3.1. Finalità e metodi dell’analisi globale

65

C C a a p p i i t t o o l l o o 3 3

An A na a l l is i si i g g l l ob o ba a li l i d de e l l m m a a nu n uf fa at tt to o

66

3.1. Finalità e metodi dell’analisi globale

I

l metodo degli "Elementi Finiti" (spesso citato anche nei testi italiani con la sigla FEM, acronimo dell'anglosassone Finite Element Method) costituisce una tecnica di discretizzazione e soluzione approssimata per problemi retti da equazioni differenziali, su domini continui, di forma generica e soggetti a condizioni al contorno arbitrarie.

Figura 3.1.1.; Figura 3.1.2: Esempi di modellazione FEM

Il metodo degli Elementi Finiti permette di risolvere il problema della determinazione dello stato di sforzo e deformazione in elementi in condizioni di carico per le quali non è reperibile o ricavabile la soluzione analitica. In questo metodo si discretizza il continuo, che ha infiniti gradi di libertà, con un insieme di elementi di dimensioni finite, tra loro interconnessi in punti predefiniti (nodi).

È quindi possibile ridurre il problema statico in un sistema di equazioni algebriche con un numero finito di incognite (gli spostamenti nodali).

Nel metodo degli elementi finiti si assume una funzione di spostamento all’interno del singolo elemento, definendo cioè le componenti di spostamento del generico punto come una funzione, ipotizzata nota, degli spostamenti dei nodi: il problema, con tale assunzione, passa dal dominio continuo al dominio discreto visto che le nuove incognite sono gli spostamenti nodali. Una volta noti gli spostamenti nodali è immediato il passaggio alle deformazioni e, mediante la matrice di legame sforzi-deformazioni, si passa successivamente al tensore degli sforzi.

Nel metodo agli elementi finiti svolge una funzione fondamentale la scelta della funzione di forma, in particolare è molto importante nella fase di suddivisione in elementi finiti.

L’utilizzo di elementi finiti con funzioni di forma lineari permette di modellare

l’andamento degli spostamenti e quindi di tensioni all’interno dei singoli elementi finiti

attraverso funzioni di lineari che richiedono suddivisioni molto fitte in corrispondenza

67 delle zone del componente in analisi in cui si prevede vi sia un elevato gradiente degli sforzi.

L’introduzione di elementi finiti che prevedano l’utilizzo di funzioni di forma di grado superiore al primo, permette di “adeguare” il grado della funzione di forma alla particolare applicazione (si passa da polinomi interpolanti semplici a polinomi più complessi).

Per capire meglio il metodo agli elementi finiti esaminiamo un singolo elemento, riferendoci ad un sistema cartesiano ortogonale come in figura:

e definiamo il generico spostamento u,v, rispettivamente lungo x e y, come funzioni lineari di x e y stesse:

u=a

+a

x+a

y v=a

+a

x+a

y

in cui a1 ,...,a5 ,a6 , sono dei coefficienti costanti; con scrittura matriciale più compatta otteniamo:

da cui: {f}=[A] {a}

dove :

68 imponendo gli spostamenti per i tre vertici del triangolo si ha in forma matriciale:

il vettore a risulta essere pari a : {a}=[C]

{f

}

mentre il vettore spostamento generico, in funzione degli spostamenti dei nodi risulta:

La matrice [Φ] è detta matrice delle funzioni di forma:

con:

in cui,

lo stesso permutando gli indici si ha N2 e N3.

Supposti quindi noti i generici spostamenti possiamo passare alle deformazioni:

69 e quindi in forma matriciale e compatta si ha:

dove la matrice [B] è una matrice di costanti in quanto abbiamo ipotizzato che gli spostamenti dei punti del triangolo siano lineari nelle coordinate.

Siamo adesso in grado di ricavare lo stato di sforzo note le deformazioni: infatti supponendo di essere in ambito lineare elastico:

Quindi, sfruttando il legame deformazioni-spostamenti nodali, si ottiene:

Per passare dagli sforzi alle forze, quindi giungere ad un'equazione che leghi le forze agli spostamenti nodali, possiamo utilizzare il principio dei lavori virtuali ed eguagliare il lavoro delle forze per gli spostamenti nodali a quello degli sforzi per le relative deformazioni che in forma matriciale, se con {F} indichiamo il vettore delle forze esterne, diventa:

Le matrici sotto il segno di integrale sono matrici costanti: l’integrale triplo si riduce quindi al calcolo del volume Δ s dell’elemento triangolare:

da cui

con

70 dove la matrice [ K ] è una matrice 6 × 6 di costanti ed assume il significato di matrice di rigidezza dell’elemento:

Ricavando per ogni nodo il coefficiente di rigidezza, si può scrivere la matrice globale di rigidezza:

A questo punto siamo in grado di ricavare gli spostamenti in funzione delle forze applicate invertendo l'espressione precedente.

In generale, nei problemi pratici, non sono incogniti tutti gli spostamenti e note tutte le forze, ma è possibile che sia noto qualche spostamento (per esempio per la presenza di un vincolo) e incognita qualche forza. Affinché il problema sia risolubile è necessario

distinguere un vettore di termini incogniti e uno di termini noti.

Nel caso in cui sia noto qualche spostamento e incognita la forza nella stessa direzione, si utilizza ad esempio questo artificio matematico che consente di ottenere un sistema in cui le incognite siano concentrate nel vettore {f } n g mentre il vettore {F} g sia

completamente noto: si considera lo spostamento noto come incognito avendo cura di

mettere il valore numerico al posto della forza incognita corrispondente e si sostituisce la

corrispondente riga della matrice [K] con una formata da tutti zeri tranne un termine

unitario sulla diagonale principale.

71

3.2. Modello globale della chiesa

3.2.1. La costruzione del modello globale

Per condurre l’analisi a livello globale del manufatto si è ricorso all’utilizzo del programma di modellazione agli elementi finiti Abaqus/CAE 6.10-1.

L’input dei dati è stato eseguito sfruttando gli strumenti disponibili nell’ambiente grafico integrato del programma di calcolo. In particolare, la geometria dei modelli è stata definita utilizzando le funzioni che permettono l’importazione di disegni tridimensionali e bidimensionali a partire da un software CAD esterno; una volta importati i vari macroelementi in Abaqus CAE si procede alla loro unione per mezzo di comandi automatizzati di assemblaggio della generazione semi-automatica della mesh.

Necessitando di un modello piuttosto accurato per ottenere risultati attendibili dalle analisi si sceglie di usare una mesh caratterizzata da elementi quadrangolari del secondo ordine S8R (caratterizzati da un guscio spesso doppiamente curvato a 8 nodi).

