Sia f : V → V un endomorfismo

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Sia V spazio vettoriale su un campo K. Sia f : V → V un endomorfismo. Un vettore v 6= 0 di V si dice autovettore di f se esiste un λ ∈ K tale che

f (v) = λv lo scalare λ si chiama autovalore di f . L’insieme

Vλ = {v ∈ V | f (v) = λv}

`e uno sotto spazio vettoriale di V (Dimostrarlo!!) e si chiama Autospazio relativo a λ.

Esempio. Sia f : R → R definito come f (x1, x2) = (x1 + x2, 4x1 + x2). Abbiamo f (1, 2) = (3, 6) = 3(1, 2) quindi v1 = (1, 2) `e un autovettore relativo all’autovalore λ1 = 3. L’autospazio relativo a λ1 `e dato da

Vλ1 = {v ∈ R2| f (v) = 3v} = {(x1, x2) ∈ R2| (x1 + x2, 4x1 + x2) = 3(x1, x2)} = span {(1, 2)}.

Anche λ2 = −1 `e un autovalore ed un autovettore ad esso associato `e dato da v2 = (−1, 2).

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0.1 Calcolo degli autovalori

Sia f : R → R definito come f (x1, x2) = (x1+ x2, 4x1+ x2). Affinch´e λ sia un autovettore deve esistere un vettore non nullo v tale che f (v) = λv. Vale a dire che lo spazio Vλ = {v ∈ V | f (v) = λv} = {(x1, x2) ∈ R2| (x1 + x2, 4x1 + x2) = λ(x1, x2)} deve avere dimensione almeno 1. Vλ rappresenta le soluzioni del sistema

 x1 +x2 = λx1

4x1 +x2 = λx2 ⇐⇒  (1 − λ)x1 + x2 = 0

4x1 + (1 − λ)x2 = 0 ⇐⇒

1 − λ 1 4 1 − λ

 x1 x2



= 0 0



⇐⇒ (A − λI)X = 0

dove A = 1 1 4 1



`e la matrice di f associata alla base canonica di R2, I = 1 0 0 1

 e X = x1

x2



. Affinch´e il sistema ammetta soluzioni diversa da quella banale dobbiamo avere rank (A − λI) < n = 2, poich´e `e una matrice quadrata dobbiamo richiedere che det (A − λI) = 0

1 − λ 1 4 1 − λ

= λ2 − 2λ − 3 = 0 che d`a soluzioni λ1 = −1 e λ2 = 3.

Per trovare gli autospazi dobbiamo risolvere i sistemi (A − λ1I)X = 0 e (A − λ2I)X = 0, che danno come soluzioni Vλ1 = span {(1, −2)} e Vλ2 = span {(1, 2)}.

Teorema 0.1.1 Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale V , sia A la matrice di f relativa ad una base di V . λ ∈ K `e autovalore di f se e solo se

det (A − λI) = 0.

Dim. λ `e autovalore di f ⇐⇒ esiste v 6= 0 t.c. f (v) = λv. Detto X il vettore colonna delle componenti di v rispetto ad una sua base, dobbiamo avere X 6= 0 e AX = λX ⇐⇒

X 6= 0 e AX − λX = 0 ⇐⇒ X 6= 0 e AX − λIX = 0 ⇐⇒ X 6= 0 e (A − λI)X = 0 ⇐⇒

rank (A − λI) < n ⇐⇒ det(A − λI) = 0. Dove n `e la dimensione dello spazio V.

La funzione det (A − λI) = Pn(λ) `e un polinomio di grado n e si chiama polinomio caratteristico. Gli autovalori sono quindi le radici del polinomio caratteristico.

Nel teorema precedente la matrice associata ad f dipende dalla base scelta. Sembr- erebbe quindi ambiguo il calcolo degli autovalori, ma si dimostra che gli autovalori non dipendono dalla base scelta.

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Definizione 0.1.2 Sia λ autovalore di f , e quindi radice del polinomio caratteristico Pn(λ). Si dice

-) molteplicit`a algebrica di λ, la molteplicit`a di λ come radice di Pn(λ)

-) molteplicit`a geometrica di λ la dimensione dell’autospazio associato, dim Vλ Proposizione 0.1.3 Sia λ autovalore, e sia h la sua molteplicit`a algebrica. Allora

1 ≤ dim Vλ ≤ h

Esempio. Sia f (x1, x2) = (x1 + x2, x2). Abbiamo A = 1 2 0 1

 e

1 − λ 2 0 1 − λ

= (1 − λ)2. Quindi abbiamo l’autovalore λ = 1 con molteplicit`a algebrica 2, mentre Vλ = span {(1, 0)} quindi dim Vλ = 1 ≤ 2.

