1 sin x dx = [ cos x] ⇡⇡ = 0 ma sin x 6= 0 per ogni x 2 [ ⇡, ⇡].

RISOLUZIONE

1. A `e falsa, per esempio la funzione f (x) = sin x `e continua in [ ⇡, ⇡] con R 1

1 sin x dx = [ cos x] ^⇡ _⇡ = 0 ma sin x 6= 0 per ogni x 2 [ ⇡, ⇡].

B `e vera, infatti essendo f (x) continua in [a, b], dal Teorema della media integrale esiste x ₀ 2 [a, b] tale che f (x 0 ) = _{b a} ¹ R _b

a f (x) dx. Poich´e R _b

a f (x) dx = 0 ne segue che f (x 0 ) = 0.

C `e vera. Dalla formula fondamentale del calcolo integrale se G(x) `e una primitiva di f (x) allora G(b) G(a) = R b

a f (x) dx = 0 e dunque G(b) = G(a).

2. A `e vera. Infatti essendo f (x) decrescente, risulta

x 2[0,+1) inf f (x) = lim

x !+1 f (x) = 0

e quindi f (x) 0 per ogni x 2 [0, +1). Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha inoltre che F ⁰ (x) = f (x) per ogni x 2 (0, +1). Dunque, dai criteri di monotonia, F (x) risulta crescente.

B `e vera, infatti essendo F <sup>0</sup> (x) = f (x) per ogni x 2 (0, +1) e per ipotesi f(x) decrescente, dai criteri di convessit` a si ottiene che F (x) `e concava in (0, + 1).

C `e falsa: la funzione f (x) = _1+x ¹

`e continua e decrescente in [0, + 1) con lim _x

!+1 f (x) = 0 ma F (x) = R x

0 f (t) dt = arctan x `e tale che lim

x !+1 F (x) = ^⇡ ₂ .

3. A `e falsa. Si pensi ad esempio alla funzione f (x) = cos x, continua e limitata in R ma tale che F (x) = R x

0 cos t dt = sin x non ammette limite per x ! +1.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = 1 `e continua e limitata in R ma F (x) = R _x

0 dt = x `e tale che lim

x!+1

F (x)

x = 1 6= 0.

C `e vera. Infatti, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione F (x) `e derivabile in (0, + 1) con F ⁰ (x) = f (x). Dal Teorema di de L’Hˆ opital, essendo f (x) limitata, risulta allora

x!+1 lim F (x)

x ² = lim

x!+1

f (x) 2x = 0 4. Calcoliamo R ₁

x cos(log x) dx. Dato che D(log x) = ¹ _x , riconosciamo che l’integrale `e della forma R cos(f (x))f ⁰ (x) dx = sin(f (x)) + c e dunque

Z cos(log x)

x dx = sin(log x) + c 5. Per determinare R _e

e

+1 dx osservato che D(e ^x ) = e ^x e che e ^2x = (e ^x ) ² , riconosciamo che l’integrale `e della forma R _f

(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c con f (x) = e ^x e quindi Z e ^x

e ^2x + 1 dx = arctan(e ^x ) + c

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6. Per determinare R ₁

p 4 x

dx, osserviamo che p

4 x ² = 2 q

1 ^x ₂ ² , e dunque che l’integrale `e della forma R p _f

(x)

1 f (x)

dx = arcsin(f (x)) + c, da cui

Z 1

p 4 x ² dx =

Z 1

q 2

1 ^x ₂ ²

dx = arcsin( ^x ₂ ) + c

7. Per calcolare R p x e ^{p x}

dx osserviamo che, essendo D(x

) = ³ ₂ x

, a meno del coefficiente ³ ₂ l’integrale `e della forma R

e ^{f (x)} f ⁰ (x) dx = e ^{f (x)} + c e dunque Z p

xe ^{p x}

dx = ² ₃ Z

3 2 x

e ^x

32

dx = ² ₃ e ^x

32

+ c = ² ₃ e ^{p x}

+ c

8. Per determinare R p cosh x sinh x

cosh

x+1 dx, osserviamo che D(cosh ² x) = 2 cosh x sinh x e dunque, a meno del coefficiente 2, l’integrale `e della forma R p _f

(x)

f (x)

+1 dx = settsinh (f (x)) + c = log(x + p x ² + 1) + c con f (x) = cosh ² x. Ne segue che

Z cosh x sinh x

p cosh ⁴ x + 1 dx = ¹ ₂

Z 2 cosh x sinh x

p cosh ⁴ x + 1 dx = ¹ ₂ log ⇣

cosh ² x + p

cosh ⁴ +1 ⌘ + c

9. Possiamo riscrivere l’integrale R

log(cos x) tan x dx come Z

log(cos x) tan x dx = Z

log(cos x) sin x cos x dx =

Z

log(cos x) sin x cos x dx.