Il modello globale risulta costituito da 52 elementi shell e 21 elementi beam così caratterizzati:

Tabella 3.2.1.1: Caratteristiche macroelementi utilizzati nella modellazione

Macroelemento Tipologia Quantità Materiale

ABSIDE Shell 1 Muratura in mattoni

pieni e malta di calce

ARCO_1 Shell 1 Muratura in mattoni

pieni e malta di calce

COPERTURA ABSIDE Shell 1 Muratura in mattoni

pieni e malta di calce

COPERTURA CAPPELLE Shell 2 Muratura in mattoni

pieni e malta di calce

DIAF_VOLTINA Shell 2 Muratura in mattoni

pieni e malta di calce

DIAFRAMMA_1 Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

72

DIAFRAMMA_2 Shell 12 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

LATO Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

NAVATA CENTRALE Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

NAVATA LATERALE_1 Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

NAVATA LATERALE_2 Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce PIANO ARCO

TRIONFALE

Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce PIANO FACCIATA

PRICIPALE

Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce PIANO FACCIATA

PRICIPALE

Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce PIANO FACCIATA

SECONDARIA

Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 1a Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 1b Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 1c Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 2a Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 2b Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

SACRESTIA 2c Shell 1 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

VOLTA BOTTE 1 Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

VOLTA BOTTE 2 Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

VOLTA BOTTE 3 Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

73

VOLTA BOTTE4 Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

VOLTA CROCIERA Shell 6 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

VOLTINA Shell 2 muratura in mattoni

pieni e malta di calce

TRAVE C.A.P. Beam 21 Cap

Figura 3.2.1.1: Vista del modello globale elaborato con il programma di calcolo Abaqus/cae

Figura 3.2.1.2: Vista del modello globale elaborato con il programma di calcolo Abaqus/cae

74

Figura 3.2.1.3:Vista in sezione del modello globale elaborato con il programma di calcolo Abaqus/cae

Le unità di misura utilizzate nel modello sono il metro [m] per le lunghezze, il kiloNewton [kN] per le forze e i kilogrammi [kg] per le masse.

Il sistema di riferimento cartesiano globale ha l’asse X orientato in direzione longitudinale, l’asse Y in direzione trasversale e l’asse Z verticale. Localmente, al fine di generare porzioni del modello con caratteristiche geometriche riconducibili a solidi di rivoluzione, sono stati definiti svariati sistemi si coordinate sia cilindrici che sferici.

Per simulare l’effettivo comportamento della struttura si sono introdotti dei vincoli alla

rotazione ai nodi di base degli elementi tali da impedire gli spostamenti nelle tre

direzioni creando così una cerniera sferica.

75

Figura 3.2.1.4: Rappresentazione dei vincoli usati nel modello elaborato con il programma di calcolo Abaqus/cae

76 3.2.2. Studio del materiale muratura

La muratura può essere considerata come uno dei materiali compositi più utilizzati dall’uomo nel corso dei secoli.

Il suo grande successo in campo strutturale è principalmente dovuto alla sua flessibilità ed economicità, nonostante le sue caratteristiche meccaniche siano nella maggior parte dei casi più scadenti di quelle dei materiali costituenti.

In tema di resistenza, una struttura muraria non è un corpo omogeneo e, come tale, per essa è ben difficile ipotizzare leggi di carattere generale, essendo numerosi i parametri che di volta in volta entrano in gioco. Senza dubbio la resistenza di una muratura è funzione della qualità dei materiali di base, della forma e delle dimensioni degli elementi costituenti come del manufatto finale, ecc.

Infatti, una struttura sarà tanto più solida e resistente, a parità delle altre variabili, quanto più lo saranno i materiali di base. Ma è vero che un fattore determinante è anche la tecnologia di realizzazione.

La muratura è un materiale composito costituito da un insieme di blocchi interconnessi.

Varia può essere la natura (pietra, laterizio, argilla cruda), la geometria e dimensione dei blocchi, così come vari possono essere i sistemi di interconnessione, per tecnica di assemblaggio (a secco o con giunti di malta) e apparecchiatura. E’ evidente dunque come, sotto la definizione di muratura, rientri un’innumerevole varietà di sistemi e tecniche costruttivi. La varietà delle strutture murarie non risiede unicamente nei tipi di muratura impiegati ma anche nelle numerosissime morfologie murarie che contraddistinguono l’edificato storico: archi, cupole, volte, pareti , contrafforti, a costituire chiese, torri, ponti, portici, case e palazzi, mura urbiche.

Sebbene con caratteri specifici dei vari paesi, il costruito storico europeo e di tutto il bacino del mediterraneo è fortemente caratterizzato da questo tipo di costruzioni.

Le proprietà della muratura sono fortemente dipendenti dalle proprietà dei suoi singoli costituenti. Nello scomporre la muratura in componenti si individuano tre principali entità:

i blocchi; la malta; i giunti di interfaccia. La malta e la pietra o il laterizio che costituiscono

i blocchi sono materiali indipendenti con proprie caratteristiche meccaniche. I giunti

77 d’interfaccia sono invece un’astrazione che rappresenta l’interazione del comportamento tra la malta e i blocchi.

Le più importanti caratteristiche della muratura dal punto di vista del comportamento meccanico sono:

la disomogeneità l’anisotropia

l’asimmetria di comportamento rispetto al segno delle sollecitazioni (compressione –trazione)

la non – linearità del legame sforzi – deformazioni.

La disomogeneità, cioè la differenza di comportamento da punto a punto, è dovuta sia alle caratteristiche meccaniche molto diverse delle componenti, sia al comportamento all’interfaccia dovuto all’aderenza tra malta e mattoni, agli spessori dei giunti e alla capacità di assorbimento e ritenzione dell’acqua. L’anisotropia, che rappresenta la differenza di comportamento nelle diverse direzioni, è causata dalla presenza dei fori e loro disposizione, dalla forma stessa degli elementi e dalla presenza dei giunti di malta orizzontali e verticali. Sia gli elementi che la malta hanno poi la caratteristica dell’asimmetria, dovuta al diverso modulo elastico e al diverso comportamento post- elastico, fragile a trazione e più duttile a compressione. Sia gli elementi che la malta presentano una resistenza molto più elevata a compressione che a trazione;per questo, spesso, la muratura viene modellata come materiale non reagente a trazione. Infine la non linearità del legame sforzo-deformazione scaturisce, evidentemente, dalle caratteristiche enunciate precedentemente.

Analizzando i risultati di una generica prova di resistenza monoassiale di trazione- compressione eseguita su materiale muratura si possono fare le seguenti considerazioni:

- entrambi i materiali presentano una resistenza molto più elevata a compressione che a trazione;

- rispetto alla malta, il laterizio presenta tensioni di rottura e modulo elastico maggiori;

- il laterizio presenta una rottura fragile, mentre la malta presenta una rottura duttile,

cioè caratterizzata da una fase di grandi deformazioni.

78 È difficile quantificare tali caratteristiche, data la grande variabilità sia delle malte che dei laterizi, che dipendono, oltre che dai materiali naturali di cui sono composti, anche dalle modalità di confezione.