0.2 Diagonalizzazione

Definizione 0.2.1 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V composta da autovettori di f

Due matrici A, B ∈ Kn,n si dicono simili se esiste una matrice invertibile M tale che B = M−1AM

Definizione 0.2.2 Una matrice quadrata A ∈ Kn,n si dice diagonalizzabile se `e simile ad una matrice diagonale.

Sia f un endomorfismo e B = {u1, . . . , un} base di autovettori di f . Sia AB la matrice di f associata a B, ricordiamo che essa ha come colonne le componenti di f (ui) rispetto alla stessa base B. Poich´e f (ui) = λiui abbiamo che AB `e una matrice diagonale costituita dagli autovalori di f , ognuno ripetuto secondo la sua molteplicit`a algebrica

AB = D =

λ1 0 0 . . . 0 0 λ2 0 . . . 0 ... ... ... · · · ...

0 0 0 · · · λn

Viceversa se esiste una base rispetto alla quale la matrice di f `e diagonale allora gli elementi della diagonale della matrice sono gli autovalori di f e la base `e costituita da autovettori. Abbiamo cos`ı provato il seguente teorema

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Teorema 0.2.3 Un un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V `e diagonalizzabile se e solo se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice di f `e diagonale.

Proposizione 0.2.4 Autospazi relativi a autovalori distinti sono sottospazi disgiunti.

Dim. Sia λ1 6= λ2 autovalori distinti, e sia v ∈ Vλ1∩Vλ2. Abbiamo f (v) = λ1v e f (v) = λ2v sottraendo membro a membro abbiamo 0 = (λ1− λ2)v da cui v = 0.

Dalla proposizione precedente abbiamo che la somma di autospazi `e somma diretta.

Se λ1, . . . , λp sono p autovalori distinti di f , abbiamo Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλp

Poich´e la dimensione di un autospazio `e sempre > 0 (il vettore nullo non `e autovettore), dalla precedente relazione deduciamo subito che p ≤ n.

Quando la somma diretta degli autospazi relativi a tutti gli autovalori di f d`a l’intero spazio V

Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλp = V (1) possiamo trovare in V una base di autovettori di f , in questo caso l’endomorfismo f `e diagonalizzabile. Abbiamo quindi il seguente teorema

Teorema 0.2.5 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V `e diagonalizzabile se e solo

Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλp = V Di seguito l’importante criterio di diagonalizzabilit`a

Teorema 0.2.6 Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V `e diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico `e interamente decomponibile in K e la molteplicit`a geometrica di ogni autovalore coincide con la sua molteplicit`a geometrica.

Dim. Sia n la dimensione di V. Sia Pn(λ) = (λ − λ1)m1(λ − λ2)m2· · · (λ − λp)mp la decomposizione di Pn in K dove mi rappresenta la molteplicit`a della radice λi. Abbiamo m1 + m2 + · · · mp = n se e solo se Pn `e decomponibile. In ogni caso abbiamo m1 + m2 +

· · · mp ≤ n.

L’endomorfismo f `e diagonalizzabile se e solo

Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλp = V (2) che equivale alla condizione

dim Vλ1 + dim Vλ2 + · · · + dim Vλp = n. (3)

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Poich´e abbiamo 1 ≤ dim Vλi ≤ mi abbiamo

dim Vλ1 + dim Vλ2 + · · · + dim Vλp ≤ m1 + m2 + · · · mp ≤ n che insieme alla (3) da

dim Vλ1 + dim Vλ2 + · · · + dim Vλp = m1 + m2 + · · · mp = n e necessariamente deve essere dim Vλi = mi.

Proposizione 0.2.7 Sia f un endomorfismo digonalizzabile. Allora ogni matrice di f associata ad una base B `e diagonalizzabile.

Sia f diagonalizzabile ed A una sua matrice rispetto ad una base B. Sia poi B0 = {u1, . . . , un} la base composta da autovettori. Abbiamo

D = U−1AU

dove D `e la matrice diagonale costituita dagli autovalori di f (contati pi`u volte secondo la loro molteplicit`a algebrica), ed U `e la matrice che ha come vettori colonna le componenti degli autovettori rispetto alla base B.

Abbiamo infatti

Aui = λiui ∀i = 1, . . . , n ⇐⇒ AU = U D ⇐⇒ U−1AU = U−1U D = D.

U `e invertibile in quanto le sue colonne sono l.i.

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