Poich´e D(cos x) = sin x, riconosciamo che l’integrale `e del tipo R

f ⁰ (x)f (x) ^↵ dx = _↵+1 ¹ f (x) ^↵+1 + c dove ↵ = 1 e quindi

Z

log(cos x) tan x dx = Z

log(cos x) sin x

cos x dx = ¹ ₂ log ² (cos x) + c 10. Riconosciamo immediatamente che nell’integrale R _x+2

x

+4x+4 dx il numeratore, a meno del coeffi- ciente 2, `e la derivata del denominatore e pertanto

Z x + 2

x ² + 4x + 4 dx = ¹ ₂

Z 2x + 4

x ² + 4x + 4 dx = ¹ ₂ log(x ² + 4x + 4) + c 11. Per calcolare R _x+2

x

+2x+1 dx osserviamo che D(x ² + 2x + 1) = 2x + 2 e che x ² + 2x + 1 = (x + 1) ² . Quindi

Z x + 2

x ² + 2x + 1 dx =

Z x + 1

x ² + 2x + 1 dx +

Z 1

x ² + 2x + 1 dx

= ¹ ₂

Z 2x + 2

x ² + 2x + 1 dx +

Z 1

(x + 1) ² dx

= log(x ² + 2x + 1) 1

x + 1 + c

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12. Osservato che 4x ² +3 = (2x) ² +3 = 3 ✓⇣

p 2x 3

⌘ 2

+ 1

◆

, l’integrale R ₁

4x

+3 dx a meno del coefficiente

`e della forma R _f

(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c e dunque

Z 1

4x ² + 3 dx = ¹ ₃

Z 1

⇣ p 2x 3

⌘ 2

+ 1

dx = ¹ ₃ ^p ₂ ³

Z _p ²

⇣ 3 p 2x

3

⌘ 2

+ 1

dx = ¹

2 p

3 arctan p ^2x 3 + c

13. L’integrale R

sin x(cos ³ x 2) dx si pu` o riscrivere come Z

sin x(cos ³ x 2) dx = Z

( sin x) cos ³ x dx 2 Z

sin x dx e dato che D(cos x) = sin x otteniamo

Z

( sin x) cos ³ x dx 2 Z

sin x dx = ¹ ₄ cos ⁴ x + 2 cos x

14. Possiamo determinare R

sin ³ x dx riscrivendolo come Z

sin ³ x dx = Z

sin x(sin ² x) dx = Z

sin x(sin ² x 1 + 1) dx = Z

sin x(1 cos ² x) dx

= Z

sin x dx Z

sin x cos ² x dx = cos x + ¹ ₃ cos ³ x + c

15. L’integrale R

tan ³ x dx si riscrive come Z

tan ³ x dx = Z

tan x tan ² x dx = Z

tan x(1 + tan ² x) dx Z

tan x dx

= Z

tan x(1 + tan ² x) dx +

Z sin x cos x dx

Osservato che D(tan x) = 1 + tan ² x e che D(cos x) = sin x, otteniamo Z

tan x(1 + tan ² x) dx +

Z sin x

cos x dx = ¹ ₂ tan ² x + log(cos x) + c 16. Per calcolare R

cos ² x dx osserviamo che dalle formule di duplicazione del coseno risulta cos(2x) = cos ² x sin ² x = 2 cos ² x 1 e dunque cos ² x = ¹ ₂ (1 + cos(2x)). Ne segue che

Z

cos ² x dx = ¹ ₂ Z

1 + cos(2x) dx = ¹ ₂ Z

dx + ¹ ₄ Z

2 cos(2x) dx = ¹ ₂ x + ¹ ₄ sin(2x) + c

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