di una superficie. Integrale superficiale.

Esercizi: Area del cilindro e integrale sul cilindro.

Commenti sul Principio di Cavalieri.

Derivazione sotto il segno d’integrale.

Teorema 12.1. Siano f , ^{∂ f}_∂x ∈ C (R), R = [a, b] × [c, d]. Allora d

dx Zd

c

f (x, y) dy = Zd

c

∂ f

∂x(x, y) dy , x ∈ (a, b) . Corollario 12.2. Siano f , ^{∂ f}_∂x ∈ C (R²), g, h ∈ C¹(R). Allora

d dx

h(x)

Z

g(x)

f (x, y) dx = h⁰(x)f (x, h(x))−g⁰(x)f (x, g(x))+

h(x)

Z

g(x)

∂ f

∂x(x, y) dy , x ∈ R .

Esercizio 12.3. AB: 1.50, 1.52.

Per casa 12.4. AB: 1.18, 1.33, 1.35, 1.44, 1.54, 1.56. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.4, 6.3.

13. Martedì 24/03/2020

Derivate direzionali. Formula del gradiente. Teorema 3.9 p. 132 (Formula del gradiente), con dimostrazione. Direzioni di massima crescita.

Implicazioni fra continuità, derivabilità parziale, derivabilità direzionale, differenziabilità, regolarità, con esempi.

Regole sul calcolo delle derivate. Derivazione delle funzioni composte, senza dimostrazione, con esempi. Derivata totale. Equazione del trasposto e Teorema del valor medio (3.13 p. 140) esclusi.

Esercizi di riepilogo su continuità, derivabilità parziale, derivabilità direzionale, differenziabilità, regolarità.

Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive. Derivate pure e derivate miste. Teorema di Schwarz, senza dimostrazione, con esempi (in particolare, esempio 5.2 p. 146). Cenni al multiindice.

Differenziale secondo, matrice hessiana, formula di Taylor al secondo ordine, con formula di Peano. Teorema 3.15 p. 149 escluso. Teorema 3.16 p. 150 senza dimostrazione.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.4.4, 3.4.5, 3.5.

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14. Venerdì 27/03/2020

Superfici orientabili, flussi di campi vettoriali attraverso superfici orientate.

Superfici e solidi di rotazione.

Teorema 14.1. (Guldino I) Il volume del solido prodotto dalla rotazione di un dominio D contenuto nel semipiano {(0, y, z) | y > 0} è 2πy₀area(D), ove y₀ è la coordinata y del baricentro di D.

Teorema 14.2. (Guldino II) L’area della superficie prodotta dalla ro- tazione di una curva γ contenuta nel semipiano {(0, y, z) | y > 0} è 2πy₀lunghezza (γ), ove y₀ è la coordinata y del baricentro di γ.

Integrali generalizzati in due variabili.

Esempio 14.3. Calcolo dell’integrale della gaussiana e di (x²+ y²)^−α/2su

x²+ y² ≤ 1.

Per casa 14.4. 1, 2/970; 1/980; 2/990.

AB: 1.39, 1.40.

Calcolo dell’integrale di (x²+ y²)^−α/2 su x²+ y² ≥ 1. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.2, 6.3, 6.4.

15. Lunedì 30/03/2020

(Bersani) (Didattica a distanza: 11-13) Definizione di cono in R^N.

Funzioni omogenee e positivamente omogenee. Teorema 3.32 (senza dimostrazione) sulla continuità e differenziabilità delle funzioni omogenee, su R^N − {(0, 0)} e sua generalizzazione a coni. Teorema di Eulero (BPS es.

5 p. 196).

Esempi.: polinomi. BPS es. 9.1 p. 192. Potenziale gravitazionale o elet- trico. Controesempi. Esempi di applicazioni allo studio della continuità e differenziabilità delle funzioni omogenee. BPS, nn. 34, 36, p. 143.

Definizione di Laplaciano. Funzioni armoniche (BPS n. 5.4 p. 148).

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.5.1, 3.9.2.

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16. Martedì 31/03/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 08-11) Divergenza di un campo vettoriale in R³.

