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0 2 cos 1 2 cos sin 1 sin 2 0 2 0 2 0

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Academic year: 2021

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(1)

DETTAGLI PROCEDURA RIDUZIONE DINAMICA

D.1 Calcolo di l1(m,n)

( )=02π ( ) ( )α α α

1 m,n sin m sin n d

l

dove m ed n sono interi positivi.

• Per m= n = 0 , si ottiene l1( )m,n = 0

• Per m≠ n0 si ponga:

(2)

=

= +

2 2q n p

q m p

= +

= n m q

n m p

Da cui:

( ) ( )mα nα [cos( )pα cos( )qα ]

2 sin 1

sin =

( ) ( ) [ ( ) ( )] sin( ) sin( ) 0 2

cos 1 2 cos

sin 1 sin

2

0 2

0 2

0 =

=

=

π π

π α α α α α α α α

q q p

d p q p

d n m

• Per m= n0:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 cos sin 1

sin

sin mα nα 2 mα mα

=

=

( α) α α ( α) π π

π  =

 −

=

2

0 2

0 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1

m d m

m

.

D.2 Calcolo di l2(m,n)

( )=02π ( ) ( )α α α

2 m,n cos m cos n d

l .

dove m ed n sono interi positivi.

• Per m= n=0:

( )α ( )α α [ ]α π π

πcos cos 20 2

2

0 = =

m n d

• Per m≠ n0 si ponga:

=

= +

2 2q n p

q m p

= +

= n m q

n m p

Da cui:

( ) ( )mα nα [cos( )pα cos( )qα ]

2 cos 1

cos = +

(3)

( ) ( ) [ ( ) ( )] sin( ) sin( ) 0 2

cos 1 2 cos

cos 1 cos

2

0 2

0 2

0 =

+

= +

=

π mα nα dα π pα qα dα ppα qqα π

• Per m= n0:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 cos cos 1

cos

cos mα nα 2 mα + mα

=

=

( α) α α ( α) π π

π  =

 + + =

2

0 2

0 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1

m d m

m

.

D.3 Calcolo di l3(m, n)

( )=02π ( ) ( )α α α

3 m,n sin m cos n d

l .

dove m ed n sono interi positivi.

• Per m= n=0, l3(m, n)= 0

• Per m≠ n0 si ponga:

=

= +

2 2q n p

q m p

= +

= n m q

n m p

Da cui:

( ) ( )mα nα [sin( )pα sin( )qα ]

2 cos 1

sin = +

( ) ( ) [ ( ) ( )] cos( ) cos( ) 0 2

sin 1 2 sin

cos 1 sin

2

0 2

0 2

0 =

+

= +

=

π π

π α α α α α α α α

q q p

d p q p

d n m

• Per m= n0:

( ) ( )mα nα sin(2mα)

2 cos 1

sin =

( ) ( ) 0

2 2 cos 2 2 1

2 sin

1 2

0 2

0  =



π mα dα = mmα π

(4)

D.4 Integrali trigonometrici

Integrali utilizzati nel calcolo delle componenti della matrice di rigidezza generalizzata:

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[ , , ] 0

2 1

cos sin

2 sin cos 1

cos sin

3 3

2 0 2

0

=

+ +

=

=

+

+

=

n m k l n m k l

d n m

k m

k d

n m

k π

π α α α α α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[l k m n l k m n ]

d n m

k m

k d

n m

k

, 2 ,

1

sin sin

2 sin sin 1

cos sin

1 1

2 0 2

0

+ +

=

=

+

+

=

π α α α α π α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[l k n m l k n m ]

d n m

k m

k d

n m

k

, 2 ,

1

cos cos

2 cos cos 1

sin sin

2 2

2 0 2

0

+

=

= +

+

=

π α α α α π α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[ , , ] 0

2 1

sin cos

2 cos sin 1

sin sin

3 3

2 0 2

0

= +

=

=

+

=

n m k l n m k l

d n m

k m

k d

n m

k π

π α α α α α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[l k m n l k m n ]

d n m

k m

k d

n m

k

, 2 ,

1

cos cos

2 cos cos 1

cos cos

2 2

2 0 2

0

+ +

=

=

+

+

=

π α α α α π α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[ , , ] 0

2 1

sin cos

2 cos sin 1

cos cos

3 3

2 0 2

0

= +

+

=

=

+

+

=

n m k l n m k l

d n m

k m

k d

n m

k π

π α α α α α α α α

(5)

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[ , , ] 0

2 1

cos sin

2 sin cos 1

sin cos

3 3

2 0 2

0

=

+

=

=

+

=

n m k l n m k l

d n m

k m

k d

n m

k π

π α α α α α α α α

( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )

( ) ( )

[l k m n l k m n ]

d n m

k m

k d

n m

k

, 2 ,

1

sin sin

2 sin sin 1

sin cos

1 1

2 0 2

0

+

=

=

+

=

π α α α α π α α α α

D.5 Calcolo di F0X

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) +

+ +

=

π α α α α

2

0 1

0 sin cos cos

2 a k b k m d

a

k

F k F

k F

x x

x

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) =





+ +

=

π α α α α

2

0 1

0 sin cos sin

2 a k b k m d

a

k

F k F

k F

y y

y

( ) ( )

[ ]

+ +

= 2π ε α ε α α

0 F0X AXX cos n AXY sin n d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

 +

+

1

2 0 2

0 sin cos cos cos

k

F h F

k k m d b k m d

a x π α α α x π α α α

( )F ( ) ( ) k( )F ( ) ( ) X

k k m d b k m d F

a y y 2 0

0 2

0πsin α sin α α πcos α sin α α=2π

da cui:

( ) ( )

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] X

F k F

k k

F k F

k l k m b l k m a l k m b l k m F

a x x y 1 y 3 0

1

2

3 , + , , , =2π

= .