Qualitativamente il comportamento della muratura non si discosta da quello dei suoi componenti, ma in genere le caratteristiche meccaniche sono diverse, perché influenzate da fattori come le caratteristiche dei componenti (resistenza dei mattoni,resistenza della malta, caratteristiche deformative dei mattoni e della malta) e le modalità costruttive (geometria dei mattoni, spessore dei giunti, aderenza fra malta e mattoni,….).

La crisi nella muratura per effetto della compressione non coincide con la crisi della malta;

la diversa deformabilità della malta e del laterizio genera autotensioni che spesso concorrono a migliorare la resistenza globale. Inoltre la presenza di direzioni preferenziali, causa dell’anisotropia, fa sì che la resistenza dipenda dalla direzione dei carichi applicati.

Se si considera una muratura soggetta a compressione assiale lungo la direzione y perpendicolare ai letti di malta, poiché la malta ha un basso modulo elastico, si nota che la sua deformazione in direzione y è maggiore rispetto a quella del laterizio.

Figura 3.2.2.1: Compressione assiale nella muratura

Per la congruenza delle deformazioni all'interfaccia, nel laterizio nascono tensioni di trazione nelle direzioni trasversali mentre la malta risulta soggetta ad uno stato di compressione triassiale (effetto cerchiante). La presenza di tale stato di tensione nel laterizio spiega come nella muratura soggetta a compressione uniforme la crisi si manifesti generalmente con lo sviluppo di fessure da trazione parallele all'asse di carico, per valori dei carichi inferiori alla resistenza a compressione monoassiale del laterizio: infatti, le tensioni principali di trazione risultano avere valori maggiori che non nella prova sul singolo mattone.

Infine, la risposta sismica di una struttura in muratura non dipende soltanto dal materiale

impiegato, ma anche da diversi aspetti tecnologici, in particolare, dai collegamenti tra gli

elementi strutturali. Nel caso di murature a due o più paramenti è, ad esempio, significativa

79

la presenza di elementi passanti, detti diatoni, che creano una connessione dei paramenti

esterni. Le pareti, considerate come elementi strutturali “piani”, presentano risposte

differenti alle azioni orizzontali nel piano e a quelle fuori piano; la qualità della risposta

globale, quindi, dipende dalla configurazione “scatolare” dell’insieme, ovvero

dall’efficacia del collegamento tra pareti e pareti, cosiddetto ammorsamento, e tra pareti e

solai.

80 3.2.3. Materiali adottati nel modello globale

La caratterizzazione dei materiali definiti per il modello globale è derivata da un processo iterativo che ha condotto alla taratura degli stessi; il punto di partenza di questo processo sono i valori suggeriti dalle NTC, come già detto nel capitolo 2:

dove:

fm = resistenza media a compressione della muratura τ0 = resistenza media a taglio della muratura

E = valore medio del modulo di elasticità normale

G = valore medio del modulo di elasticità tangenziale

81 w = peso specifico medio della muratura

Si è quindi deciso di adottare le seguenti proprietà caratterizzanti le diverse componenti strutturali, tenendo conto, nella definizione della densità dei vari elementi.

Tabella 3.2.3.1: Caratteristiche dei materiali usati nel modello per le analisi lineari

Materials E ν γ

[kN/m

] [kN/m

]

Bricks and mortar

1500000 0.15 18

cap 24768000 0.2 25

Dove E è il modulo elastico, ν è il coefficiente di Poisson e γ è la densità del materiale

Proprietà Materiale E ν ϒ

[kN/m

] [kN/m

]

Muri 40 cm Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Muri 45 cm Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Muri 50 cm Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Muri 53 cm Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Muri 60 cm Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Muro 50 cm facciata Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8 Volte a botte tipo 1

navata laterale

Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8 Volte a botte tipo 2

navata laterale

Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Volte a botte tipo 3 navata laterale

Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8 Volte a crociera tipo 1

navata laterale

Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Volte a crociera tipo 2 navata laterale

Bricks and mortar 1500000 0.15 1.8

Travi ad I cap 24768000 0.2 2.5

82

3.3. Analisi statica lineare

In una costruzione in muratura le azioni preponderanti sono costituite dai pesi propri degli orizzontamenti e delle pareti murarie, in quest'ottica si inserisce l'analisi statica lineare con l'obiettivo di valutare l'influenza dei carichi gravitazionali sull'intero edificio o parti di esso e di fare alcune considerazioni in merito allo stato tensionale esistente.

Si è ritenuto opportuno suddividere la chiesa in macroelementi e valutare per ognuno il carico gravitazionale per poi considerare il contributo globale e confrontarlo con quello estrapolato dal modello di calcolo ottenuto con il programma Abaqus cae.

Quindi dopo aver suddiviso la chiesa in macroelementi si riportano di seguito i valori ottenuti:

Tabella 3.3.1: Valutazione dei carichi gravitazionali dell'edificio

MACROELEM

ENTO A: Navata laterale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 2

Composizione :

n°2 VC tipo1, n°1 VC tipo2, n°1 VB tipo1,n°1 VB

ipot2,n°1 VB tipo3

Peso totale = 80.24346 kN

MACROELEM

ENTO B: Navata centrale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione :

n°2 VC tipo1, n°1 VC tipo2, n°1 VB tipo1,n°1 VB

ipot2,n°1 VB tipo3

Peso totale = 53.894484 kN

MACROELEM

ENTO C: Abside

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA =1

Composizione

: n°1 VB tipo1,n°1 VB tipo2,n°1 VCu tipo1

Peso totale = 51.945408 kN

MACROELEM

ENTO D: Piano Arco trionfale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°1 AT

Peso totale = 407.3827055 kN

83

MACROELEM

ENTO E: Piano Arco trionfale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°2 Lato

Peso totale = 1035.72 kN

MACROELEM

ENTO F: Piano Facciata

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°1 Pi,n°1 PS1,n°1 PS2

Peso totale = 1800.4005 kN

MACROELEM

ENTO G: Colonnato Larerale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 2

Composizione :

n°1 C tipo1,n°4 C tipo 2,n°2 C tipo 3,n°1 Stc tipo 1,n°1 Stc tipo 2,n°1 Stc tipo 3,n°1 Stin tipo 1,n°1 Ss

tipo 1

Peso totale = 753.08697 kN

MACROELEM

ENTO H: Colonnato Centrale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 2

Composizione :

n°1 C tipo1,n°4 C tipo 2,n°2 C tipo 3,n°1 Stc tipo 1,n°1 Stc tipo 2,n°1 Stc tipo 3,n°1 Stin tipo 1,n°1 Ss

tipo 1

Peso totale = 1683.76617 kN

MACROELEM

ENTO I: Piano Verticale Abside

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione :

n°2 Sm tipo1,n°2 Sm tipo 2,n°1 Sm tipo 3a,n°1 Sm

tipo 3b,n°1 Sm tipo 4

Peso totale = 2452.95765 kN

MACROELEM

ENTO L: Piano Lato Esterno

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 2

84 Composizione

: n°1 Sm tipo1,n°1 Sm tipo 2

Peso totale = 896.74848 kN

MACROELEM

ENTO M: Copertura Navata Centrale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°2 Mc tipo1, n°2 Mc tipo2, n°23 Es tipo1

