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per ogni t 2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C 1 in [0, 2⇡] con k' 0 (t) k 2 = (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 = 36 sin 2 t

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Risoluzione

1. Osserviamo che le funzioni x(t) = 3 cos t cos(3t) e y(t) = 3 sin t sin(3t) sono di classe C 1 in [0, 2⇡] con x 0 (t) = 3 sin t + 3 sin(3t) e y 0 (t) = 3 cos t 3 cos(3t)

per ogni t 2 [0, ⇡]. Abbiamo allora che '(t) = (x(t), y(t)) `e di classe C 1 in [0, 2⇡] con k' 0 (t) k 2 = (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 = 36 sin 2 t

Quindi k' 0 (t) k 6= 0 per ogni t 6= 0; ⇡; 2⇡. La curva `e quindi di classe C 1 in [0, 2⇡] ma regolare a tratti, dato che il vettore tangente `e nullo in un numero finito di punti.

La curva risulta chiusa dato che '(0) = (2, 0) = '(2⇡). Abbiamo poi che '( 2 ) = (0, 4) e ' 0 ( 2 ) = ( 6, 0), quindi che la retta tangente in '( 2 ) `e la retta passante per (0, 4) individuata dal vettore (1, 0) (parallelo a ( 6, 0)) e avr` a equazione y = 4. Il sostegno della curva `e rappresentato in figura

2. Le funzioni x(t) = t 2 | sin t| e y(t) = cos t sin t sono funzioni di classe C 1 in [ 2 , 2 ], quindi '(t) = (x(t), y(t))

`e di classe C 1 in [ 2 , 2 ].

Abbiamo poi che per t 2 [0, 2 ] risulta

' 0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t)) = (2t sin t + t 2 cos t, cos 2 t sin 2 t) mentre per t 2 [ 2 , 0]

' 0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t)) = ( (2t sin t + t 2 cos t), cos 2 t sin 2 t)

Risulta allora x 0 (t) = 0 solo per t = 0 e che y 0 (0) = 1 6= 0. Ne segue che ' 0 (t) 6= 0 per ogni t 2 [ 2 , 2 ] e

quindi che la curva `e regolare. La curva risulta chiusa, in quanto '( ± 2 ) = ( 4

2

, 0). Nel punto '(0) = (0, 0)

abbiamo ' 0 (0) = (0, 1) e quindi la retta tangente nel punto '(0) ha equazione x = 0. Il sostegno della

curva `e rappresentato in figura

(2)

La curva `e semplice, infatti abbiamo che se t 1 , t 2 2 ( 2 , 2 ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora x(t 1 ) = x(t 2 ) e dunque, osservato che x(t) `e funzione pari, strettamente crescente in [0, 2 ], dovremo avere che t 2 = t 1 oppure che t 2 = t 1 6= 0. Se t 2 = t 1 6= 0, allora, poich´e y(t) `e funzione dispari e t 1 , t 2 2 ( 2 , 2 ), avremo che y(t 2 ) = y(t 1 ) 6= y(t 1 ).

Ne concludiamo che se t 1 , t 2 2 ( 2 , 2 ) e '(t 1 ) = '(t 2 ) allora t 1 = t 2 e quindi che la curva `e semplice.

3. La curva di equazione cartesiana y = x 2 (1 x 2 ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrica '(t) =

(t, t 2 (1 t 2 ), t 2 [ 1, 1], e risulta regolare in quanto la funzione f(x) = x 2 (1 x 2 ) `e di classe C 1 e

' 0 (t) = (1, 2t(1 t 2 ) 2t 3 ) 6= 0 per ogni t 2 [ 1, 1] (ricordiamo che una curva cartesiana y = f(x) risulta

regolare se e solo se f (x) `e di classe C 1 ). Abbiamo che (0, 0) = '(0) e che ' 0 (0) = (1, 0), quindi la retta

tangente in O = (0, 0) `e la retta y = 0. Dato che ( p 2 2 , 1 4 ) = '( p 2 2 ) e ' 0 ( p 2 2 ) = (1, 0), la retta tangente in

P = ( p 2 2 , 1 4 ) `e y = 1 4 . Osserviamo che i due punti corrispondono a punti di massimo e minimo relativo

per la funzione f (x) = x 2 (1 x 2 ), le rette tangenti alla curva coincidono con le rette tangenti al grafico

di f (x) e risultano quindi orizzontali (f 0 (0) = f 0 ( p 2 2 ) = 0).

