Risoluzione
1. Osserviamo che le funzioni x(t) = 3 cos t cos(3t) e y(t) = 3 sin t sin(3t) sono di classe C 1 in [0, 2⇡] con x 0 (t) = 3 sin t + 3 sin(3t) e y 0 (t) = 3 cos t 3 cos(3t)
per ogni t 2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C 1 in [0, 2⇡] con k' 0 (t) k 2 = (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 = 36 sin 2 t
Quindi k' 0 (t) k 6= 0 per ogni t 6= 0; ⇡; 2⇡. La curva `e quindi di classe C 1 in [0, 2⇡] ma regolare a tratti, dato che il vettore tangente `e nullo in un numero finito di punti.
La curva risulta chiusa dato che '(0) = (2, 0) = '(2⇡). Abbiamo poi che '( ⇡ 2 ) = (0, 4) e ' 0 ( ⇡ 2 ) = ( 6, 0), quindi che la retta tangente in '( ⇡ 2 ) `e la retta passante per (0, 4) individuata dal vettore (1, 0) (parallelo a ( 6, 0)) e avr` a equazione y = 4. Il sostegno della curva `e rappresentato in figura
2. Le funzioni x(t) = t 2 | sin t| e y(t) = cos t sin t sono funzioni di classe C 1 in [ ⇡ 2 , ⇡ 2 ], quindi '(t) = (x(t), y(t))
`e di classe C 1 in [ ⇡ 2 , ⇡ 2 ].
Abbiamo poi che per t 2 [0, ⇡ 2 ] risulta
' 0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t)) = (2t sin t + t 2 cos t, cos 2 t sin 2 t) mentre per t 2 [ ⇡ 2 , 0]
' 0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t)) = ( (2t sin t + t 2 cos t), cos 2 t sin 2 t)
Risulta allora x 0 (t) = 0 solo per t = 0 e che y 0 (0) = 1 6= 0. Ne segue che ' 0 (t) 6= 0 per ogni t 2 [ ⇡ 2 , ⇡ 2 ] e
quindi che la curva `e regolare. La curva risulta chiusa, in quanto '( ± ⇡ 2 ) = ( ⇡ 4
2, 0). Nel punto '(0) = (0, 0)
abbiamo ' 0 (0) = (0, 1) e quindi la retta tangente nel punto '(0) ha equazione x = 0. Il sostegno della
curva `e rappresentato in figura
La curva `e semplice, infatti abbiamo che se t 1 , t 2 2 ( ⇡ 2 , ⇡ 2 ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora x(t 1 ) = x(t 2 ) e dunque, osservato che x(t) `e funzione pari, strettamente crescente in [0, ⇡ 2 ], dovremo avere che t 2 = t 1 oppure che t 2 = t 1 6= 0. Se t 2 = t 1 6= 0, allora, poich´e y(t) `e funzione dispari e t 1 , t 2 2 ( ⇡ 2 , ⇡ 2 ), avremo che y(t 2 ) = y(t 1 ) 6= y(t 1 ).
Ne concludiamo che se t 1 , t 2 2 ( ⇡ 2 , ⇡ 2 ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora t 1 = t 2 e quindi che la curva `e semplice.
3. La curva di equazione cartesiana y = x 2 (1 x 2 ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrica '(t) =
(t, t 2 (1 t 2 ), t 2 [ 1, 1], e risulta regolare in quanto la funzione f(x) = x 2 (1 x 2 ) `e di classe C 1 e
' 0 (t) = (1, 2t(1 t 2 ) 2t 3 ) 6= 0 per ogni t 2 [ 1, 1] (ricordiamo che una curva cartesiana y = f(x) risulta
regolare se e solo se f (x) `e di classe C 1 ). Abbiamo che (0, 0) = '(0) e che ' 0 (0) = (1, 0), quindi la retta
tangente in O = (0, 0) `e la retta y = 0. Dato che ( p 2 2 , 1 4 ) = '( p 2 2 ) e ' 0 ( p 2 2 ) = (1, 0), la retta tangente in
P = ( p 2 2 , 1 4 ) `e y = 1 4 . Osserviamo che i due punti corrispondono a punti di massimo e minimo relativo
per la funzione f (x) = x 2 (1 x 2 ), le rette tangenti alla curva coincidono con le rette tangenti al grafico
di f (x) e risultano quindi orizzontali (f 0 (0) = f 0 ( p 2 2 ) = 0).
4. La curva di equazione cartesiana y = arctan((x + 1) ↵ ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrizzata '(t) = (t, arctan((t + 1) ↵ ), t 2 [ 1, 1], che risulta regolare se e solo se la funzione f(x) = arctan((x + 1) ↵ )
`e di classe C 1 . Abbiamo che f (x) `e di classe C 1 in [ 1, 1] se e solo se ↵ 1 dato che per x 2 ( 1, 1) si ha f 0 (x) = 1
1 + (x + 1) 2↵ · ↵(1 + x) ↵ 1 e lim
x ! 1
+f 0 (x) risulta finito se ↵ 1 0, infinito se ↵ 1 < 0. Osserviamo che per 0 < ↵ < 1 la curva non risulta regolare a tratti, non essendo di classe C 1 a tratti in [ 1, 1].
Abbiamo poi ' 0 (t) = (1, 1+(t+1) 1
2↵· ↵(1 + t) ↵ 1 ) e quindi, dato che (0, ⇡ 4 ) = '(0), il vettore tangente in (0, ⇡ 4 ) `e ' 0 (0) = (1, ↵ 2 ). La retta tangente avr`a quindi equazioni parametriche
( x = t y = ⇡ 4 + ↵ 2 t e dunque equazione cartesiana 4y ↵x ⇡ = 0.
5. La curva di equazione polare ⇢(✓) = 1+cos ✓, ✓ 2 [0, 2⇡] (cardioide), corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = ((1 + cos ✓) cos ✓, (1 + cos ✓) sin ✓), ✓ 2 [0, 2⇡]. La curva risulta di classe C 1 in [0, 2⇡], in quanto `e tale ⇢(✓) = 1 + cos ✓. Abbiamo poi che per ✓ 2 [0, 2⇡] (a)
k' 0 (✓) k = 0 , ⇢(✓) 2 + ⇢ 0 (✓) 2 = (1 + cos ✓) 2 + sin 2 ✓ = 2 + 2 cos ✓ = 0 , ✓ = ⇡
Possiamo allora concludere che la curva risulta regolare a tratti, '(⇡) `e l’unico punto singolare della curva.
La curva `e chiusa in quanto '(0) = '(2⇡) = (2, 0) e risulta semplice in quanto se ✓ 1 , ✓ 2 2 [0, 2⇡) e ✓ 1 6= ✓ 2 allora cos ✓ 1 6= cos ✓ 2 oppure sin ✓ 1 6= sin ✓ 2 e quindi '(✓ 1 ) 6= '(✓ 2 ). Abbiamo poi
' 0 (✓) = ( sin ✓ 2 sin ✓ cos ✓, cos 2 ✓ sin 2 ✓ + cos ✓) da cui ' 0 ( ⇡ 3 ) = ( p
3, 0). La retta tangente nel punto '( ⇡ 3 ) = ( 3 4 , 3 p 4 3 ) `e quindi y = 3 p 4 3 .
(a)