Teorema 16.1. (della divergenza) Sia F ∈ C¹(A) A ⊂ R³ compatto regolare semplice rispetto ai 3 assi. Allora

Z Z Z

A

div F dx dy dz = Z Z

∂A

F · n dS .

Qui n è la normale esterna a ∂A.

Esempi.

Corollario 16.2. (di Gauss-Green) Sia F ∈ C¹(A) A ⊂ R² compatto regolare semplice rispetto ai 2 assi. Allora

Z Z Z

A

div F dx dy = Z

∂A

F · n ds .

Qui n è la normale esterna a ∂A.

Applicazioni di Gauss-Green al calcolo delle aree; area dell’astroide.

Interpretazione della divergenza come div F (P₀) = lim

R→0+

1

4 3πR³

Z Z

∂BR(P0)

F · n dS .

Si ha per ogni dominio A come nel teorema della divergenza Z Z

∂A

n dS = 0 .

Per casa 16.3. Esercizi sul teorema della divergenza; integrazione per parti

in R³.

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17. Venerdì 03/04/2020

Campi vettoriali, lavoro di un campo su una curva; cambiamento di segno per cambiamento di verso di percorrenza. Circuitazione. Esempi.

Definizione di campo conservativo; potenziale. Lavoro come differenza dei valori del potenziale negli estremi della curva. La circuitazione di un campo conservativo è nulla.

Esempio 17.1. Circuitazione di

−y

x²+ y², x x²+ y²

su una circonferenza di centro l’origine.

Il linguaggio delle forme differenziali. Gauss-Green per forme differenziali.

Teorema 17.2. Se un campo ammette due potenziali nello stesso aperto connesso, essi differiscono solo per una costante additiva.

Integrazione indefinita di un campo componente per componente.

Per casa 17.3. AB: 2.1, 2.4, 2.6, 2.21, 2.26, 2.54. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.1, 6.2.

18. Lunedì 06/04/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 11-13) Teorema 18.1. Sia F ∈ C (A), A aperto di R³. Sono equivalenti:

1) Se le due curve γ₁, γ₂⊂ A hanno gli stessi estremi (ordinati) allora Z

γ1

F · dr = Z

γ2

F · dr .

2) Se γ ⊂ A è una curva chiusa, allora la circuitazione di F su γ è nulla.

3) Il campo F ammette un potenziale in A.

Integrazione su curve mediante suddivisione di curve.

Se U ∈ C¹(A), A aperto di R², ∂U/∂x ≡ 0 in A, allora non necessariamente U dipende solo da y; per questo bisogna supporre che A sia x-semplice.

Per casa 18.2. AB: 2.28, 2.43, 2.46, 2.50.

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19. Martedì 07/04/2020

Esempi di funzioni armoniche (BPS es. 37 p.151). Cenni alle equazioni alle derivate parziali (equazioni di Laplace, di Poisson, del calore, delle onde).

Applicazione del Teorema di Eulero (es. 5 p.196): Ricostruzione di potenziali di campi vettoriali omogenei.

Ottimizzazione. Estremi liberi: massimi e minimi, assoluti e relativi. Con- dizioni di prim’ordine: Teorema di Fermat (BPS Teorema 3.17, p.156, con dimostrazione). Punti stazionari. Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi relativi e assoluti liberi (BPS es. 46 f₁(x), f₅(x), f₍x)).

20. Venerdì 17/04/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 16-19) Campi vettoriali (o forme) chiusi.

Teorema 20.1. Se F ∈ C¹(A), aperto di R³, F = ∇ U , allora

∂ Fk

∂x_j = ∂ Fj

∂x_k , j, k = 1, 2, 3, j 6= k . Rotore; campi irrotazionali.

Definizione di aperto semplicemente connesso in R² e R³. Esempi.

Esempio 20.2. Il campo definito in A = R²\ {(0, 0)}

− y

x²+ y² e₁+ x x²+ y²e₂,

è chiuso ma non è esatto in A, perché ha circuitazione non nulla sulle

circonferenze di centro l’origine.

Teorema 20.3. Se una forma è chiusa in un semplicemente connesso A ⊂ R² allora è esatta in A.