Peso totale = 118.216616 kN

MACROELEM

ENTO N: Copertura Navata Laterale

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 2

Composizione

: n°1 Mc tipo1, n°1 Mc tipo2, n°20 Es tipo1

Peso totale = 61.182 kN

MACROELEM

ENTO O: Sacrestia 1

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°1 Sm tipo1, n°1 Sm tipo2, n°1 Si

Peso totale = 1436.4 kN

MACROELEM

ENTO P: Sacrestia 2

n° MACROELEMENTI PRESENTI NELLA STRUTTURA = 1

Composizione

: n°1 Sm tipo1, n°1 Sm tipo2, n°1 Si

Peso totale = 1245.6 kN

Composizione

della chiesa :

n°2 MACROELEMENTO A, n°1 MACROELEMENTO B,n°1 MACROELEMENTO C,n°1 MACROELEMENTO D,

n°1 MACROELEMENTO E, n°1 MACROELEMENTO F,n°2 MACROELEMENTO G,n°2 MACROELEMENTO H,

n°1 MACROELEMENTO I, n°2 MACROELEMENTO L,n°1 MACROELEMENTO M, n°2 MACROELEMENTO N,

n°1 MACROELEMENTO O, n°1 MACROELEMENTO P

Peso totale

della chiesa = 15101.09 kN

85 Gravity da

Abaqus= 14927.7 kN

Usufruendo dei dati di output forniti dal programma di calcolo è possibile fare alcune considerazioni sullo stato tensionale dell’edificio a livello globale soggetto ai soli carichi gravitazionali, in particolare è possibile riscontrare e confermare la presenza o meno delle lesioni e capire se queste siano causate dall’evento sismico o pre-esistevano già e con l’evento sismico dell’Aprile-Mggio 2012 si sia verificato o meno un peggioramento.

L’elaborazione tramite il software ha fornito la seguente distribuzione delle tensioni, inoltre il rilievo del quadro fessurativo della chiesa, in Appendice A, mostra l’andamento di alcune lesioni in modo analogo a quanto si verifica nell’analisi del modello.

Figura 3.3.1: Rappresentazione dello stato tensionale del modello globale

Figura 3.3.2: Rappresentazione dello stato tensionale del colonnato della navata centrale visto nell’insieme

86

Figura 3.3.3: Rappresentazione dello stato tensionale del colonnato della navata centrale visto

Figura 3.3.4: Rappresentazione delle lesioni nel colonnato della navata centrale

87

3.4. Analisi dinamica modale

L’analisi dinamica modale viene condotta attraverso un modello elastico lineare e quindi la sua attendibilità nella valutazione del comportamento, in condizioni limite di resistenza, di antichi manufatti architettonici in muratura, è spesso limitata. Infatti, nel caso di strutture complesse, le analisi lineari possono essere utilmente applicate solo quando, dal confronto tra domanda e capacità, emerge che l’escursione in campo non lineare è modesta.

Può essere utilizzata per valutare il modo principale di vibrazione in ciascuna direzione (quello cui corrisponde il massimo valore del coefficiente di partecipazione. Più discutibile è, invece, considerare il contributo dei modi superiori, che hanno poco significato per una struttura caratterizzata da un comportamento non lineare dei materiali già per valori modesti dell’azione orizzontale.

L’analisi modale con spettro di risposta, che presuppone il principio di sovrapposizione degli effetti e regole di combinazione modale calibrate su strutture a telaio, non dovrebbe quindi ritenersi attendibile, specie nel caso di strutture complesse, caratterizzate da trasformazioni e fasi costruttive differenti.

L’analisi dinamica modale può essere utilizzata con maggiore confidenza in presenza di strutture flessibili e strutturalmente ben modellabili, come ad esempio le torri, i campanili o altre strutture a prevalente sviluppo verticale.

Nel modello dello stato attuale sono stati necessari 250 modi per raggiungere una massa partecipante lungo x pari al 80% e lungo z pari al 88%, per la chiesa di Santa Maria Annunciata allo stato attuale si hanno quindi i seguenti modi di vibrare:

MODE

N° FREQUENCY TIME

X-

COMPONENT M1%

Z-

COMPONENT M3%

1 1.677 0.596 0.000108210 0.000007111 304.709000000 20.024486626

2 2.400 0.417 5.607450000 0.368503416 0.000003197 0.000000210

3 2.613 0.383 0.160607000 0.010554571 0.000000057 0.000000004

4 2.616 0.382 0.120351000 0.007909077 0.000003384 0.000000222

5 2.617 0.382 0.550911000 0.036204083 0.000000525 0.000000035

6 2.617 0.382 0.804033000 0.052838439 0.000000003 0.000000000

7 2.617 0.382 0.140318000 0.009221244 0.000000120 0.000000008

8 2.617 0.382 0.004113400 0.000270319 0.000000256 0.000000017

9 2.618 0.382 0.571530000 0.037559097 0.000001138 0.000000075

10 2.618 0.382 0.065705800 0.004317972 0.000000094 0.000000006

11 2.618 0.382 0.065113300 0.004279035 0.000000000 0.000000000

88

12 2.618 0.382 0.016332900 0.001073345 0.000000012 0.000000001

13 2.618 0.382 0.017859200 0.001173649 0.000000414 0.000000027

14 2.618 0.382 0.011397000 0.000748974 0.000000016 0.000000001

15 2.618 0.382 0.002546390 0.000167340 0.000000001 0.000000000

16 2.618 0.382 0.000771107 0.000050675 0.000000001 0.000000000

17 2.618 0.382 0.012844800 0.000844119 0.000000030 0.000000002

18 2.618 0.382 0.026073900 0.001713492 0.000000000 0.000000000

19 2.618 0.382 0.003015960 0.000198199 0.000000011 0.000000001

20 2.618 0.382 0.001220890 0.000080233 0.000000069 0.000000005

21 2.618 0.382 0.000055153 0.000003624 0.000000010 0.000000001

22 2.618 0.382 0.000115583 0.000007596 0.000000001 0.000000000

23 2.620 0.382 0.018289800 0.001201946 0.000032616 0.000002143

24 3.040 0.329 98.080200000 6.445512450 0.004377590 0.000287681

25 3.272 0.306 0.000169787 0.000011158 176.320000000 11.587178199

26 3.628 0.276 0.103667000 0.006812659 69.840600000 4.589697582

27 3.669 0.273 3.450930000 0.226783920 0.252514000 0.016594401

28 4.109 0.243 21.651300000 1.422853172 0.002404840 0.000158038

29 4.464 0.224 553.895000000 36.400181877 2.592840000 0.170393030

30 4.625 0.216 17.460900000 1.147473683 115.583000000 7.595739665

31 4.985 0.201 0.056677100 0.003724635 18.725800000 1.230598806

32 4.986 0.201 0.004886660 0.000321135 1.666390000 0.109509743

33 4.991 0.200 0.004875870 0.000320426 1.431850000 0.094096535

34 4.991 0.200 0.000099956 0.000006569 0.093055500 0.006115305

35 4.992 0.200 0.000037582 0.000002470 0.113770000 0.007476595

36 4.992 0.200 0.000665848 0.000043757 0.463300000 0.030446572

37 4.992 0.200 0.000138799 0.000009121 0.035858200 0.002356485

38 4.993 0.200 0.000100610 0.000006612 0.038793100 0.002549357

39 4.993 0.200 0.000063424 0.000004168 0.020022600 0.001315820

40 4.993 0.200 0.000013794 0.000000907 0.028496700 0.001872711

41 4.993 0.200 0.000010809 0.000000710 0.004711040 0.000309594

42 4.993 0.200 0.000000609 0.000000040 0.002584490 0.000169844

43 4.993 0.200 0.000002771 0.000000182 0.006492280 0.000426652

44 4.993 0.200 0.000000002 0.000000000 0.001799970 0.000118288

45 4.993 0.200 0.000011409 0.000000750 0.017019500 0.001118466

46 4.994 0.200 0.000024200 0.000001590 0.005020280 0.000329917

47 4.994 0.200 0.000000034 0.000000002 0.000237216 0.000015589

48 4.994 0.200 0.000002603 0.000000171 0.000544486 0.000035782

49 4.994 0.200 0.000002173 0.000000143 0.000504930 0.000033182

50 4.994 0.200 0.000304087 0.000019984 0.187021000 0.012290413

51 4.999 0.200 0.002037200 0.000133878 10.342100000 0.679649249

52 5.122 0.195 0.812629000 0.053403341 169.917000000 11.166393818

53 5.735 0.174 39.423200000 2.590764766 0.000169699 0.000011152

54 5.792 0.173 1.707360000 0.112202158 0.011100900 0.000729515

55 5.991 0.167 3.915840000 0.257336297 18.554000000 1.219308668

56 6.101 0.164 0.513721000 0.033760077 2.539650000 0.166897556

89

57 6.126 0.163 11.354400000 0.746174320 0.852028000 0.055992515

58 6.183 0.162 9.836560000 0.646426801 0.793014000 0.052114307

59 6.329 0.158 0.017562800 0.001154170 54.592100000 3.587615647

60 6.437 0.155 0.213222000 0.014012258 1.017270000 0.066851683

61 6.575 0.152 13.302200000 0.874177415 3.208840000 0.210874551

62 6.784 0.147 28.487800000 1.872125766 10.357500000 0.680661287

63 7.040 0.142 6.356290000 0.417714751 0.624694000 0.041052862

64 7.093 0.141 21.378700000 1.404938785 0.356534000 0.023430257

65 7.262 0.138 4.295200000 0.282266605 0.015610400 0.001025865

66 7.819 0.128 6.905030000 0.453776163 53.483700000 3.514775196

67 8.028 0.125 0.742660000 0.048805205 74.120600000 4.870965293

68 8.130 0.123 1.400910000 0.092063259 0.056430700 0.003708442

69 8.457 0.118 0.026042300 0.001711415 11.542200000 0.758515927

70 8.658 0.116 0.344622000 0.022647439 0.021985400 0.001444809

71 8.721 0.115 0.868637000 0.057084005 0.008193970 0.000538481

72 8.971 0.111 20.605200000 1.354106875 0.334721000 0.021996778

73 9.174 0.109 3.808180000 0.250261231 19.979500000 1.312987902

74 9.205 0.109 0.381704000 0.025084348 0.872296000 0.057324462

75 9.223 0.108 4.434310000 0.291408463 0.005643490 0.000370872

76 9.400 0.106 1.474400000 0.096892783 0.897623000 0.058988871

77 9.520 0.105 2.506990000 0.164751247 3.516640000 0.231102168

78 9.581 0.104 0.000004480 0.000000294 10.601800000 0.696715891

79 9.625 0.104 0.239934000 0.015767684 13.176000000 0.865883961

80 9.777 0.102 2.520930000 0.165667339 0.389935000 0.025625263

81 9.981 0.100 1.913600000 0.125755582 1.195440000 0.078560437

82 10.092 0.099 2.599320000 0.170818875 2.702050000 0.177569957

83 10.360 0.097 74.716800000 4.910145622 0.451390000 0.029663886

84 10.584 0.094 4.295050000 0.282256748 23.824300000 1.565655680

85 10.676 0.094 32.914800000 2.163053840 8.171610000 0.537011690

86 10.704 0.093 1.911520000 0.125618891 0.019356800 0.001272066

87 11.134 0.090 2.496740000 0.164077650 31.190200000 2.049718724

88 11.200 0.089 14.528100000 0.954739585 0.084721500 0.005567622

89 11.253 0.089 0.636337000 0.041818003 1.310960000 0.086152037

90 11.275 0.089 14.936400000 0.981571736 6.480740000 0.425893201

91 11.385 0.088 1.177930000 0.077409737 0.671038000 0.044098440

92 11.474 0.087 4.780790000 0.314178004 1.630020000 0.107119625

93 11.590 0.086 2.911680000 0.191346160 7.682680000 0.504880797

94 11.742 0.085 19.992400000 1.313835648 1.806280000 0.118702860

95 11.826 0.085 37.457800000 2.461605056 0.080034900 0.005259634

96 11.995 0.083 3.267770000 0.214747240 0.990406000 0.065086268

97 12.094 0.083 2.432790000 0.159875064 0.456038000 0.029969337

98 12.153 0.082 2.404450000 0.158012651 0.252533000 0.016595649

99 12.349 0.081 4.299280000 0.282534729 4.029470000 0.264803692

100 12.409 0.081 6.282670000 0.412876684 3.275480000 0.215253916

101 12.560 0.080 0.384337000 0.025257380 11.304700000 0.742908198

90

102 12.703 0.079 0.822085000 0.054024758 3.687610000 0.242337762

103 12.829 0.078 0.050992000 0.003351029 3.542340000 0.232791089

104 12.904 0.077 0.000324790 0.000021344 0.812834000 0.053416813

105 13.058 0.077 0.088800100 0.005835654 0.126787000 0.008332030

106 13.210 0.076 0.448000000 0.029441106 0.006825720 0.000448564

107 13.365 0.075 0.861491000 0.056614393 5.580480000 0.366731036

108 13.414 0.075 0.146648000 0.009637231 1.170710000 0.076935262

109 13.490 0.074 0.556896000 0.036597398 0.407084000 0.026752239

110 13.528 0.074 0.879884000 0.057823121 3.457020000 0.227184136

111 13.698 0.073 2.628320000 0.172724661 0.373085000 0.024517935

112 13.784 0.073 0.195936000 0.012876278 0.029294000 0.001925107

113 13.820 0.072 0.138424000 0.009096776 0.007614430 0.000500396

114 13.890 0.072 0.543509000 0.035717648 0.152029000 0.009990853

115 13.938 0.072 0.026081800 0.001714011 0.226404000 0.014878536

116 14.064 0.071 1.574050000 0.103441458 1.228800000 0.080752748

117 14.181 0.071 0.069475000 0.004565672 0.893274000 0.058703068

118 14.274 0.070 1.333880000 0.087658265 6.944680000 0.456381832

119 14.369 0.070 2.662210000 0.174951802 0.502529000 0.033024575

120 14.378 0.070 0.412018000 0.027076486 0.712061000 0.046794338

121 14.575 0.069 0.278040000 0.018271886 2.124950000 0.139644818

122 14.747 0.068 3.594240000 0.236201789 0.470008000 0.030887400

123 14.791 0.068 1.342590000 0.088230658 0.375925000 0.024704571

124 14.883 0.067 0.540965000 0.035550464 2.706820000 0.177883426

125 14.924 0.067 0.960120000 0.063095971 1.617110000 0.106271221

126 14.994 0.067 0.287252000 0.018877269 0.000013661 0.000000898

127 15.070 0.066 1.049600000 0.068976306 4.294850000 0.282243604

128 15.124 0.066 3.411330000 0.224181537 0.675175000 0.044370310

129 15.197 0.066 0.034278300 0.002252659 1.102500000 0.072452722

130 15.214 0.066 0.000143611 0.000009438 0.000000021 0.000000001

131 15.214 0.066 0.010543100 0.000692858 0.002305010 0.000151478

132 15.214 0.066 0.001385520 0.000091052 0.000468991 0.000030821

133 15.215 0.066 0.000000702 0.000000046 0.000225127 0.000014795

134 15.215 0.066 0.000459899 0.000030223 0.000002322 0.000000153

135 15.215 0.066 0.000003179 0.000000209 0.000135688 0.000008917

136 15.215 0.066 0.000089906 0.000005908 0.000000532 0.000000035

137 15.215 0.066 0.000282861 0.000018589 0.000135986 0.000008937

138 15.215 0.066 0.000054748 0.000003598 0.000026052 0.000001712

139 15.215 0.066 0.000056576 0.000003718 0.000040986 0.000002693

140 15.215 0.066 0.000042700 0.000002806 0.000011320 0.000000744

141 15.215 0.066 0.000304508 0.000020011 0.000000000 0.000000000

142 15.215 0.066 0.000078391 0.000005152 0.000094190 0.000006190

143 15.215 0.066 0.000138610 0.000009109 0.000019152 0.000001259

144 15.215 0.066 0.000047309 0.000003109 0.000001450 0.000000095

145 15.215 0.066 0.000573356 0.000037679 0.000049946 0.000003282

146 15.215 0.066 0.000106546 0.000007002 0.000014889 0.000000978

91

147 15.215 0.066 0.008576750 0.000563636 0.000992112 0.000065198

148 15.215 0.066 0.000564756 0.000037114 0.002973000 0.000195376

149 15.220 0.066 0.268286000 0.017630885 0.220713000 0.014504542

150 15.225 0.066 0.002185430 0.000143619 0.380749000 0.025021589

151 15.342 0.065 0.137537000 0.009038485 1.846880000 0.121370960

152 15.492 0.065 0.257998000 0.016954791 1.944860000 0.127809888

153 15.569 0.064 0.688415000 0.045240400 11.837400000 0.777915513

154 15.738 0.064 1.101310000 0.072374519 0.064488000 0.004237942

155 15.768 0.063 0.089575200 0.005886591 0.073473900 0.004828466

156 15.888 0.063 0.006196500 0.000407214 0.000471210 0.000030966

157 15.889 0.063 0.002843370 0.000186857 0.001152320 0.000075727

158 15.889 0.063 0.002682830 0.000176307 0.000423674 0.000027842

159 15.890 0.063 0.000055532 0.000003649 0.000003224 0.000000212

160 15.890 0.063 0.003935970 0.000258659 0.000608903 0.000040015

161 15.890 0.063 0.007941920 0.000521917 0.001262620 0.000082975

162 15.890 0.063 0.010175200 0.000668681 0.001597130 0.000104958

163 15.890 0.063 0.000374848 0.000024634 0.000127327 0.000008368

164 15.890 0.063 0.003495750 0.000229729 0.000652214 0.000042861

165 15.890 0.063 0.000786356 0.000051677 0.000062046 0.000004077

166 15.890 0.063 0.001081650 0.000071083 0.000068231 0.000004484

167 15.890 0.063 0.000031106 0.000002044 0.000014864 0.000000977

168 15.890 0.063 0.000546409 0.000035908 0.000171289 0.000011257

169 15.890 0.063 0.001242080 0.000081625 0.000131437 0.000008638

170 15.891 0.063 0.000248567 0.000016335 0.000068530 0.000004504

171 15.891 0.063 0.000033244 0.000002185 0.000006497 0.000000427

172 15.891 0.063 0.000041601 0.000002734 0.000011032 0.000000725

173 15.891 0.063 0.063403600 0.004166679 0.008584860 0.000564169

174 15.891 0.063 0.001748610 0.000114913 0.000105648 0.000006943

175 15.891 0.063 0.007919120 0.000520419 0.000001698 0.000000112

176 15.894 0.063 0.021293900 0.001399366 0.021303800 0.001400017

177 16.039 0.062 1.466130000 0.096349306 0.466567000 0.030661269

178 16.119 0.062 1.318490000 0.086646884 0.822696000 0.054064911

179 16.179 0.062 2.055270000 0.135065675 0.009385120 0.000616760

180 16.202 0.062 0.009036230 0.000593832 0.108080000 0.007102667

181 16.323 0.061 0.101793000 0.006689506 1.088900000 0.071558974

182 16.381 0.061 10.228900000 0.672210113 0.624371000 0.041031636

183 16.426 0.061 0.240484000 0.015803828 0.241896000 0.015896620

184 16.471 0.061 0.850394000 0.055885134 0.049860700 0.003276683

185 16.514 0.061 0.219773000 0.014442768 0.691413000 0.045437419

186 16.569 0.060 0.003381500 0.000222221 0.000140686 0.000009245

187 16.685 0.060 1.062790000 0.069843110 0.019054600 0.001252206

188 16.792 0.060 1.759390000 0.115621401 0.976223000 0.064154207

189 16.852 0.059 9.442060000 0.620501541 0.383045000 0.025172474

190 16.947 0.059 0.008461820 0.000556083 0.015322700 0.001006958

191 17.024 0.059 1.713640000 0.112614860 0.000815351 0.000053582

92

192 17.086 0.059 6.367520000 0.418452750 0.358598000 0.023565897

193 17.092 0.059 0.038135800 0.002506161 0.045619800 0.002997985

194 17.171 0.058 0.376203000 0.024722840 0.640181000 0.042070618

195 17.356 0.058 1.364140000 0.089646854 0.019010100 0.001249282

196 17.462 0.057 0.152369000 0.010013196 0.000225632 0.000014828

197 17.473 0.057 0.085332900 0.005607801 0.001099090 0.000072229

198 17.540 0.057 0.666518000 0.043801400 0.129445000 0.008506705

199 17.544 0.057 0.083285000 0.005473220 0.012125200 0.000796829

200 17.587 0.057 0.414288000 0.027225663 0.001090400 0.000071658

201 17.604 0.057 0.472624000 0.031059316 0.003200880 0.000210351

202 17.681 0.057 0.545698000 0.035861502 0.410499000 0.026976662

203 17.702 0.056 0.624614000 0.041047605 1.026470000 0.067456277

204 17.756 0.056 1.211090000 0.079588905 0.366422000 0.024080065

205 17.795 0.056 0.475699000 0.031261395 0.080246000 0.005273507

206 17.867 0.056 0.191472000 0.012582918 0.062164300 0.004085236

207 17.939 0.056 0.706384000 0.046421264 0.051203900 0.003364954

208 17.974 0.056 0.900586000 0.059183589 0.215964000 0.014192453

209 18.100 0.055 0.000067626 0.000004444 1.262430000 0.082962803

210 18.129 0.055 0.955378000 0.062784342 1.752560000 0.115172556

211 18.206 0.055 4.357310000 0.286348273 0.053111000 0.003490283

212 18.265 0.055 5.916520000 0.388814494 1.816030000 0.119343598

213 18.341 0.055 1.174180000 0.077163299 0.060524400 0.003977467

214 18.351 0.054 0.186665000 0.012267018 0.023444100 0.001540670

215 18.358 0.054 0.087268400 0.005734996 0.002145030 0.000140964

216 18.370 0.054 0.031713300 0.002084095 0.009958390 0.000654433

217 18.372 0.054 0.035859600 0.002356577 0.009809140 0.000644625

218 18.375 0.054 0.000422784 0.000027784 0.000438412 0.000028811

219 18.375 0.054 0.014544800 0.000955837 0.002916670 0.000191674

220 18.376 0.054 0.051486700 0.003383539 0.009645960 0.000633901

221 18.377 0.054 0.005778160 0.000379722 0.001421740 0.000093432

222 18.377 0.054 0.030706400 0.002017925 0.006561220 0.000431182

223 18.377 0.054 0.001867760 0.000122743 0.000601554 0.000039532

224 18.378 0.054 0.000182985 0.000012025 0.000021140 0.000001389

225 18.378 0.054 0.020817300 0.001368045 0.004704350 0.000309155

226 18.378 0.054 0.000006360 0.000000418 0.000018809 0.000001236

227 18.379 0.054 0.005116740 0.000336256 0.000639591 0.000042032

228 18.379 0.054 0.000125456 0.000008245 0.000103192 0.000006781

229 18.379 0.054 0.000330865 0.000021743 0.000020000 0.000001314

230 18.379 0.054 0.000348449 0.000022899 0.000036312 0.000002386

231 18.381 0.054 0.028081300 0.001845412 0.001712660 0.000112550

232 18.386 0.054 0.535065000 0.035162735 0.032805100 0.002155845

233 18.390 0.054 0.012174200 0.000800049 0.004402920 0.000289346

234 18.410 0.054 1.550880000 0.101918801 0.110354000 0.007252107

235 18.545 0.054 0.065003000 0.004271786 0.128076000 0.008416739

236 18.571 0.054 0.011593300 0.000761874 0.043586200 0.002864344

93 237 18.608 0.054 0.001672350 0.000109901 0.042510500 0.002793652 238 18.756 0.053 0.002735190 0.000179748 0.007388580 0.000485553 239 18.777 0.053 0.891277000 0.058571832 0.154292000 0.010139570 240 18.833 0.053 0.000430749 0.000028307 0.185842000 0.012212933 241 18.897 0.053 0.181734000 0.011942969 0.377641000 0.024817341 242 19.032 0.053 0.020152600 0.001324363 0.002582950 0.000169743 243 19.119 0.052 0.076483900 0.005026274 2.041970000 0.134191642 244 19.315 0.052 0.015855200 0.001041952 0.247012000 0.016232827 245 19.331 0.052 0.038563000 0.002534235 0.099643400 0.006548241 246 19.560 0.051 0.642860000 0.042246673 0.411386000 0.027034953 247 19.727 0.051 1.259130000 0.082745937 0.182458000 0.011990548 248 19.952 0.050 0.648169000 0.042595563 0.635299000 0.041749789 249 19.980 0.050 0.432621000 0.028430448 0.391569000 0.025732644 250 19.987 0.050 1.664830000 0.109407225 0.245622000 0.016141481

80 88

94

Figura 3.4.1: Principale modo di vibrare in direzione z, configurazione stato attuale

Dalla configurazione del primo modo di vibrare i direzione z della configurazione attuale

si nota come si attivi il meccanismo della navata centrale in confronto agli altri, poiché

risulta l’elemento più deformabile.

95

Figura 3.4.2: Principale modo di vibrare in direzione x, configurazione stato attuale

Dalla configurazione del primo modo di vibrare i direzione x della configurazione attuale

si nota come si attivi il meccanismo della facciata in confronto agli altri, caratterizzata da

eccipiente collasso durante il sisma.

96

Figura 3.4.3: Modo di vibrare secondario, configurazione stato attuale

Si nota per prima cosa che le masse partecipanti del primo modo di vibrare sia lungo x che

lungo z sono molto basse e che il comportamento della chiesa in direzione x è fortemente

influenzata dal comportamento lungo latro asse.

97

3.5. Analisi non lineari

Le analisi non lineari sono state condotte sullo stesso modello;fa eccetto quanto attiene la copertura; questa è simulata con la sola sua massa strutturale intendendo che il ruolo incatenante delle travi sia trascurabile.

Figura 3.5.1: Rappresentazione del modello globale utilizzato per le analisi non lineari

Per simulare il legame non lineare della muratura è stato usato il comportamento meccanico “Concrete Damage Plasticity”il quale sfrutta il criterio di resistenza di Drucker- Prager.

Il criterio di resistenza di Drucker-Prager ha come superficie limite del campo elastico delle tensioni un cono con vertice dell’ottante delle tensioni positive, ed ha per asse la trisettrice dell’ottante delle tensioni negative.