Sfruttando le proprietà delle quantità li(m,n), si ottiene:

( ) ( )

( x mFy )

F m

X b a

F =

2 1

0

(6)

D.6 Calcolo di AXX

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )



+

+ +

=

π α α α α

2

0 1

0 sin cos cos

cos a2 a k b k m

n

k

F k F

k F

x x

x

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) =



+ +

=

α α α

α a a k b k d

m

k

F k F

k F

y y

y

1

0 sin cos

sin 2

( ) ( )

{ ε α ε α } ( )α α

π

d n n

A n

A

F X XX cos XYsin cos

2

0

0 + +

= da cui:

( ) π ( ) ( )α α α ( )2π ( ) ( )α α α +

0 0 2

0

0 sin cos

cos 2

2 cos a m n d

d n

aFx m Fy

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) +

+= π α α α α 2π α α α α

1 0 2

0

cos cos

cos cos

cos

sin k m n d b k m n d

a x kFx

k F k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

π α α α α 2π α α α α

0 2

0

cos sin

cos cos

sin

sin k m n d b k m n d

akFy kFy

( ) ( ) ( )

+

=ε π α α ε 2π α α α

0 2

0

2 cos sin

cos n d A n n d

AXX XY

o:

( ) ( )a( )l (m n)+ n

m

a Fx l Fy 2 ,

2 , 3

0 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=  + + +

+ + + +

1

2 2

3 3

2

, ,

2

, ,

k

F k F

k

n m k l n m k b l

n m k l n m k

a x l x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =



+ +

2

, ,

2

,

, 2 3 3

2 l k m n l k m n

n b m k l n m k

akFy l kFy

( )n n A l ( )n n l

AXX 2 , ε XY 3 ,

ε +

= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

 +

+ + +

1

2 2

2 2

2 0

2

, ,

2

, , ,

2 k

F k F

k

F l k m n l k m n

n a m k l n m k b l

n m

a x l x y

(7)

( )n n l AXX 2 , ε

=

Sono possibili cinque casi diversi:

• i= 0 :

( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n

n a m k

b l XX

k

F k F

k

x y ,

2 , 2

,

2 1

2

2 ε

=

=



( )F π m( )F π ε XX2π

m a A

b x y =

( ) ( )

( x mFy )

F m

XX b a

A =

ε 2

1

i = j :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n

n a m k b l

n m a l

XX k

F k F

k F

x y x

2 , , 2

, ,

2 1 2

2 2 2

0 ε

=

=



+

( )F π b( )Fm π a( )Fm π εAXXπ

a x x y

=

+ 2 2

2 2 2

0

( ) ( ) ( )

( x x Fmy )

F m F

XX a b a

A 0 2 2

2

1 +

= ε

i = − j :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n

n a m k b l

n m a l

XX k

F k F

k F

x y x

2 , , 2

, ,

2 1 2

2 2

2

0 ε

=

=



+

( )F π b( )Fm π a( )Fm π εAXXπ

a x x y

=

+ 2 2

2 2 2

0

( ) ( ) ( )

( x x Fmy )

F m F

XX a b a

A 0 2 2

2

1 +

= ε

• i< j :

( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n

n a m k

b l XX

k

F k F

k

x y ,

2 , 2

,

2 1

2

2 ε

=

=



( )π ( ) π ( )π ( )π ε π

XX F

n m F

n m F

n m F

n

m a b a A

b +x +y + x y = 2 2

2 2

(8)

( ) ( ) ( ) ( )

( x y x mFyn)

F n m F

n m F

n m

XX b a b a

A = + + + 2ε

1

• i> j :

( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) (l k m n) A l ( )n n

n a m k l n m k

b l XX

k

F k F

k

x y ,

2

, ,

2

, ,

2 1

2 2

2

2 ε

=

=

 +

+ +

( )π ( ) π ( )π ( ) π ε π

XX F

m n F

m n F

n m F

n

m a b a A

b +x +y + x + y = 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( x y x nFym)

F m n F

n m F

n m

XX b a b a

A = + + + + ε

2 1

B.7 Calcolo di AXY

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )



+

+ +

=

α α

α

α a a k b k m

n

k

F k F

k F

x x

x

cos cos

2 sin sin

1 0

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) =



+ +

=

α α α

α a a k b k d

m

k

F k F

k F

y y

y

1

0 sin cos

sin 2

( ) ( )

{ ε α ε α } ( )α α

π

d n n

A n

A

F X XX cos XY sin sin

2

0

0 + +

= da cui:

( ) π ( ) ( )α α α ( ) 2π ( ) ( )α α α +

0 0 2

0

0 sin sin

sin 2

2 cos a m n d

d n

a Fx m Fy

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) +

+= π α α α α 2π α α α α

1 0 2

0

sin cos

cos sin

cos

sin k m n d b k m n d

a x kFx

k F k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

π α α α α 2π α α α α

0 2

0

sin sin

cos sin

sin

sin k m n d b k m n d

akFy kFy

( ) ( ) ( )

+

=ε π α α α ε 2π α α

0 2 2

0

sin sin

cos n n d A n d

AXX XY

o:

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