Corollario 20.4. Se una forma è chiusa in un non semplicemente connesso A ⊂ R² allora è esatta in ogni semplicemente connesso B ⊂ A.

Locale integrabilità.

Criterio di esattezza in domini con una lacuna; periodo di un campo chiuso relativo a una lacuna. Esempi.

Per casa 20.5. 5, 6, 7, 8, 9, 16, 24, 31/730;

2, 3, 12/780.

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21. Lunedì 20/04/2020

Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Forme definite positive, ne- gative, indefinite, semidefinite. Minori di N-O e di S-E. Test degli autovalori.

Teorema 3.20 p. 163 senza dim. Applicazioni al differenziale secondo e alla matrice hessiana per lo studio della natura dei punti critici. Teorema (BPS 3.22 p. 165) senza dim.. Teorema (BPS 3.22 p. 165) sulla natura dei punti stazionari. Applicazione anche al caso di funzioni di n variabili. Riesa- me degli esercizi (BPS es. 46 f₁(x), f₅(x), f (x)) per mezzo dello strumento dell’hessiano.

Funzioni definite implicitamente in R2. Esempi (BPS e8.1 p. 183).

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.6.3, 3.6.4, 3.6.5. 3.8.1.

22. Martedì 21/04/2020

Teorema del Dini, o della funzione implicita (3.26 p. 184) senza dim. Ap- plicazioni ed esempi: formula della derivata prima e seconda della funzione esplicita e sviluppo di Taylor di ordine 2; riesame dell’esempio e8.1 p. 183;

esempi 8.3, 8.4 p. 187; esercizi 54 p. 189.

Ottimizzazione. Estremi vincolati. Studio di massimi e minimi assoluti in domini chiusi e limitati, nel caso di frontiere regolari o regolari a tratti, scritte in forma parametrica o in forma implicita. Esercizi 31, 32, 33 p. 239.

23. Venerdì 24/04/2020

Applicazione del teorema di Gauss-Green all’integrazione di campi vettoriali in domini piani con più lacune; periodi di campi chiusi.

Esempi.

L’indice di avvolgimento di una curva intorno a un punto.

Il teorema di Stokes o del rotore.(s.d.)

Applicazioni del teorema di Stokes all’integrazione di campi vettoriali in R³. Teorema 23.1. (s.d.) Un campo vettoriale F ∈ C¹(A) chiuso in A con A ⊂ R³ aperto semplicemente connesso, è conservativo in A.

Esempi in s.c. e in non s.c.; divisione di una forma nella somma di altre forme per semplificare il problema.

Per casa 23.2. AB: 2.6, 2.34, 2.36, 2.40, 2.52, 2.56.

Sia F ∈ C¹(A), A = R³\ {asse z}. Sia F chiuso in A, e F (x, y, 0) = 0 per ogni (x, y, 0) ∈ A. Dimostrare che F è esatto in A. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.6.

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24. Lunedì 27/04/2020

Applicazioni di Gauss-Green a domini con frontiera del tipo r = r(ϕ) (in coordinate polari). Area di un settore polare. Area della cardioide.

Esercizio 24.1. Calcolare con pochi calcoli i seguenti integrali curvilinei di forme:

(a) ω = 2xy²dx + 2x²y dy e γ(t) =arctg(t²)

1 + t² ,1 + t⁴¹⁰ 1 + t²

, t ∈ [−1, 1] ; (b) ω =^hx²+ 2x

1 + x²+ y²

idx +^hy²+ 2y 1 + x²+ y²

idy

e γ(t) = cos t

1 + sin²t, sin²t 2 − cos²t

t ∈ [0, π] ; (c) ω = [y + x sin(x²+ y²)] dx + [1 + y sin(x²+ y²)] dy

e γ(t) = (cos t, sin t) , t ∈ [0, 2π] .

AB 2.19.

Collegamento tra teorema di Stokes e teorema di Gauss-Green.

Intepretazione del rotore come densità di circuitazione.

Esercizio 24.2. Dimostrare che la circuitazione di F = (zx + y, 3, y²/2) sulla curva intersezione di

x²+ y² = 4 , z = xy ,

non è nulla. (Con il teorema di Stokes.)