(3)

4. La curva di equazione cartesiana y = arctan((x + 1) ), x 2 [ 1, 1], corrisponde alla curva parametrizzata '(t) = (t, arctan((t + 1) ), t 2 [ 1, 1], che risulta regolare se e solo se la funzione f(x) = arctan((x + 1) )

`e di classe C 1 . Abbiamo che f (x) `e di classe C 1 in [ 1, 1] se e solo se ↵ 1 dato che per x 2 ( 1, 1) si ha f 0 (x) = 1

1 + (x + 1) 2↵ · ↵(1 + x) ↵ 1 e lim

x ! 1

+

f 0 (x) risulta finito se ↵ 1 0, infinito se ↵ 1 < 0. Osserviamo che per 0 < ↵ < 1 la curva non risulta regolare a tratti, non essendo di classe C 1 a tratti in [ 1, 1].

Abbiamo poi ' 0 (t) = (1, 1+(t+1) 1

2↵

· ↵(1 + t) ↵ 1 ) e quindi, dato che (0, 4 ) = '(0), il vettore tangente in (0, 4 ) `e ' 0 (0) = (1, 2 ). La retta tangente avr`a quindi equazioni parametriche

( x = t y = 4 + 2 t e dunque equazione cartesiana 4y ↵x ⇡ = 0.

5. La curva di equazione polare ⇢(✓) = 1+cos ✓, ✓ 2 [0, 2⇡] (cardioide), corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = ((1 + cos ✓) cos ✓, (1 + cos ✓) sin ✓), ✓ 2 [0, 2⇡]. La curva risulta di classe C 1 in [0, 2⇡], in quanto `e tale ⇢(✓) = 1 + cos ✓. Abbiamo poi che per ✓ 2 [0, 2⇡] (a)

k' 0 (✓) k = 0 , ⇢(✓) 2 + ⇢ 0 (✓) 2 = (1 + cos ✓) 2 + sin 2 ✓ = 2 + 2 cos ✓ = 0 , ✓ = ⇡

Possiamo allora concludere che la curva risulta regolare a tratti, '(⇡) `e l’unico punto singolare della curva.

La curva `e chiusa in quanto '(0) = '(2⇡) = (2, 0) e risulta semplice in quanto se ✓ 1 , ✓ 2 2 [0, 2⇡) e ✓ 1 6= ✓ 2 allora cos ✓ 1 6= cos ✓ 2 oppure sin ✓ 1 6= sin ✓ 2 e quindi '(✓ 1 ) 6= '(✓ 2 ). Abbiamo poi

' 0 (✓) = ( sin ✓ 2 sin ✓ cos ✓, cos 2 ✓ sin 2 ✓ + cos ✓) da cui ' 0 ( 3 ) = ( p

3, 0). La retta tangente nel punto '( 3 ) = ( 3 4 , 3 p 4 3 ) `e quindi y = 3 p 4 3 .

(a)

ricordiamo che in generale se '(✓) = (⇢(✓) cos ✓, ⇢(✓) sin ✓) allora '

0

(✓) = (⇢

0

(✓) cos ✓ ⇢(✓) sin ✓, ⇢

0

(✓) sin ✓+⇢(✓) cos ✓) e quindi

k'

0

(✓) k

2

= ⇢

0

(✓) cos ✓ ⇢(✓) sin ✓

2

+ ⇢

0

(✓) sin ✓ + ⇢(✓) cos ✓

2

= ⇢

0

(✓)

2

cos

2

✓ 2⇢(✓)⇢

0

(✓) cos ✓ sin ✓ + ⇢(✓)

2

sin

2

✓ + ⇢

0

(✓)

2

sin

2

✓ + 2⇢(✓)⇢

0

(✓) cos ✓ sin ✓ + ⇢(✓)

2

cos

2

= ⇢(✓)

2

+ ⇢

0

(✓)

2

(4)

6. La curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, ⇡] (rodonea), corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = (sin(2✓) cos ✓, sin(2✓) sin ✓), ✓ 2 [0, ⇡] e risulta di classe C 1 in [0, ⇡], dato che `e tale ⇢(✓) = sin(2✓).

Abbiamo poi che per ogni ✓ 2 [0, ⇡] risulta k' 0 (✓) k 6= 0 dato che

⇢(✓) 2 + ⇢ 0 (✓) 2 = sin 2 (2✓) + 4 cos 2 (2✓) = 1 + 3 cos 2 (2✓) 6= 0 Possiamo allora concludere che la curva risulta regolare in [0, ⇡].

La curva `e chiusa in quanto '(0) = '(⇡) = (0, 0) ma non risulta semplice dato che '( 2 ) = '(0) = '(⇡) = (0, 0). Infine risulta

' 0 (✓) = (2 cos(2✓) cos ✓ sin(2✓) sin ✓, 2 cos(2✓) sin ✓ + sin(2✓) cos ✓) da cui ' 0 ( 4 ) = ( p 2 2 , p 2 2 ). La retta tangente nel punto '( 4 ) = ( p 2 2 , p 2 2 ) `e quindi y = p

2 x.

