DETTAGLI PROCEDURA RIDUZIONE DINAMICA
D.1 Calcolo di l1(m,n)
( )=∫02π ( ) ( )α α α
1 m,n sin m sin n d
l
dove m ed n sono interi positivi.
• Per m= n = 0 , si ottiene l1( )m,n = 0
• Per m≠ n≠0 si ponga:
= −
= +
2 2q n p
q m p
−
= +
= n m q
n m p
Da cui:
( ) ( )mα nα [cos( )pα cos( )qα ]
2 sin 1
sin = −
( ) ( ) [ ( ) ( )] sin( ) sin( ) 0 2
cos 1 2 cos
sin 1 sin
2
0 2
0 2
0 =
−
=
−
= ∫
∫
π π
π α α α α α α α α
q q p
d p q p
d n m
• Per m= n≠0:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 cos sin 1
sin
sin mα nα 2 mα − mα
=
=
( α) α α ( α) π π
π =
−
− =
∫ 2
0 2
0 2
2 sin 2
1 2
2 cos 1
m d m
m
.
D.2 Calcolo di l2(m,n)
( )=∫02π ( ) ( )α α α
2 m,n cos m cos n d
l .
dove m ed n sono interi positivi.
• Per m= n=0:
( )α ( )α α [ ]α π π
πcos cos 20 2
2
0 ⋅ = =
∫ m n d
• Per m≠ n≠0 si ponga:
= −
= +
2 2q n p
q m p
−
= +
= n m q
n m p
Da cui:
( ) ( )mα nα [cos( )pα cos( )qα ]
2 cos 1
cos = +
( ) ( ) [ ( ) ( )] sin( ) sin( ) 0 2
cos 1 2 cos
cos 1 cos
2
0 2
0 2
0 =
+
= +
=
⋅ ∫
∫ π mα nα dα π pα qα dα ppα qqα π
• Per m= n≠0:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 cos cos 1
cos
cos mα nα 2 mα + mα
=
=
( α) α α ( α) π π
π =
+ + =
∫ 2
0 2
0 2
2 sin 2
1 2
2 cos 1
m d m
m
.
D.3 Calcolo di l3(m, n)
( )=∫02π ( ) ( )α α α
3 m,n sin m cos n d
l .
dove m ed n sono interi positivi.
• Per m= n=0, l3(m, n)= 0
• Per m≠ n≠0 si ponga:
= −
= +
2 2q n p
q m p
−
= +
= n m q
n m p
Da cui:
( ) ( )mα nα [sin( )pα sin( )qα ]
2 cos 1
sin = +
( ) ( ) [ ( ) ( )] cos( ) cos( ) 0 2
sin 1 2 sin
cos 1 sin
2
0 2
0 2
0 =
+
−
= +
=
⋅ ∫
∫
π π
π α α α α α α α α
q q p
d p q p
d n m
• Per m= n≠0:
( ) ( )mα nα sin(2mα)
2 cos 1
sin =
( ) ( ) 0
2 2 cos 2 2 1
2 sin
1 2
0 2
0 =
∫ π mα dα = mmα π
D.4 Integrali trigonometrici
Integrali utilizzati nel calcolo delle componenti della matrice di rigidezza generalizzata:
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[ , , ] 0
2 1
cos sin
2 sin cos 1
cos sin
3 3
2 0 2
0
=
− + +
=
=
− +
+
= ∫
∫
n m k l n m k l
d n m
k m
k d
n m
k π
π α α α α α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[l k m n l k m n ]
d n m
k m
k d
n m
k
, 2 ,
1
sin sin
2 sin sin 1
cos sin
1 1
2 0 2
0
− + +
=
=
− +
+
= ∫
∫ π α α α α π α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[l k n m l k n m ]
d n m
k m
k d
n m
k
, 2 ,
1
cos cos
2 cos cos 1
sin sin
2 2
2 0 2
0
+
−
−
=
= +
− +
−
= ∫
∫ π α α α α π α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[ , , ] 0
2 1
sin cos
2 cos sin 1
sin sin
3 3
2 0 2
0
= +
−
−
=
=
−
− +
−
= ∫
∫
n m k l n m k l
d n m
k m
k d
n m
k π
π α α α α α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[l k m n l k m n ]
d n m
k m
k d
n m
k
, 2 ,
1
cos cos
2 cos cos 1