Per casa 24.3. AB: 2.10, 2.12, 2.15, 2.18, 2.29, 2.42, 2.48. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.2, 6.6.

25. Martedì 28/04/2020

Estremi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema 4.7 p. 235 con dimostrazione. Esercizi 31, 32, 33 p. 239 svolti col metodo dei moltiplicatori di Lagrange e altri esercizi.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 4.6.1.

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26. Lunedì 04/05/2020

Derivazione implicita e teorema del Dini; ricerca di estremi di funzioni definite implicitamente.

Moltiplicatori di Lagrange su curve con estremi: gli estremi vanno inclusi tra punti candidati a essere di massimo o minimo.

Esercizio 26.1. 1) Trovare massimi e minimi della funzione definita implicitamente da

F (x, y) = xy − e^x−y, x > 0 .

2) Trovare i punti di massimo e minimo assoluti e relativi valori di f (x, y) = arcsin y − 2xy ,

in

D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0 , xy ≥

√ 3

4 , x²+ y²≤ 1} .

Per casa 26.2. 1) Trovare massimi e minimi della funzione definita implicitamente da

F (x, y) = −x + y²+ ln(x + y) , x > 0 , y > 0 .

2) 020: 1, 7, 10; 030: 1, 6, 7, 8; 050: 1, 8, 18, 20; 070: 1, 3, 4. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.8, 4.6.

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27. Martedì 05/05/2020

Esercizi su ottimizzazione di funzioni in domini: studio all’interno del dominio e sulla frontiera.

Baricentro di punti come minimo della somma delle distanze al quadrato dai punti.

Minimizzazione su una superficie della distanza da un punto esterno alla superficie.

Esercizio 27.1. Studiare f (x, y) =

Z Z

D(x,y)

|u|e^(u²^+v²⁾

3

2 du dv ,

su C = [0, 1] × [0, 1], ove

D(x, y) = {(u, v) | u²+ v² ≤ xy} .

Derivate di integrali fatti su sfere di raggio variabile: variazione del contenuto calorico di un dominio variabile.

Esercizio 27.2. Calcolo dell’area della superficie ottenuta come unione dei segmenti ortogonali all’asse z con un estremo sull’asse z e l’altro sulla curva

x = R cos θ , y = R sin θ , z = hθ , 0 ≤ θ ≤ π 4,

ove R, h > 0 sono costanti.

Esercizio 27.3. Massimi e minimi di f (x₁, x₂, x₃) =

3

X

i,j=1

a_ijx_ix_j,

su x²₁ + x²₂ + x²₃ = 1, ove a_ij = a_ji. Collegamento con gli autovettori di

(a_ij).

Per casa 27.4. 900: 6, 9; 910: 8, 10.

Calcolare

Z Z

D

x³

px²+ y dx dy , ove

D =ⁿ(x, y) | 1

2 ≤ y ≤ 8 , x ≥ 0 , y + 9 ≥ x²^o.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.6, 4.6, 6.3.

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28. Venerdì 08/05/2020

(Andreucci) (Didattica a distanza: 16-19) Esercizi di integrazione su curve.

Esercizio 28.1. Trovare F tale che la seguente forma sia esatta in R³: z arctg(1 + y) dx +(x + y + 1)z

y²+ 2y + 2 dy + F (x, y) dz .

Esercizio 28.2. Trovare massimo e minimo di

f (x, y, z) = z , sulla curva data come intersezione di

g1(x, y, z) = x² R² + y²

R² + z²

R² − 1 = 0 , g2(x, y, z) = x² a² +y²

b² +z²

c² − 1 = 0 ,

co 0 < c < R < b < a.

Esercizio 28.3. Determinare per quali valori di α, β > 0 il seguente integrale è finito:

Z Z

Dα

dx dy (x²+ y²)^β²

, D_α = {(x, y) | x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ x^α, x²+ y²≤ 1} .

Per casa 28.4. 1) Calcolare

Z

+γ

(x − y) ds ,

ove γ è il triangolo di vertici (0, 0, 1/2), (0, 1, 0), (2, 0, 0).

2) Dimostrare che se h ∈ C¹((0, +∞)), un potenziale di F (x) = h(|x|)x/|x|

è

U (x) =

|x|

Z

1

h(s) ds .