Le ipotesi alla base del metodo d’analisi sono:

98 a) isotropia del materiale e piccolezza degli spostamenti;

b) esistenza di un dominio elastico individuato dalla funzione F(σ0) = 0 entro il quale le deformazioni sono di carattere elastico (reversibili);

c) l’incremento di deformazione oltre il dominio elastico è consentito purché l’incremento di tensione ad esso associato sia di entità tale dal lasciare sulla frontiera del dominio elastico lo stato tensionale complessivo. Tale condizione va sotto il nome di “plasticità associativa”.

La formulazione analitica di tale superficie è:

dove: J1 = σ

+ σ

+ σ

è l’invariante primo del tensore degli sforzi

è la componente deviatorica dell’invariante secondo del tensore degli sforzi

con:

σ

= tensione di rottura a compressione della muratura;

σ

= tensione di rottura a trazione della muratura;

Le caratteristiche attribuite al materiale sono le seguenti:

Tabella 3.5.1: Caratteristiche del materiale utilizzate nelle analisi

Plasticity Ψ ϵ f

/f

k μ

Bricks and

mortar 31 0.1 1.16 0.67 0.7

Compressive

Behavior Tensile

Behavior Yield stress

(kN/m

)

inelastic strain

Yield stress (kN/m

)

inelastic strain

3200 0 150 0.1

0 '

1

+ − =

⋅

= J J K

F α

(

)

t c

σ σ

σ α σ

+

⋅

= −

3 (

)

t

K

σ σ

σ σ

+

⋅

⋅

= ⋅ 3

2

( ) ( ) ( )

[

]

2

6

' = 1 ⋅ σ − σ + σ − σ + σ − σ

J

3200

Dove Ψ è l'angolo dilatazione

(dove p è la pressione idrostatica efficace e q è la tensione equivalente di von Mises efficace), ϵ è un parametro, denominato eccentricità

funzione si avvicina all’asintoto snervamento tra compressione iniziale assumere valori compresi tra 0.5 e 1 viscosità.

Figura 3.5.2: Diagramma schematico di incrudimento per il modello iperbolico n

L’elaborazione tramite il software ha fornito la seguente distribuzione delle tensioni, inoltre il rilievo del quadro fessurativo della chiesa, in Appendice A, mostra l’andamento di alcune lesioni in modo analogo a quanto si verifica

visto anche nelle analisi con le analisi lineari 0.000867

è l'angolo dilatazione misurato nel piano p-q ad alta pressione di

idrostatica efficace e q è la tensione equivalente di von Mises è un parametro, denominato eccentricità che definisce la velocità con cui la funzione si avvicina all’asintoto, il valore di default è 0.1, fb0/fc0 è il rapporto di

compressione iniziale e finale, k è la coefficiente di incrudimento assumere valori compresi tra 0.5 e 1 nel nostro caso pari a 2/3 e μ

: Diagramma schematico di incrudimento per il modello iperbolico n

L’elaborazione tramite il software ha fornito la seguente distribuzione delle tensioni, inoltre il rilievo del quadro fessurativo della chiesa, in Appendice A, mostra l’andamento di alcune lesioni in modo analogo a quanto si verifica nell’analisi del modello

visto anche nelle analisi con le analisi lineari.

99 q ad alta pressione di confinamento idrostatica efficace e q è la tensione equivalente di von Mises che definisce la velocità con cui la , fb0/fc0 è il rapporto di incrudimento e può μ è il coefficiente di

: Diagramma schematico di incrudimento per il modello iperbolico nel piano p-q.

L’elaborazione tramite il software ha fornito la seguente distribuzione delle tensioni,

inoltre il rilievo del quadro fessurativo della chiesa, in Appendice A, mostra l’andamento

nell’analisi del modello, come già

100

Figura 3.5.3: Rappresentazione dello stato tensionale del modello globale

Figura 3.5.4: Rappresentazione dello stato tensionale del colonnato della navata centrale nell'insieme

101

Figura 3.5.5: Rappresentazione dello stato tensionale del colonnato della navata centrale

Figura 3.5.6: Rappresentazione delle lesioni nel colonnato della navata centrale

102

Figura 3.5.7: Rappresentazione dello stato tensionale dell'arco trionfale

Utilizzando poi gli accelerogrammi registrati applicati contemporaneamente in x,y e z ai nodi di base, non per tutta la durata del sisma ma solo per un certo intervallo di tempo (15 sec) per motivi legati al calcolo, è possibile fare alcuni confronti in termini di spostamento fra le analisi lineari e non lineari.

Figura 3.5.8: Time history x -3

-2 -1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50 60 70

a (m/sec2)

t(sec)

103

Figura 3.5.9: Time history y

Figura 3.5.10: Time history z

Per fare tali confronti vengono valutati gli spostamenti relativi in direzione longitudinale, trasversale di una coppia di nodi del colonnato centrale e i risultati vengono riportati in termini di spostamento relativo U3 tra tali coppie.

-10 -5 0 5 10

0 10 20 30 40 50 60 70

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50 60 70

104

Figura 3.5.11: Coppia di nodi delle colonne centrali utilizzata per la valutazione dello spostamento relativo U3

Figura 3.5.12: Coppia di nodi delle colonne più vicina alla facciata utilizzata per la valutazione dello spostamento relativo U3

Di seguito si riportano i grafici ottenuti per le due coppie nell’intervallo di particolare

interesse 13-15 secondi :

105

Figura 3.5.13: Spostamento relativo u3 colonne centrali confronto stato attuale con materiale muratura con comportamento lineare – stato attuale con materiale muratura con comportamento non lineare descritto

comportamento come“Concrete Damage Plasticity”

Figura 3.5.14: Spostamento relativo u3 colonne più vicine alla facciata confronto stato attuale con materiale muratura con comportamento lineare – stato attuale con materiale muratura con comportamento non lineare

descritto come“Concrete Damage Plasticity”

Figura 3.5.15: Spostamento relativo u3 colonna interna della coppia più vicina alla facciata confronto stato attuale con materiale muratura con comportamento lineare – stato attuale con materiale muratura con

comportamento non lineare descritto come“Concrete Damage Plasticity”

0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

13 13.5 14 14.5 15 15.5

u3,rel (cm)

t (sec)

actual, u3, comportamento lineare actual, u3, comportamento non lineare

-0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0

13 13.5 14 14.5 15 15.5

u3,rel (cm)

t (sec)

actual, u3, comportamento lineare actual, u3, comportamento non lineare

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

13 13.5 14 14.5 15 15.5

u3,rel (cm)

t (sec)

actual u3, comportamento lineare actual u3, comportamento non lineare

106

Figura 3.5.16: Spostamento relativo u3 colonna esterna della coppia più vicina alla facciata confronto stato attuale con materiale muratura con comportamento lineare – stato attuale con materiale muratura con

comportamento non lineare descritto come“Concrete Damage Plasticity”

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008

13 13.5 14 14.5 15 15.5

u3, ass (cm)

t (sec)

actua, u3, comportamento lineare actual, u3, comportamento non lineare