cos cos
2 2
2 0 2
0
+ +
−
=
=
− +
+
= ∫
∫ π α α α α π α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[ , , ] 0
2 1
sin cos
2 cos sin 1
cos cos
3 3
2 0 2
0
= +
+
−
=
=
− +
+
= ∫
∫
n m k l n m k l
d n m
k m
k d
n m
k π
π α α α α α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[ , , ] 0
2 1
cos sin
2 sin cos 1
sin cos
3 3
2 0 2
0
=
−
− +
=
=
−
− +
= ∫
∫
n m k l n m k l
d n m
k m
k d
n m
k π
π α α α α α α α α
( ) ( ) ( ) { [( ) ] [( ) ]} ( )
( ) ( )
[l k m n l k m n ]
d n m
k m
k d
n m
k
, 2 ,
1
sin sin
2 sin sin 1
sin cos
1 1
2 0 2
0
−
− +
=
=
−
− +
= ∫
∫ π α α α α π α α α α
D.5 Calcolo di F0X
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) +
+ +
∫ ∑∞
=
π α α α α
2
0 1
0 sin cos cos
2 a k b k m d
a
k
F k F
k F
x x
x
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) =
+ +
−∫ ∑∞
=
π α α α α
2
0 1
0 sin cos sin
2 a k b k m d
a
k
F k F
k F
y y
y
( ) ( )
[ ]
∫ + +
= 2π ε α ε α α
0 F0X AXX cos n AXY sin n d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑∞ ∫ ∫
=
+
+
1
2 0 2
0 sin cos cos cos
k
F h F
k k m d b k m d
a x π α α α x π α α α
( )F ( ) ( ) k( )F ( ) ( ) X
k k m d b k m d F
a y y 2 0
0 2
0πsin α sin α α− πcos α sin α α=2π
− ∫ ∫
da cui:
( ) ( )
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] X
F k F
k k
F k F
k l k m b l k m a l k m b l k m F
a x x y 1 y 3 0
1
2
3 , + , − , − , =2π
∑∞
= .
Sfruttando le proprietà delle quantità li(m,n), si ottiene:
( ) ( )
( x mFy )
F m
X b a
F = −
2 1
0
D.6 Calcolo di AXX
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )
∫ ∑
+
+ ∞ +
=
π α α α α
2
0 1
0 sin cos cos
cos a2 a k b k m
n
k
F k F
k F
x x
x
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) =
+ +
− ∑∞
=
α α α
α a a k b k d
m
k
F k F
k F
y y
y
1
0 sin cos
sin 2
( ) ( )
{ ε α ε α } ( )α α
π
d n n
A n
A
F X XX cos XYsin cos
2
0
∫ 0 + +
= da cui:
( ) ∫π ( ) ( )α α α− ( )2∫π ( ) ( )α α α +
0 0 2
0
0 sin cos
cos 2
2 cos a m n d
d n
aFx m Fy
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) +
+∑∞= ∫π α α α α 2∫π α α α α
1 0 2
0
cos cos
cos cos
cos
sin k m n d b k m n d
a x kFx
k F k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
−
− ∫π α α α α 2∫π α α α α
0 2
0
cos sin
cos cos
sin
sin k m n d b k m n d
akFy kFy
( ) ∫ ( ) ( )
∫ +
=ε π α α ε 2π α α α
0 2
0
2 cos sin
cos n d A n n d
AXX XY
o:
( ) ( )−a( )l (m n)+ n
m
a Fx l Fy 2 ,
2 , 3
0 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑∞
= − + + +
− + + + +
1
2 2
3 3
2
, ,
2
, ,
k
F k F
k
n m k l n m k b l
n m k l n m k
a x l x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
−
−
− + +
−
− −
2
, ,
2
,
, 2 3 3
2 l k m n l k m n
n b m k l n m k
akFy l kFy
( )n n A l ( )n n l
AXX 2 , ε XY 3 ,
ε +
= .