3) Calcolare l’integrale improprio Z Z

A

p|xy|

x²+ y²dx dy , A =ⁿ(x, y) | |xy| ≤ 1 2

o.

4) Calcolare la lunghezza della spirale e^−t(cos t, sin t), t ∈ [0, +∞).

5) Determinare le costanti α e β che rendono esatta in R² la forma (α + β)y dx + (α²x − αβxy) dy .

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29. Lunedì 11/05/2019

Presentazione del formato di esame; risoluzione di alcuni quesiti di esempio.

30. Martedì 12/05/2020

Campi solenoidali e potenziale vettore. Costruzione di potenziali vettore del campo descritto negli esempi 1.8 p. 305 / 1.12 pp. 308/309, solenoidale, irrotazionale, ma non conservativo (legge di Biot-Savart).

Richiami sugli operatori differenziali e su nabla.

Complementi facoltativi: Applicazioni fisiche dei Teoremi della Divergenza e del Rotore: equazione di continuita’. Equazioni di Maxwell (es. 1.16 pp.

312/313; paragrafo "L’equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico", pp. 337/338; es. 6.3 p. 342; 30, 32 p. 344). Deduzione dell’equazione delle onde elettromagnetiche.

Introduzione alle successioni e serie di funzioni. Esempi della progressione geometrica e della serie geometrica. Convergenza puntuale, assoluta e totale di serie di funzioni.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.1.2, 6.1.5, 6.1.6, 6.5, 6.6, 7.1.

31. Lunedì 18/05/2020

Teoremi sulla convergenza totale di serie di funzioni: Teorema 7.1 (Conti- nuità della somma) senza dim. Teorema 7.2 (Derivabilità termine a termine) senza dim. Teorema 7.3 (Integrabilità termine a termine) senza dim. Esem- pi (serie geometrica e serie logaritmica). Serie di potenze. Teorema 7.4 (raggio di convergenza - Criterio della radice) con dim. Teorema 7.5 (Cri- terio del rapporto) con dim. Teorema 7.6 (Proprietà delle serie di potenze) senza dim. Esempi: serie geometrica (es. 2.4 p. 360); serie esponenziale;

serie dell’arcotangente (es. 2.2 p. 359); serie logaritmica (es. 2.3 p. 359).

Comportamento agli estremi: Teorema 7.7 (di Abel) senza dim. Esempio 2.5 p. 361.

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 7.1, 7.2.1.

32. Martedì 19/05/2020

Serie di Taylor e di McLaurin. Relazione con le serie di potenze. Funzioni C^∞ e funzioni analitiche. Esempio 2.6 p. 364. Esercizio 4 p. 366. Esempi notevoli di applicazione alle serie di potenze dei teoremi sulla convergenza totale: serie binomiale, con casi particolari (α = n ∈ N ; α = −1/2 ; α = 1/2 ; α = −1). La funzione Si(x) (seno integrale). La funzione erf (x) (funzione degli errori).

Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 7.2.2.

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33. Lunedì 25/05/2020

Metodo di Frobenius per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie tramite sviluppi in serie di potenze (facoltativo). Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Richiami sugli spazi vettoriali con prodotti scalari (senza dim.)

34. Martedì 26/05/2020

Coefficienti e serie di Fourier. Approssimazione in media quadratica (senza dim.). Convergenza della serie di Fourier in norma quadratica. Disugua- glianza di Bessel ed uguaglianza di Parseval (senza dim.). Esempi e os- servazioni sul calcolo dei coefficienti di Fourier (senza dim.): coefficienti di Fourier di funzioni pari o dispari. Esempi. Convergenza puntuale e totale delle serie di Fourier (senza dim.). Derivabilità termine a termine; Velocità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier: esclusi.

35. Venerdì 29/05/2020

Sviluppo in serie di seni o di coseni: prolungamento per parità e disparità.

Esercizi sulle serie di Fourier.

Applicazioni alle equazioni differenziali alle derivate parziali della Fisica Matematica: Equazione del calore sul segmento (facoltativo).

Fenomeno di Gibbs (facoltativo).

FINE DEL CORSO

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