per ogni t 2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C 1 in [0, 2⇡] con k' 0 (t) k 2 = (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 = 36 sin 2 t

Risoluzione

1. Osserviamo che le funzioni x(t) = 3 cos t cos(3t) e y(t) = 3 sin t sin(3t) sono di classe C ¹ in [0, 2⇡] con x ⁰ (t) = 3 sin t + 3 sin(3t) e y ⁰ (t) = 3 cos t 3 cos(3t)

per ogni t 2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C ¹ in [0, 2⇡] con k' ⁰ (t) k ² = (x ⁰ (t)) ² + (y ⁰ (t)) ² = 36 sin ² t

Quindi k' ⁰ (t) k 6= 0 per ogni t 6= 0; ⇡; 2⇡. La curva `e quindi di classe C <sup>1</sup> in [0, 2⇡] ma regolare a tratti, dato che il vettore tangente `e nullo in un numero finito di punti.

La curva risulta chiusa dato che '(0) = (2, 0) = '(2⇡). Abbiamo poi che '( ^⇡ ₂ ) = (0, 4) e ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 6, 0), quindi che la retta tangente in '( ^⇡ ₂ ) `e la retta passante per (0, 4) individuata dal vettore (1, 0) (parallelo a ( 6, 0)) e avr` a equazione y = 4. Il sostegno della curva `e rappresentato in figura

2. Le funzioni x(t) = t ² | sin t| e y(t) = cos t sin t sono funzioni di classe C ¹ in [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ], quindi '(t) = (x(t), y(t))

`e di classe C ¹ in [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ].

Abbiamo poi che per t 2 [0, ^⇡ 2 ] risulta

' ⁰ (t) = (x ⁰ (t), y ⁰ (t)) = (2t sin t + t ² cos t, cos ² t sin ² t) mentre per t 2 [ ^⇡ 2 , 0]

' ⁰ (t) = (x ⁰ (t), y ⁰ (t)) = ( (2t sin t + t ² cos t), cos ² t sin ² t)

Risulta allora x ⁰ (t) = 0 solo per t = 0 e che y ⁰ (0) = 1 6= 0. Ne segue che ' ⁰ (t) 6= 0 per ogni t 2 [ ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ] e

quindi che la curva `e regolare. La curva risulta chiusa, in quanto '( ± ^⇡ 2 ) = ( ^⇡ ₄

, 0). Nel punto '(0) = (0, 0)

abbiamo ' ⁰ (0) = (0, 1) e quindi la retta tangente nel punto '(0) ha equazione x = 0. Il sostegno della

curva `e rappresentato in figura

La curva `e semplice, infatti abbiamo che se t 1 , t 2 2 ( <sup>⇡</sup> 2 , <sup>⇡</sup> <sub>2</sub> ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora x(t 1 ) = x(t 2 ) e dunque, osservato che x(t) `e funzione pari, strettamente crescente in [0, ^⇡ ₂ ], dovremo avere che t 2 = t 1 oppure che t 2 = t 1 6= 0. Se t ² = t 1 6= 0, allora, poich´e y(t) `e funzione dispari e t ¹ , t 2 2 ( ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ), avremo che y(t 2 ) = y(t 1 ) 6= y(t ¹ ).

Ne concludiamo che se t 1 , t 2 2 ( ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora t 1 = t 2 e quindi che la curva `e semplice.

3. La curva di equazione cartesiana y = x ² (1 x ² ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrica '(t) =

(t, t ² (1 t ² ), t 2 [ 1, 1], e risulta regolare in quanto la funzione f(x) = x ² (1 x ² ) `e di classe C ¹ e

' ⁰ (t) = (1, 2t(1 t ² ) 2t ³ ) 6= 0 per ogni t 2 [ 1, 1] (ricordiamo che una curva cartesiana y = f(x) risulta

regolare se e solo se f (x) `e di classe C ¹ ). Abbiamo che (0, 0) = '(0) e che ' ⁰ (0) = (1, 0), quindi la retta

tangente in O = (0, 0) `e la retta y = 0. Dato che ( ^p ₂ ² , ¹ ₄ ) = '( ^p ₂ ² ) e ' ⁰ ( ^p ₂ ² ) = (1, 0), la retta tangente in

P = ( ^p ₂ ² , ¹ ₄ ) `e y = ¹ ₄ . Osserviamo che i due punti corrispondono a punti di massimo e minimo relativo

per la funzione f (x) = x ² (1 x ² ), le rette tangenti alla curva coincidono con le rette tangenti al grafico

di f (x) e risultano quindi orizzontali (f ⁰ (0) = f ⁰ ( ^p ₂ ² ) = 0).

4. La curva di equazione cartesiana y = arctan((x + 1) ^↵ ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrizzata '(t) = (t, arctan((t + 1) ^↵ ), t 2 [ 1, 1], che risulta regolare se e solo se la funzione f(x) = arctan((x + 1) ^↵ )

`e di classe C <sup>1</sup> . Abbiamo che f (x) `e di classe C ¹ in [ 1, 1] se e solo se ↵ 1 dato che per x 2 ( 1, 1) si ha f ⁰ (x) = 1

1 + (x + 1) ^2↵ · ↵(1 + x) ^{↵ 1} e lim

x ! 1

f ⁰ (x) risulta finito se ↵ 1 0, infinito se ↵ 1 < 0. Osserviamo che per 0 < ↵ < 1 la curva non risulta regolare a tratti, non essendo di classe C ¹ a tratti in [ 1, 1].

Abbiamo poi ' ⁰ (t) = (1, _1+(t+1) ¹

· ↵(1 + t) ^{↵ 1} ) e quindi, dato che (0, ^⇡ ₄ ) = '(0), il vettore tangente in (0, ^⇡ ₄ ) `e ' <sup>0</sup> (0) = (1, <sup>↵</sup> <sub>2</sub> ). La retta tangente avr`a quindi equazioni parametriche

( x = t y = ^⇡ ₄ + ^↵ ₂ t e dunque equazione cartesiana 4y ↵x ⇡ = 0.

5. La curva di equazione polare ⇢(✓) = 1+cos ✓, ✓ 2 [0, 2⇡] (cardioide), corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = ((1 + cos ✓) cos ✓, (1 + cos ✓) sin ✓), ✓ 2 [0, 2⇡]. La curva risulta di classe C ¹ in [0, 2⇡], in quanto `e tale ⇢(✓) = 1 + cos ✓. Abbiamo poi che per ✓ 2 [0, 2⇡] ^(a)

k' ⁰ (✓) k = 0 , ⇢(✓) ² + ⇢ ⁰ (✓) ² = (1 + cos ✓) ² + sin ² ✓ = 2 + 2 cos ✓ = 0 , ✓ = ⇡

Possiamo allora concludere che la curva risulta regolare a tratti, '(⇡) `e l’unico punto singolare della curva.

La curva `e chiusa in quanto '(0) = '(2⇡) = (2, 0) e risulta semplice in quanto se ✓ 1 , ✓ 2 2 [0, 2⇡) e ✓ ¹ 6= ✓ ² allora cos ✓ 1 6= cos ✓ ² oppure sin ✓ 1 6= sin ✓ ² e quindi '(✓ 1 ) 6= '(✓ ² ). Abbiamo poi

' ⁰ (✓) = ( sin ✓ 2 sin ✓ cos ✓, cos ² ✓ sin ² ✓ + cos ✓) da cui ' ⁰ ( ^⇡ ₃ ) = ( p

3, 0). La retta tangente nel punto '( ^⇡ ₃ ) = ( ³ ₄ , ^{3 p} ₄ ³ ) `e quindi y = ^{3 p} ₄ ³ .

(a)

ricordiamo che in generale se '(✓) = (⇢(✓) cos ✓, ⇢(✓) sin ✓) allora '

(✓) = (⇢

(✓) cos ✓ ⇢(✓) sin ✓, ⇢

(✓) sin ✓+⇢(✓) cos ✓) e quindi

k'

(✓) k

= ⇢

(✓) cos ✓ ⇢(✓) sin ✓

+ ⇢

(✓) sin ✓ + ⇢(✓) cos ✓

= ⇢

(✓)

cos

✓ 2⇢(✓)⇢

(✓) cos ✓ sin ✓ + ⇢(✓)

sin

✓ + ⇢

(✓)

sin

✓ + 2⇢(✓)⇢

(✓) cos ✓ sin ✓ + ⇢(✓)

cos

✓

= ⇢(✓)

+ ⇢

(✓)

6. La curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, ⇡] (rodonea), corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = (sin(2✓) cos ✓, sin(2✓) sin ✓), ✓ 2 [0, ⇡] e risulta di classe C ¹ in [0, ⇡], dato che `e tale ⇢(✓) = sin(2✓).

Abbiamo poi che per ogni ✓ 2 [0, ⇡] risulta k' ⁰ (✓) k 6= 0 dato che

⇢(✓) ² + ⇢ ⁰ (✓) ² = sin ² (2✓) + 4 cos ² (2✓) = 1 + 3 cos ² (2✓) 6= 0 Possiamo allora concludere che la curva risulta regolare in [0, ⇡].

La curva `e chiusa in quanto '(0) = '(⇡) = (0, 0) ma non risulta semplice dato che '( ^⇡ ₂ ) = '(0) = '(⇡) = (0, 0). Infine risulta

' ⁰ (✓) = (2 cos(2✓) cos ✓ sin(2✓) sin ✓, 2 cos(2✓) sin ✓ + sin(2✓) cos ✓) da cui ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ). La retta tangente nel punto '( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) `e quindi y = p

2 x.

NOTA: per ✓ 2 [ ^⇡ 2 , ⇡], ⇢(✓) = sin(2✓) < 0, quindi per tali valori abbiamo che d('(✓), O) = sin(2✓).

Per esempio, per ✓ = ³ ₄ ⇡ risulta sin(2✓) = sin( ³ ₂ ⇡) = 1 e il corrispondente punto '( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) ha distanza 1 dall’origine del piano. Osserviamo inoltre che tale punto appartiene al quarto quadrante.

NOTA: '( ^⇡ ₂ ) non `e punto singolare dato che ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = (0, 2) 6= (0, 0).

7. La curva '(t) = (1 t, t t ² 1, t) `e curva regolare in [0, 2] essendo di classe C ¹ con ' ⁰ (t) = ( 1, 1 2t, 1) 6= 0 8t 2 [0, 2].

La curva `e semplice dato che se t 1 6= t ² allora 1 t 1 6= 1 t 2 e dunque '(t 1 ) = (1 t 1 , t 1 t ² ₁ 1, t 1 ) 6=

(1 t 2 , t 2 t ² ₂ 1, t 2 ) = '(t 2 ). La curva non risulta chiusa essendo '(0) = (1, 1, 0) 6= ( 1, 3, 2) = '(2).

NOTA: la curva `e piana, il suo sostegno giace difatti nel piano x + z 1 = 0.

8. La curva '(t) = (2t, t ² , e ^t ) `e curva regolare in [0, 2] essendo di classe C ¹ con ' ⁰ (t) = (2, 2t, e ^t ) 6= 0 8t 2 [0, 2].

La curva `e semplice dato che se t 1 6= t <sup>2</sup> allora 2t 1 6= 2t <sup>2</sup> e quindi '(t 1 ) 6= '(t <sup>2</sup> ). La curva non `e chiusa essendo '(0) = (0, 0, 1) 6= (4, 4, e ² ) = '(2). Nel punto '( ¹ ₂ ) = (1, ¹ ₄ , p

e) abbiamo ' ⁰ ( ¹ ₂ ) = (2, 1, p e), quindi la retta tangente per '( ¹ ₂ ) ha equazioni parametriche

8 >

<

> :

x = 1 + 2(t ¹ ₂ ) y = ¹ ₄ + (t ¹ ₂ ) z = p e + p e(t ¹ ₂ ) 9. La curva '(t) = (e ^t , p

2t, e ^t ) risulta di classe C ¹ in [ 1, 1] con ' ⁰ (t) = (e ^t , p

2, e ^t ) e

k' ⁰ (t) k = p

e ^2t + 2 + e ^2t =

r e ^4t + 2e ^2t + 1

e ^2t = e ^2t + 1

e ^t = e ^t + e ^t > 0, 8t 2 [ 1, 1].

Poich´e ' ⁰ (t) 6= 0, 8t 2 [ 1, 1], la curva risulta regolare. La curva non `e chiusa essendo '( 1) = ( ¹ _e , p

2, e) 6= (e, p

2, ¹ _e ) = '(1). La curva `e semplice dato che se t 1 6= t ² allora p

2t 1 6= p

2t 2 e quindi '(t 1 ) 6= '(t ² ).

Infine nel punto '(0) = (1, 0, 1) abbiamo ' ⁰ (0) = (1, p

2, 1) e dunque la retta tangente per '(0) ha

equazioni parametriche 8

> <

> :

x = 1 + t y = p

2t

z = 1 t

10. La curva '(t) = (2 cos t, sin t, 2 sin t 2 cos t 1) con t 2 [0, 2⇡] `e semplice poich`e se t ¹ 6= t ² , t 1 , t 2 2 [0, 2⇡), allora cos t 1 6= cos t ² oppure sin t 1 6= sin t ² e dunque '(t 1 ) 6= '(t ² ). La curva `e chiusa dato che '(0) = (1, 0 3) = '(2⇡). La curva `e di classe C ¹ con

' ⁰ (t) = ( 2 sin t, cos t, 2 cos t + 2 sin t).

La curva risulta regolare dato che `e di classe C ¹ e

k' ⁰ (t) k ² = 4 sin ² t + cos ² t + 4 cos ² t + 8 cos t sin t + 4 sin ² t = 8 sin ² t + 5 cos ² t + 4 cos t sin t

= 5 + 3 sin ² t + 2 sin(2t) 3, 8t 2 [0, 2⇡]

da cui ' ⁰ (t) 6= 0 per ogni t 2 [0, 2⇡]. Nel punto ( 2, 0, 1) = '(⇡) abbiamo ' ⁰ (⇡) = (0, 1, 2) e quindi la retta tangente per ( 2, 0, 1) ha equazioni parametriche

8 >

<

> : x = 2 y = (t ⇡) z = 1 2(t ⇡)

NOTA: la curva `e piana, il suo sostegno giace infatti nel piano x 2y + z + 1 = 0.