( ) ( ) ∑∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
=
+
−
− −
− + + +
1
2 2
2 2
2 0
2
, ,
2
, , ,
2 k
F k F
k
F l k m n l k m n
n a m k l n m k b l
n m
a x l x y
( )n n l AXX 2 , ε
=
Sono possibili cinque casi diversi:
• i= 0 :
( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n
n a m k
b l XX
k
F k F
k
x y ,
2 , 2
,
2 1
2
2 ε
∑∞
=
=
− −
−
( )F π m( )F π ε XX2π
m a A
b x − y =
( ) ( )
( x mFy )
F m
XX b a
A = −
ε 2
1
• i = j :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n
n a m k b l
n m a l
XX k
F k F
k F
x y x
2 , , 2
, ,
2 1 2
2 2 2
0 ∑∞ ε
=
=
− − + −
( )F π b( )Fm π a( )Fm π εAXXπ
a x x y
=
−
+ 2 2
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
( x x Fmy )
F m F
XX a b a
A 0 2 2
2
1 + −
= ε
• i = − j :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n
n a m k b l
n m a l
XX k
F k F
k F
x y x
2 , , 2
, ,
2 1 2
2 2
2
0 ∑∞ ε
=
=
− − + −
( )F π b( )Fm π a( )Fm π εAXXπ
a x x y
=
−
+ 2 2
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
( x x Fmy )
F m F
XX a b a
A 0 2 2
2
1 + −
= ε
• i< j :
( ) ( ) ( )l (k m n) A l ( )n n
n a m k
b l XX
k
F k F
k
x y ,
2 , 2
,
2 1
2
2 ε
∑∞
=
=
− −
−
( )π ( ) π ( )π ( )π ε π
XX F
n m F
n m F
n m F
n
m a b a A
b +x − +y + −x − −y = 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( x y x mFyn)
F n m F
n m F
n m
XX b a b a
A = + − + + − − − 2ε
1
• i> j :
( ) ( ) ( ) ( )l (k m n) (l k m n) A l ( )n n
n a m k l n m k
b l XX
k
F k F
k
x y ,
2
, ,
2
, ,
2 1
2 2
2
2 ε
∑∞
=
=
+
−
− −
− + +
( )π ( ) π ( )π ( ) π ε π
XX F
m n F
m n F
n m F
n
m a b a A
b +x − +y + −x + −y = 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( x y x nFym)
F m n F
n m F
n m
XX b a b a
A = + − + + − + − ε
2 1
B.7 Calcolo di AXY
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )
+
+∑∞ +
=
α α
α
α a a k b k m
n
k
F k F
k F
x x
x
cos cos
2 sin sin
1 0
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) =
+ +
− ∑∞
=
α α α
α a a k b k d
m
k
F k F
k F
y y
y
1
0 sin cos
sin 2
( ) ( )
{ ε α ε α } ( )α α
π
d n n
A n
A
F X XX cos XY sin sin
2
0
∫ 0 + +
= da cui:
( ) ∫π ( ) ( )α α α − ( ) 2∫π ( ) ( )α α α +
0 0 2
0
0 sin sin
sin 2
2 cos a m n d
d n
a Fx m Fy
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) +
+∑∞= ∫π α α α α 2∫π α α α α
1 0 2
0
sin cos
cos sin
cos
sin k m n d b k m n d
a x kFx
k F k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
−
− ∫π α α α α 2∫π α α α α
0 2
0
sin sin
cos sin
sin
sin k m n d b k m n d
akFy kFy
( ) ( ) ∫ ( )
∫ +
=ε π α α α ε 2π α α
0 2 2
0
sin sin
cos n n d A n d
AXX XY
o: