Sia f : V → V un endomorfismo

(1)

Sia V spazio vettoriale su un campo K. Sia f : V → V un endomorfismo. Un vettore v 6= 0 di V si dice autovettore di f se esiste un λ ∈ K tale che

f (v) = λv lo scalare λ si chiama autovalore di f . L’insieme

V_λ = {v ∈ V | f (v) = λv}

`e uno sotto spazio vettoriale di V (Dimostrarlo!!) e si chiama Autospazio relativo a λ.

Esempio. Sia f : R → R definito come f (x1, x₂) = (x₁ + x₂, 4x₁ + x₂). Abbiamo f (1, 2) = (3, 6) = 3(1, 2) quindi v₁ = (1, 2) `e un autovettore relativo all’autovalore λ₁ = 3. L’autospazio relativo a λ₁ `e dato da

Vλ₁ = {v ∈ R²| f (v) = 3v} = {(x₁, x2) ∈ R²| (x₁ + x2, 4x1 + x2) = 3(x1, x2)} = span {(1, 2)}.

Anche λ₂ = −1 `e un autovalore ed un autovettore ad esso associato `e dato da v₂ = (−1, 2).

1

(2)

0.1 Calcolo degli autovalori

Sia f : R → R definito come f (x1, x₂) = (x₁+ x₂, 4x₁+ x₂). Affinch´e λ sia un autovettore deve esistere un vettore non nullo v tale che f (v) = λv. Vale a dire che lo spazio V_λ = {v ∈ V | f (v) = λv} = {(x₁, x₂) ∈ R²| (x₁ + x₂, 4x₁ + x₂) = λ(x₁, x₂)} deve avere dimensione almeno 1. Vλ rappresenta le soluzioni del sistema

x₁ +x₂ = λx₁

4x₁ +x₂ = λx₂ ⇐⇒ (1 − λ)x₁ + x₂ = 0

4x₁ + (1 − λ)x₂ = 0 ⇐⇒

1 − λ 1 4 1 − λ

x₁ x₂

= 0 0

⇐⇒ (A − λI)X = 0

dove A = 1 1 4 1

`e la matrice di f associata alla base canonica di R², I = 1 0 0 1

e X = x₁

x₂

. Affinché il sistema ammetta soluzioni diversa da quella banale dobbiamo avere rank (A − λI) < n = 2, poiché è una matrice quadrata dobbiamo richiedere che det (A − λI) = 0

1 − λ 1 4 1 − λ

= λ² − 2λ − 3 = 0 che d`a soluzioni λ₁ = −1 e λ₂ = 3.

Per trovare gli autospazi dobbiamo risolvere i sistemi (A − λ1I)X = 0 e (A − λ2I)X = 0, che danno come soluzioni V_λ₁ = span {(1, −2)} e V_λ₂ = span {(1, 2)}.

Teorema 0.1.1 Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale V , sia A la matrice di f relativa ad una base di V . λ ∈ K `e autovalore di f se e solo se

det (A − λI) = 0.

Dim. λ `e autovalore di f ⇐⇒ esiste v 6= 0 t.c. f (v) = λv. Detto X il vettore colonna delle componenti di v rispetto ad una sua base, dobbiamo avere X 6= 0 e AX = λX ⇐⇒

X 6= 0 e AX − λX = 0 ⇐⇒ X 6= 0 e AX − λIX = 0 ⇐⇒ X 6= 0 e (A − λI)X = 0 ⇐⇒

rank (A − λI) < n ⇐⇒ det(A − λI) = 0. Dove n `e la dimensione dello spazio V.

La funzione det (A − λI) = Pn(λ) `e un polinomio di grado n e si chiama polinomio caratteristico. Gli autovalori sono quindi le radici del polinomio caratteristico.

Nel teorema precedente la matrice associata ad f dipende dalla base scelta. Sembr- erebbe quindi ambiguo il calcolo degli autovalori, ma si dimostra che gli autovalori non dipendono dalla base scelta.

(3)

Definizione 0.1.2 Sia λ autovalore di f , e quindi radice del polinomio caratteristico Pn(λ). Si dice

-) molteplicit`a algebrica di λ, la molteplicit`a di λ come radice di P_n(λ)

-) molteplicit`a geometrica di λ la dimensione dell’autospazio associato, dim V_λ Proposizione 0.1.3 Sia λ autovalore, e sia h la sua molteplicit`a algebrica. Allora

1 ≤ dim V_λ ≤ h

Esempio. Sia f (x₁, x₂) = (x₁ + x₂, x₂). Abbiamo A = 1 2 0 1

e

1 − λ 2 0 1 − λ

= (1 − λ)². Quindi abbiamo l’autovalore λ = 1 con molteplicit`a algebrica 2, mentre V_λ = span {(1, 0)} quindi dim Vλ = 1 ≤ 2.

0.2 Diagonalizzazione

Definizione 0.2.1 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V composta da autovettori di f

Due matrici A, B ∈ K^n,n si dicono simili se esiste una matrice invertibile M tale che B = M⁻¹AM

Definizione 0.2.2 Una matrice quadrata A ∈ K^n,n si dice diagonalizzabile se `e simile ad una matrice diagonale.

Sia f un endomorfismo e B = {u₁, . . . , u_n} base di autovettori di f . Sia A_B la matrice di f associata a B, ricordiamo che essa ha come colonne le componenti di f (u_i) rispetto alla stessa base B. Poiché f (u_i) = λ_iu_i abbiamo che A_B è una matrice diagonale costituita dagli autovalori di f , ognuno ripetuto secondo la sua molteplicità algebrica

A_B = D =







λ₁ 0 0 . . . 0 0 λ₂ 0 . . . 0 ... ... ... · · · ...

0 0 0 · · · λ_n







Viceversa se esiste una base rispetto alla quale la matrice di f `e diagonale allora gli elementi della diagonale della matrice sono gli autovalori di f e la base `e costituita da autovettori. Abbiamo cos`ı provato il seguente teorema

(4)

Teorema 0.2.3 Un un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V `e diagonalizzabile se e solo se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice di f `e diagonale.

Proposizione 0.2.4 Autospazi relativi a autovalori distinti sono sottospazi disgiunti.

Dim. Sia λ¹ 6= λ₂ autovalori distinti, e sia v ∈ V_λ₁∩V_λ₂. Abbiamo f (v) = λ₁v e f (v) = λ₂v sottraendo membro a membro abbiamo 0 = (λ₁− λ₂)v da cui v = 0.

Dalla proposizione precedente abbiamo che la somma di autospazi `e somma diretta.

Se λ₁, . . . , λ_p sono p autovalori distinti di f , abbiamo V_λ₁ ⊕ V_λ₂ ⊕ · · · ⊕ V_λ_p

Poiché la dimensione di un autospazio è sempre > 0 (il vettore nullo non è autovettore), dalla precedente relazione deduciamo subito che p ≤ n.

Quando la somma diretta degli autospazi relativi a tutti gli autovalori di f d`a l’intero spazio V

V_λ₁ ⊕ V_λ₂ ⊕ · · · ⊕ V_λ_p = V (1) possiamo trovare in V una base di autovettori di f , in questo caso l’endomorfismo f `e diagonalizzabile. Abbiamo quindi il seguente teorema

Teorema 0.2.5 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V `e diagonalizzabile se e solo

V_λ₁ ⊕ V_λ₂ ⊕ · · · ⊕ V_λ_p = V Di seguito l’importante criterio di diagonalizzabilit`a

Teorema 0.2.6 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico è interamente decomponibile in K e la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincide con la sua molteplicità geometrica.

Dim. Sia n la dimensione di V. Sia Pⁿ(λ) = (λ − λ₁)^m¹(λ − λ₂)^m²· · · (λ − λ_p)^m^p la decomposizione di Pn in K dove mⁱ rappresenta la molteplicit`a della radice λi. Abbiamo m₁ + m₂ + · · · m_p = n se e solo se P_n `e decomponibile. In ogni caso abbiamo m₁ + m₂ +

· · · m_p ≤ n.

L’endomorfismo f `e diagonalizzabile se e solo

V_λ₁ ⊕ V_λ₂ ⊕ · · · ⊕ V_λ_p = V (2) che equivale alla condizione

dim V_λ₁ + dim V_λ₂ + · · · + dim V_λ_p = n. (3)

(5)

Poich´e abbiamo 1 ≤ dim V_λ_i ≤ m_i abbiamo

dim V_λ₁ + dim V_λ₂ + · · · + dim V_λ_p ≤ m₁ + m₂ + · · · m_p ≤ n che insieme alla (3) da

dim V_λ₁ + dim V_λ₂ + · · · + dim V_λ_p = m₁ + m₂ + · · · m_p = n e necessariamente deve essere dim V_λ_i = m_i.

Proposizione 0.2.7 Sia f un endomorfismo digonalizzabile. Allora ogni matrice di f associata ad una base B `e diagonalizzabile.

Sia f diagonalizzabile ed A una sua matrice rispetto ad una base B. Sia poi B⁰ = {u₁, . . . , u_n} la base composta da autovettori. Abbiamo

D = U⁻¹AU

dove D è la matrice diagonale costituita dagli autovalori di f (contati più volte secondo la loro molteplicità algebrica), ed U è la matrice che ha come vettori colonna le componenti degli autovettori rispetto alla base B.

Abbiamo infatti

Au_i = λ_iu_i ∀i = 1, . . . , n ⇐⇒ AU = U D ⇐⇒ U⁻¹AU = U⁻¹U D = D.

U `e invertibile in quanto le sue colonne sono l.i.