NOTA: per ✓ 2 [ 2 , ⇡], ⇢(✓) = sin(2✓) < 0, quindi per tali valori abbiamo che d('(✓), O) = sin(2✓).

Per esempio, per ✓ = 3 4 ⇡ risulta sin(2✓) = sin( 3 2 ⇡) = 1 e il corrispondente punto '( 4 ) = ( p 2 2 , p 2 2 ) ha distanza 1 dall’origine del piano. Osserviamo inoltre che tale punto appartiene al quarto quadrante.

NOTA: '( 2 ) non `e punto singolare dato che ' 0 ( 2 ) = (0, 2) 6= (0, 0).

(5)

7. La curva '(t) = (1 t, t t 2 1, t) `e curva regolare in [0, 2] essendo di classe C 1 con ' 0 (t) = ( 1, 1 2t, 1) 6= 0 8t 2 [0, 2].

La curva `e semplice dato che se t 1 6= t 2 allora 1 t 1 6= 1 t 2 e dunque '(t 1 ) = (1 t 1 , t 1 t 2 1 1, t 1 ) 6=

(1 t 2 , t 2 t 2 2 1, t 2 ) = '(t 2 ). La curva non risulta chiusa essendo '(0) = (1, 1, 0) 6= ( 1, 3, 2) = '(2).

NOTA: la curva `e piana, il suo sostegno giace difatti nel piano x + z 1 = 0.

8. La curva '(t) = (2t, t 2 , e t ) `e curva regolare in [0, 2] essendo di classe C 1 con ' 0 (t) = (2, 2t, e t ) 6= 0 8t 2 [0, 2].

La curva `e semplice dato che se t 1 6= t 2 allora 2t 1 6= 2t 2 e quindi '(t 1 ) 6= '(t 2 ). La curva non `e chiusa essendo '(0) = (0, 0, 1) 6= (4, 4, e 2 ) = '(2). Nel punto '( 1 2 ) = (1, 1 4 , p

e) abbiamo ' 0 ( 1 2 ) = (2, 1, p e), quindi la retta tangente per '( 1 2 ) ha equazioni parametriche

8 >

<

> :

x = 1 + 2(t 1 2 ) y = 1 4 + (t 1 2 ) z = p e + p e(t 1 2 ) 9. La curva '(t) = (e t , p

2t, e t ) risulta di classe C 1 in [ 1, 1] con ' 0 (t) = (e t , p

2, e t ) e

k' 0 (t) k = p

e 2t + 2 + e 2t =

r e 4t + 2e 2t + 1

e 2t = e 2t + 1

e t = e t + e t > 0, 8t 2 [ 1, 1].

Poich´e ' 0 (t) 6= 0, 8t 2 [ 1, 1], la curva risulta regolare. La curva non `e chiusa essendo '( 1) = ( 1 e , p

2, e) 6= (e, p

2, 1 e ) = '(1). La curva `e semplice dato che se t 1 6= t 2 allora p

2t 1 6= p

2t 2 e quindi '(t 1 ) 6= '(t 2 ).

Infine nel punto '(0) = (1, 0, 1) abbiamo ' 0 (0) = (1, p

2, 1) e dunque la retta tangente per '(0) ha

equazioni parametriche 8

> <

> :

x = 1 + t y = p

2t

z = 1 t

10. La curva '(t) = (2 cos t, sin t, 2 sin t 2 cos t 1) con t 2 [0, 2⇡] `e semplice poich`e se t 1 6= t 2 , t 1 , t 2 2 [0, 2⇡), allora cos t 1 6= cos t 2 oppure sin t 1 6= sin t 2 e dunque '(t 1 ) 6= '(t 2 ). La curva `e chiusa dato che '(0) = (1, 0 3) = '(2⇡). La curva `e di classe C 1 con

' 0 (t) = ( 2 sin t, cos t, 2 cos t + 2 sin t).

La curva risulta regolare dato che `e di classe C 1 e

k' 0 (t) k 2 = 4 sin 2 t + cos 2 t + 4 cos 2 t + 8 cos t sin t + 4 sin 2 t = 8 sin 2 t + 5 cos 2 t + 4 cos t sin t

= 5 + 3 sin 2 t + 2 sin(2t) 3, 8t 2 [0, 2⇡]

da cui ' 0 (t) 6= 0 per ogni t 2 [0, 2⇡]. Nel punto ( 2, 0, 1) = '(⇡) abbiamo ' 0 (⇡) = (0, 1, 2) e quindi la retta tangente per ( 2, 0, 1) ha equazioni parametriche

8 >

<

> : x = 2 y = (t ⇡) z = 1 2(t ⇡)

NOTA: la curva `e piana, il suo sostegno giace infatti nel piano x 2y + z + 1 = 0.

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